Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Переход амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой CAP W_p(jω) ростом частоты отрезка действительной оси (-∞;-1] сверху вниз называется

положительным (+), а снизу в верх - отрицательным (-).

Т огда критерий Найквиста в формулировке Цыпкина предстает в следующем виде: Замкнутая САР устойчива, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равна , где т - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На рис. IV.17 изображен случай, когда имеется два положительных и один отрицательный переход, т.е.

и, значит, если характеристическое уравнение разомкнутой САР имеет 2 правых корня (только в этом случае!), то замкнутая САР устойчива. Подчеркнем еще раз, что при подсчете переходов исследуется только тот участок (-∞;-1] и не принимается во внимание остальная часть действительной оси.

Сейчас мы рассмотрим случай IV. 3. 3. 2 для неустойчивой разомкнутой САР. Однако, вышеприведенная формулировка Цыпкина критерия Найквиста применима к случаю IV.3. 3. 1, т. е. для устойчивой разомкнутой САР (рис. IV. 18).

На рисунке изображена АФХ разомкнутой системы, имеющая 1 положительный и 1 отрицательный переходы. По Цыпкину

таким образом, система будет устойчива, если разомкнутая система тоже устойчива, т.е. имеет т=0 правых корней своего характеристического уравнения, а это и есть случай IV. 3.3.1.

Критерий устойчивости А.М. Ляпунова для нелинейных систем.

Нелинейные САР, в отличие от линейных, не обладают принципом суперпозиции, поэтому методика определения устойчивости нелинейных САР, базирующаяся на исследовании свободных колебаний, как в линейных, здесь не годится. Возможность автоколебаний в нелинейных САР ещё более усложняет вопрос.

Основоположником теории устойчивости нелинейных САР был русский математик А.М.Ляпунов, который в 1892 г. поставил общую задачу об устойчивости движения и сформулировал понятия устойчивости.

При исследовании устойчивости по Ляпунову рассматриваются понятия невозмущённых и возмущённых движений системы. Под невозмущённым движением понимают одно из возможных расчётных движений системы при некоторых определённых начальных условиях. Состояния установившегося процесса, равновесия и установившегося режима автоколебаний можно рассматривать как важные частные случаи невозмущённых движений, а отклонения от них - возмущенные движения.

Для общего суждения об устойчивости движения пользуются понятием устойчивости, данное A.M. Ляпуновым: движение устойчиво, если для любой сколь угодно малой заданной области ε допустимых отклонений х_i (возмущённое движение) от точки х_i=0

(невозмущённое движение) можно указать область начальных значений δ(ε),

лежащую внутри области ε и обладающую тем свойством, что ни одно возмущённое движение, начавшееся внутри области δ, никогда не достигнет границы области ε. Если такой области (S(ε)) не существует, то движение

н еустойчиво. Интерес представляет случай, когда все возможные движения при стягиваются в начало координат, т.е. (1). Такое движение называют асимптотически устойчивым. Если для выполнения (1) требуется, чтобы область начальных отклонений δ была достаточно мала, то говорят об асимптотической устойчивости в малой. Если область δ может иметь конечные размеры, то говорят об асимптотической устойчивости в большом. Если, наконец, (1) выполняется при сколь угодно больших начальных отклонениях, то говорят об асимптотической устойчивости в целом.

Для описания нелинейных систем будем пользоваться дифференциальными уравнениями в форме Коши, полагая, что они записаны для переходных процессов в отклонениях всех переменных от их значений (т.е. для возмущённых движений х_i(t_i)) в установившемся процессе (т.е. невозмущённого движения х_i=0. Следовательно, эти уравнения для нелинейных систем n-го порядка будут

где функции X_i произвольны и содержат любого вида нелинейности, но всегда удовлетворяют условиям Х₁ = Х₂ =... = Х_п = 0 при х₁ = х₂ =... = х_п = 0 (3), т.к. в установившемся состоянии все отклонения переменных и их производные равны, очевидно, нулю по самому определению понятия этих отклонений.

Пусть имеется функция нескольких переменных V =V(x₁, х₂ …х_n), где х₁ не обязательно х_i из (2), т.е. отклонения от установившегося значения. Представим себе n-мерное фазовое пространство, в котором х₁, х₂...х_п являются прямоугольными координатами (это будет, в частности фазовая плоскость при n =2 и обычное трехмерному пространство при n=3. тогда в каждой точке указанного пространства функция V будет иметь некоторое определённое значение.

