Вопросы ГЭК 2009new (1094840), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Модели бывают разные, их бывает много. Чтобы выбрать одну из них надо понять, что мы хотим от модели, какие требования к ней предъявляем. Главное требование к модели - это способность предсказывать направление дальнейших опытов, причем предсказывать с требуемой точностью. Жела­тельно, чтобы точность предсказания во всех возможных направлениях была одинакова. Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и ко­ординаты выполненных опытов, предсказанные с помощью модели значения функции отклика не должно отличаться от фактического больше чем их некоторую заранее заданную величину. Модель, которая удовлетворяет такому или какому-либо аналогичному требованию, называется адекватной. Разработаны специальные статистические методы проверки адекватности модели. При выборе математической модели, при прочих равных условиях, будем предполагать степенные ряды, т.е. отрезки степенных рядов - алгебраические полиномы.

В качестве примера запишем модель в форме полинома для 2^х факто­ров. Полином нулевой степени:

Полином первой степени:

Полином второй степени:

Полный факторный эксперимент

Перед планированием эксперимента необходимо определить область эксперимента, учитывая при этом следующие соображения:

1. Прежде всего, надо оценить границы областей определения Ф. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов. Первый тип: принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если Ф. - температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль. Второй тип - ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями (стоимость сырья, время процесса и т.д. Третий тип ограничений, с
   которыми чаще всего приходится иметь дело, определяются конкретными условиями проведения процесса (технологией, существующей аппаратурой и т.д.).

2. Оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже подвергался некоторым исследованиям. И информацию, содержащуюся в результатах предыдущих исследований, будем называть априорной (при­ мерные графики, таблицы).

Выбор основного уровня

Наилучшим условиям, определенным из анализа априорной информа­ции соответствует комбинация (или несколько комбинаций) уровней факторов. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Назовем ее основным уровнем. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.

В разных случаях мы располагаем различными сведениями об области наилучших условий. Если имеются сведения о координатах одной наилучшей точки и нет информации о границах определения факторов, то остается рассматривать эту точку в качестве основного уровня. Аналогичное решение принимается, если границы известны и наилучшие условия лежат внутри области. На рис.2. Изображена область определения для 2^х факторов. Кружком отмечены наилучшие условия, известные из априорной информации. Чтобы правильно выбрать основной уровень следует пользоваться блок-схемой рис. 4.

Рис.2

Рис.4 Блок-схема принятия решений при выборе основного уровня

Выбор интервалов варьирования.

После того, как определен основной уровень каждого Ф., необходимо выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте. Один из этих уровней считается верхним, а второй нижним. Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению фактора.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верх­ний, а вычитание - нижний уровни фактора, т.е. интервал варьирования - это расстояние на координатной оси между основным и верхним либо нижним уровнями. Таким образом, задача выбора уровней сводится к более простой задаче выбора интервала варьирования.

Отметим еще, что для упрощения записи условий эксперимента и об­работки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний -1, а основной нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда можно сделать с помощью преобразования: , где Xj - кодирование значений Ф., - натуральное значение Ф.

-натуральное значение основного уровня.

- интервал варьирования.

j - номер фактора

Пример:

На выбор интервалов варьирования накладываются естественные огра­ничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки , с которой эксперимент фиксирует уровень фактора. Иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний и нижний уровни оказались за пределами области определения.

При решении задачи оптимизации необходимо выбрать для первой се­рии экспериментов такую область, которая давала бы возможность для шаго­вого движения к оптимуму. В задачах интерполяции интервал варьирования охватывает всю описываемую область.

Выбор интервалов варьирования - задача трудная, т.к. она связана с неформализованным этапом планирования эксперимента. Возникает вопрос, какая априорная информация может быть полезна на данном этапе? Это - сведения о точности, с которой экспериментатор фиксирует значения факто­ров, о кривизне поверхности отклика и диапазоне изменения параметра оп­тимизации. Обычно эта информация является предварительной на первом этапе планирования эксперимента. В ходе эксперимента её приходится кор­ректировать.

Точность фиксирования факторов определяется точностью приборов и стабильностью уровня в ходе опыта. Кроме того, для интервалов вводится градация - широкий, средний и узкий интервалы варьирования.

Дополнительно: Полный факторный эксперимент

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. При числе уровней каждого фактора равного 2, имеем П.Ф.Э. типа . В табл.1. для со­ответствующего значения k указано требующее число опытов N .

Таблица 1.

Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки со­ответствуют различным опытам, а столбцы — значениям факторов. Будем на­зывать такие таблицы матрицами планирования эксперимента (МПЭ). МПЭ для факторов приведена ниже.

Вектор столбец

Вектор строка

Существует несколько приемов записи МПЭ. Воспользуемся наиболее удобным: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце они чередуются через 2, в третьем - через 4, в четвертом - через 8 и т.д.

Отметим ряд свойств, которыми обладает МПЭ. В данном случае мы возьмем те свойства, которые определяют качество модели, а это значит, что оценки коэффициентов модели должны быть наилучшими и что точность предсказания параметра оптимизации не должна зависеть от направления в факторном пространстве, т.к. заранее не ясно, куда предстоит двигаться в по­исках оптимума.

Характеристики

Список файлов ВКР