Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Существо метода рассмотрим на простом примере: один фактор, ли­нейная модель.

рис.9

Если бы все экспериментальные точки лежали строго на прямой линии, то для каждой точки было бы справедливо равенство:

(12)

где i - номер опыта. На практике это условие не выполняется.

,

где - разность между экспериментальным и вычисленным по уравнению регрессии значениями Y в i-ой экспериментальной точке (невязка). Коэффициент регрессии определяется при условии, когда сумма всех невязок min, т.е.

(14), либо

(15)

Из курса математики известно, что минимум некоторой функции, если он существует, достигается при одновременном равенстве нулю частных произ­водных по всем неизвестным, т.е. ; (***)

Отсюда берутся уравнения для определения коэффициентов регрессии. Формулу для вычислений коэффициента можно записать так:

(17)

(18)

- номер факторов,

Регрессионный анализ

Как только мы начинаем говорить о пригодности модели или о значимости коэффициентов, приходится вспоминать о статистике: и с этого момента МНК превращается в регрессионный анализ.

Регрессионный анализ, как всякий статистический метод, применим при определенных предположениях, постулатах.

Первый постулат

Параметр оптимизации 7 есть случайная величина с нормальным законом распределения. Дисперсия воспроизводимости - одна из характеристик этого закона распределения.

Второй постулат

Дисперсия Y не зависит от абсолютной величины Y.

Третий постулат

Значения факторов суть не случайные величины. Это утверждение практически означает, что установление каждого фактора на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем ошибка воспроизводимости.

Проверка адекватности модели

Проверка на пригодность полученной модели (проверка адекватности) начинают с вычисления остаточной дисперсии, т.е. дисперсии адекватности :

где N - число опытов (МПЭ),

d - число коэффициентов модели.

- разность между реальным значением и предсказанным по модели. Числом степеней свободы в статистике называется разность между числом опытов и числом коэффициентов (констант), которые уже вычислены по ре­зультатам этих опытов независимо друг от друга.

Примечание. Параллельные опыты нельзя считать самостоятельными, т.к. они дублируют друг друга. В связи с этим, они все дают одну степень свободы.

Необходимо запомнить правило: в планировании эксперимента число степеней свободы для равно числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффи­циентов регрессии, минус число определяемых коэффициентов.

В статистике разработан критерий, который очень удобен для проверки гипотезы об адекватности модели. Он называется F критерием Фишера и определяется:

где - дисперсия адекватности;

- дисперсия воспроизводимости.

Удобство использования F - критерия состоит в том, что проверку ги­потезы можно свести к сравнению с табличным значением. Таблица построена следующим образом. Столбцы связаны с определенным числом степеней свободы для числителя строки для знаменателя f₂ .На пересечении соот­ветствующих строки и столбца стоят критические значения F - критерия. Как правило, в технических задачах используется уровень значимости 0.05.

Если рассчитанное значение F - критерия не превышает табличного, то с соответствующей доверительной вероятностью модель можно считать аде­кватной. При превышении табличного значения гипотеза отвергается. Для запишем общую формулу :

где N- число опытов;

- число параллельных опытов в i-ой строке матрицы;

- среднее арифметическое из параллельных опытов;

- предсказанное по уравнению регрессии значение в этом опыте.

Проверка значимости коэффициентов

Проверка значимости каждого коэффициента проводится независимо.

Её можно осуществлять двумя равноценными способами: проверкой по t-критерию Стьюдента или построением доверительного интервала. При ис­пользовании полного факторного эксперимента доверительные интервалы для всех коэффициентов равны друг другу.

Прежде всего, надо найти дисперсию коэффициента регрессии

(22)

теперь легко построить доверительный интервал ( ):

(23)

где t- табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы, с которыми определялись и выбранном уроне значимости (обычно 0.05);

- С.К.О. коэффициенты регрессии: (24)

Формулу для доверительного интервала можно записать в следующей эквивалентной форме: (25)

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

Значимость коэффициента можно проверить по t - критерию, пользуясь формулой

(26)

Вычисленное значение t - критерия сравнивается с табличным при уровне значимости а и соответствующем числе степеней свободы f.

Принятие решений после построения модели

Достройка плана осуществляется несколькими способами:

1. Методом перевала — у исходной реплики изменяют знаки на обратные. В
   этом случае основные эффекты оказываются не смешанными с парными.

2. Переход к П.Ф.Э.

1. Переход к реплике меньшей дробности.

1. Переход к планам 2-го порядка.

Частотные методы идентификации динамических объектов.

