Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Пусть при некоторое допустимое управление, переводящее изображение в точку и соответствующее , а -- соответствующее этому управлению траектория. Для оптимальности по быстродействию управления и траектории необходимо существование такой ненулевой непрерывной векторной функции , удовлетворяющей системе уравнений (4) и что:

1. Для всех функция т.е.

= ; (6)

2. в конечные моменты времени выполняется соотношение

Как и в общем случае, если функция удовлетворяют выражению (4) и условию (6), то функция постоянна.

Поэтому проверку условия (7) можно производить в любой момент времени на интервале .

Замечание: т.к. для большинства случаев то из выражения и выражения (5) следует, что вдоль оптимальной траектории гамильтониана

Объект представляет собой 2 последовательности соединенных интегрирующих звена

Анализ методов решения задач оптимального управления.

Методы оптимизации — поиска экстремума функции при наличии ограничений или без ограничений очень широко используются на практике. Это прежде всего оптимальное проектирование (вы­бор наилучших номинальных технологических режимов, элемен­тов конструкций, структуры технологических цепочек, условий экономической деятельности, повышение доходности и т.д.), оптимальное управление, построение нелинейных математиче­ских моделей объектов управления (минимизации невязок раз­личной структуры модели и реального объекта) и многие другие аспекты решения экономических и социальных проблем (напри­мер, управление запасами, трудовыми ресурсами, транспортны­ми потоками и т.д. и т.п.).

Существует достаточно большое количество численных ме­тодов оптимизации.

Основные из них классифицируются следующим образом:

1. По размерности решаемой задачи: одномерные и многомер­ные.

2. По способу формирования шага многомерные методы де­лятся на следующие виды:

2.1.Градиентные.

• по способу вычисления градиента: с парной пробой и с центральной пробой;

• по алгоритму коррекции шага;

• по алгоритму вычисления новой точки: одношаговые и многошаговые.

2.2. Безградиентные: с поочередным изменением переменных и с одновременным изменением переменных.

2.3. Случайного поиска: с чисто случайной стратегией и со смешанной стратегией.

3. По наличию активных ограничений.

3.1. Без ограничений (безусловные).

3.2. С ограничениями (условные):

• с ограничениями типа равенств;

• с ограничениями типа неравенств;

• смешанные.

1. Методы одномерной оптимизации являются базой для не­которых «многомерных» методов. К данному методу относятся

1)метод деления пополам, который основан на делении текущего отрезка [a, b] на две равные части с последующим выбором одной из половин, в которой локализуется максимум в качестве следующего текущего отрезка.

2)метод золотого сечения, который основан на делении текущего отрезка [a, b] на две неравные части, подчиняющиеся правилу золотого сечения. Для определения следующего отрезка, содержащего максимум.

2. Многомерная безусловная градиентная оптимизация.

При отыскании экстремумов функции R(x) используются методы без активных ограничений, а величина шага в рекуррентном соотношении x_i+1=x_i+ i вычисляется с использованием градиента целевой функции R(x), т.е. i=f(grad R(x_i)). При этом шаг может определяться с использованием градиента в одной (текущей) или двух (текущей и предыдущей) точках. Направление градиента показывает направление наискорейшего возрастания функции, а его модуль – скорость этого возрастания. К методам данной оптимизации относится метод наискорейшего спуска и метод сопряженных направлений.

3. Многомерная безусловная безградиентная оптимизация.

В данных численных методах опти­мизации величина и направление шага к оптимуму формируются однозначно по определенным детерминированным функциям в зависимости от свойств критерия оптимальности в окрестности текущей точки без использования производных (т.е. градиента). Все алгоритмы имеют итерационный характер и выражаются формулой
x _i+1 =x _i+f [R(x_i)].

Основная особенность рассматриваемой группы методов — отсутствие вычисления градиента критерия оптимальности. Ряд методов прямого поиска базируется на последовательном применении одномерного поиска по переменным или по другим задаваемым направлениям, что облегчает их алгоритмизацию и применение. К методам данной оптимизации относится метод Зейделя – Гаусса

4. Многомерная безусловная случайная оптимизация.