Будем называть функцию V знакоопределённой в некоторой области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме только самого начала координат.

Функция V называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках вокруг начала координат.

Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки (а в начале координат - нуль).

Примеры. 1.Пусть n=2 и V=x²₁ + x²₂. Это знакоопределённая положительная функция, т.к. V=0 только тогда, когда x₁ = х₂ = 0 одновременно, а V>0 для любых других х_i. Аналогично при любом п функция V = х₁² +х₂²...х²_n, будет знакоопределённой положительной, а V = –(х₁² + ...х²_n)-знакоопределённой отрицательной.

2.Если взять функцию V = x_l² + x₂² при n=3, то она уже не будет знакоопределённой, т.к., оставаясь положительной при любых х₁, х₂, х₃. Она может обращаться в нуль не только при х₁ = х₂ = х₃ = 0, но и при любом значении х₃, если только х₁=х₂=0 (т.е.на всей оси х₃).3начит, это знакопостоянная положительная функция.

3.Наконец, функция V=x_l+x₂ ,будет знакопеременной, т.к. она положительна для всех точек справа от прямой х₁ = -х₂ и отрицательна слева от этой прямой.

Любую функцию V =V(x₁, x₂...x_n), тождественно обращающуюся в нуль при x_l=x₂=...= x_n = 0 будем называть функцией Ляпунова, если в ней в качестве величин х₁, х₂ ...x_n взяты те отклонения переменных системы регулирования в переходном процессе x₁=x₁(t),…x_m, в которых записываются уравнения (2) для этой системы.

Производная от функции Ляпунова по времени будет

Подставив сюда значения из (2) получим производную от функции Ляпунова в виде

где х₁, х₂,...Х_п - правые части уравнений (2) САР, представляющие собой заданные функции от отклонений x₁, х₂…х_п.

С
ледовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и сама V, является некоторой функцией отклонений, т.е.

причем эта функция W, так же как и сама V тождественно обращается в нуль при х₁ = х₂ =... = х_п = 0. Поэтому к ней в одинаковой степени можно применить все те же понятия знакоопределенности, знакопостоянства и знакопеременности в некоторых областях вокруг начала координат, как и к функции V.

ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНЯ НЕЛИНЕЙНОЙ САР

Если при заданных в форме (2) уравнениях системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова V(x₁,x₂,…х_п), чтобы её производная по времени W(х₁,х₂,...х_n) тоже была знакоопределённой (знакопостоянной), но имела знак, противоположному знаку V, то данная система асимптотически устойчива (устойчива).

Недостатки последовательной коррекции.

В настоящее время широкое применение при синтезе систем автоматики нашёл метод ЛАЧХ (логарифмических амплитудно-частотных характеристик). Этот метод обладает достаточной простотой и наглядностью. Идея метода основана на том, что устанавливается связь между переходным процессом и логарифмической характеристикой, которая выражается в достаточно простом виде. Зная желаемый вид переходного процесса, легко построить соответствующую такому процессу желаемую логарифмическую характеристику. Далее, зная вид желаемой ЛАЧХ, к этому виду приближают исходную ЛАЧХ нескорректированной системы. Это также осуществляется достаточно просто. Корректирование характеристики имеет свои особенности в зависимости от применяемого вида включения корректирующего устройства, т.е. последовательного или параллельного включения его в основную цепь системы.

Последовательное включение в цепь системы дифференцирующих элементов (опережающих по фазе), позволяет ускорить протекание переходного процесса, а включение интегрирующего элемента (отстающего по фазе)- снизить установившуюся ошибку.

Преимущества последовательной коррекции:

1) относительная простота включения элементов коррекции;

2) расширение полосы пропускания частот при включении дифференцирующего элемента в цепь регулирования.

Недостатки последовательной коррекции:

1) необходимость согласования сопротивлений корректирующих элементов с входным и выходным сопротивлениями элементов системы, к которым подключены вход и выход корректирующего элемента;

2) снижение величины основного сигнала в цепи регулирования, что требует его дополнительного усиления до нужного значения. Отсюда вытекает ограниченность корректируемой системы по мощности.

Характеристики

Список файлов ВКР