Динамические свойства объекта могут быть описаны с помощью частотных характеристик, которые представляют собой зависимость от частоты в установившемся режиме двух переменных: 1) отношение амплитуд гармонических сигналов на вход и выход объекта – это АЧХ; 2) сдвиг фаз между входным и выходным сигналами – это ФЧХ. Указанные характеристики изображаются в 2-х форматах: 1) в виде совокупности АЧХ и ФЧХ в прямоугольной системе координат (форма Боде); 2) характеристик строиться в полярных координатах в комплексной плоскости и представляет амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) или динамику Найквиста.

Если в диаграмме Боде А( ) заменяется на L( ), то характеристика называется логарифмо-частотной характеристикой (ЛЧХ)

Заданные аналитически или графически частотные характеристик объекта позволяют рассчитать контур стабилизации со стандартным регулятором, например: с ПИ или ПИД законом регулирования.

Эксперимент, с помощью которого исследуются частотные характеристики значительно трудоемок на аппаратуре и времени проведения по сравнению с переходными характеристиками. Для исследования необходима аппаратура с помощью которой на вход объекта можно подать гармонический сигнал. Выходной сигнал как правило всегда зашумлен и искажен нелинейностями, имеющимися в объекте. Поэтому для определения амплитуды и фазы выходного гармонического сигнала необходимо выделение 1-ой гармонической составляющей вручную или с помощью спец. аппаратуры. Исследование на различных в том числе и низких частотах требует много времени. Поскольку при исследовании частотных характеристик рассматриваются вынужденные, а не свободные движения системы, то необходимо некоторое время для затухания свободного движения.

Н

Помехи приведенные к выходу объекта (t) могут содержать кроме случайных составляющих и детерминированные тренды. Но в сигнале Y(t) уползание будет устранено, а воздействие случайных составляющих на выходе (t) значительно ослаблено.

Гармонический сигнал теперь будет подаваться не на регулирующий орган, а на датчик регулятора. В этом случае требуется генератор с меньшей мощностью.

а исследование частотных характеристик неблагоприятное влияние оказывают тренды, вызывающие выползание средней линии выходного сигнала. Для уменьшения ошибок из-за выползания средней линии и уменьшения влияния помех снятия частотных характеристик проводят в замкнутой системе приведенной на рис. 1., где объект охвачен обратной связью с регулятором.

Y (t)

x(t)

y(t)

Рис.1.

На анализатор А, выделяющий первые гармонические составляющие подаются на входные и выходные сигналы объекта управления. Полученные таким образом частотные характеристики могут быть непосредственно использованы для расчета системы управления.

Частотный метод по сравнению с временным имеет ряд преимуществ:

1. при снятии частотных характеристик объект исследуется в установившемся, а не переходном режиме, поэтому влияние случайных помех на результаты будут сказываться меньше;

2. соответствующим выборам амплитуды входных колебаний можно установить достаточно большие колебания регулируемых величин, при которых погрешности измерительных приборов будут мало сказываться.

Вместе с тем частотный метод имеет и отрицательные стороны:

1. длительность эксперимента;

2. большая трудоемкость в обработке полученных результатов.

Для уменьшения затрат времени на снятия частотных характеристик и их обработку применяют специальное оборудование, содержащее генератор синусоидальных колебаний и вычислительные устройства для выделения 1-х гармоник и выполнения расчетов.

Классификация объектов управления по статическим и динамическим характеристикам.

По физическому содержанию объекты регулирования делятся на следующие основные группы: первичные двигатели, тепловые, хими­ческие и термохимические, электрические, гидравлические и пнев­матические, механические, объекты регулирования с ядерными про­цессами, движущиеся объекты.

К первичным двигателям относятся устройства, преобразующие тот или иной вид энергии в механическое движение (паровые, га­зовые и гидравлические турбины, двигатели внутреннего сгорания, реактивные двигатели, электрические двигатели постоянного и пе­ременного тока и другие виды двигателей). Регулируемыми парамет­рами двигателей являются момент на валу, отдаваемая мощность, угловая скорость вращения вала и другие. Многие двигатели характеризуется нелинейной зависимостью регулируемых параметров от времени, потребления энергии и различных внешних возмущений.

Тепловые объекты регулирования являются одним из наиболее распространенных. К ним относятся паровые котлы, бойлеры, про­мышленные печи, подогреватели, кондиционеры, холодильники и дру­гие. Регулируемыми параметрами тепловых объектов являются тем­пература среды, давление и перепада давлений, расходы жидкостей я газов.

К химическим объектам регулирования относятся участки производственных установок, аппаратов или оборудования, в которых происходит та или иная регулируемая химическая реакция. Многие из этих реакций связаны с тепловым процессом, который также требует регулирования. В этом случае объект называется термохи­мическим. В качестве примеров химических объектов можно указать абсорбционные и дистилляционные колонны. Регулируемыми парамет­рами химических объектов могут быть удельная электрическая про­водимость, водородный показатель рН, а также косвенные пара­метры, каковыми чаще всего являются температура и давление.

Характеристики

Список файлов ВКР