В методах случайного поиска шага при построении улучшающей последовательности x _i+1 =x_i + _i формируется случайным образом. Поэтому в одной и той же ситуации шаг может быть различен в отличие от регулярных методов.

В целом случайные методы поиска предпочтительнее регу­лярных в задачах высокой размерности n>10 и вдали от оптиму­ма. Методы этой группы позволяют в среднем быстрее выходить в район оптимума. Эффективны данные методы и при поиске глобального оптимума. Кроме того, случайные методы имеют ту осо­бенность, что даже при одних и тех же неформально задаваемых параметрах они дадут различные траектории поиска.

5. Многомерная условная оптимизация.

К данной оптимизации относятся численные методы по­строения улучшающих последовательностей при наличии огра­ничений типа равенств (связей) и типа неравенств (ограничений). Сюда не входят методы, использующие условия оп­тимальности. Во всех методах строится в допустимой области последовательность точек, в которых значения критерия улучша­ются. Поиск осуществляется градиентным методом.

Допустимая область может формироваться автономными ог­раничениями x_imin x_i x_imax, связями f_j(x₁, x₂, …x_n)=0 (j=1, 2, …m) и ограничениями f_j(x₁, x₂, …x_n)>0, для j = 1,..., р.

Функции, задающие ограничения, могут формировать допус­тимую область с различными свойствами: монотонными, коле­бательными, с большой и малой кривизной и т.д., что оказывает влияние на эффективность методов поиска.

Метод динамического программирования.

В задаче динамического программирования состояние динамической системы характеризуется n переменными состояния (фазовыми переменными) x₁(t),...,х_n(t), удовлетворяющими следующей системе дифференциальных уравнений первого порядка, называемых уравнениями состояния:

(1)

Здесь u₁,…,u_m - управляющие воздействия. Тогда задача состоит в определении управлений

переводящих систему из состояния в

и минимизирующих критерий-функционал (критерий качества)

(2)

Предположим, что управляющие переменные удовлетворяют ограничению

(3)

определяющим замкнутую область допустимых управлений.

Критерием качества (83) может являться, например, цена объекта, среднеквадратичная ошибка в обработке результатов эксперимента, время достижения цели и т.п.

Для решения задачи управления требуется задать подходящие граничные условия:

(4)

При этом начальное t₀ и конечное t_F времена могут быть неизвестными.

Предположим, что наложенные на управляющие переменные ограничения (3) имеют

вид (5)

Введем также вспомогательные переменные , i=0,1,…,n и функцию Гамильтона (гамильтониан):

(6)

С помощью гамильтониана Н исходная система дифференциальных уравнений (1) и уравнения, необходимые для определения вспомогательных функций , представляются в виде:

(7)

Уравнения (7), являющиеся необходимым условием экстремума функционала (2), называются уравнениями Гамильтона-Эйлера. Таким образом, оптимальное управление

u_opt(t)=(u₁^opt(t),…,u_m^opt(t)) определяет оптимальную траекторию x_opt(t) в n- мерном фазовом пространстве и вдоль нее гамильтониан H удовлетворяет условиям (7).

Системы управления на основе нечеткой логики.

Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в интеллектуальных компьютерных системах представляют сегодня одно из самых перспективных направлений развития современной вычислительной техники.

Значительный вклад в это направление внес Л. Заде. Его работа «Fuzzy Sets» явилась толчком к развитию новой математической теории. Заде расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0, 1), а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Заде определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода. Введя затем понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Заде предложил аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений. Это позволило создать фундамент теории нечетких множеств и нечеткой логики, а также предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в инженерную практику. Смещение центра исследований нечетких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем таких, как новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления и многое другое. Математическая теория нечетких множеств позволяет описать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда исследуемые процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Нечеткая логика, предоставляющая эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира, и на которой основано нечеткое управление, ближе к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы.

Характеристики

Список файлов ВКР