Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

б)

Жирной линией на фазовой плоскости обозначены особые линии – для а) устойчивого, б) неустойчивого предельного циклов.

Предельные циклы разграничивают области начальных условий, для которых фазовые траектории носят качественно разный характер. Так, для а), фазовые траектории для начальных условий, находящихся внутри предельного цикла, раскручиваются от положения равновесия до предельного цикла, а для начальных условий, находящихся вне предельного цикла, - скручиваются извне до предельного цикла. Значит, в такой нелинейной системе нет состояния устойчивого равновесия, а есть режим автоколебаний. Для случая б) картина противоположная, здесь для области начальных условий, расположенных внутри предельного цикла, имеет место положение устойчивого равновесия в начале координат, а предельный цикл характеризует неустойчивые собственные колебания.

Если в системе установились гармонические автоколебания, то , а , где А – амплитуда, а ω – частица гармонических колебаний. Максимальные значения для х будет при , т.е. ; (1), а для V при , т.е. . (2)

На фазовой плоскости значения амплитуды и частоты автоколебаний непосредственно не просматриваются. Однако, их можно определить приблизительно, исходя из рассмотрения предельного цикла. Если предельный цикл не является эталоном, то автоколебания не будут гармоническими колебаниями. Если, однако, положить, что автоколебания будут близки к гармоническим, то из картинки предельного цикла а) имеем ; (3) . (4) Сравнивая (1) и (3), (2) и (4) имеем для амплитуды и частоты автоколебаний: .

Представление импульсного элемента при исследовании импульсных САР.

Амплитудно-импульсный элемент представляет собой устройство, реагирующее на дискретные равноотстоящие друг от друга значения, входного сигнала x(t) при t=mT. Его выходной величиной является последовательность импульсов определенной формы S(t) (необязательно прямоугольной!), амплитуды которых пропорциональны дискретным значениям входной величины x(mt).

Встает задача (для каждого конкретного ИЭ – своя, ибо у каждого ИЭ может быть своя форма импульса S(t)) нахождения математического описания ИЭ. Задача изучения ИЭ существенно упрощается если реальный ИЭ заменить совокупностью гипотетических простейшего импульсного элемента (ПИЭ) и формирующего устройства ФУ.

ПИЭ это такое устройство, на выходе которого модулированная последовательность σ-функций, «площади» которых равны дискретным значениям входной величины x(mT). ФУ из этой модулированной последовательности σ-функций формирует импульсы с заданной формой S(t)/

Итак, реальный ИЭ, в котором импульсы имеют произвольную форму, следовательно, каждый ИЭ нуждается в специальном описании, заменяется совокупностью (фиктивной, существующей только в математических конструкциях) ПИЭ, который одинаков для любых реальных ИЭ, и ФУ, в котором и отражаются различия в ИЭ. Однако, ФУ это непрерывное, а не импульсное устройство, и изучать его существенно проще методы линейной ТАР.

Связь между спектрами сигналов на входе и выходе простейшего импульсного элемента. Теорема Котельникова.

Под ПИЭ понимается такое устройство (гипотетические, не существующие в реальности) выходной сигнал которого представляет собой модулированную последовательность δ-функций, «площади» которых равны дискретным течениям входной величины.

При x(0)=0 спектры сигналов на входе и выходе ПИЭ связаны известным соотношением , где

x*(jω) – спектр сигнала на выходе ПИЭ,

x(jω) - спектр сигнала на входе ПИЭ,

ω_и – частота квантования сигнала.

Составляющие этого спектра при m≠0 называются транспонированными составляющими. Сопоставим действительные (можно...) составляющие спектров на входе и выходе ПИЭ. Видно, что сигнал на выходе ПИЭ из-за транспонированных составляющих является периодическим с частотой квантования ω_и, кроме того, ясно, что из спектра выходного сигнала ПИЭ x*(jω), полученного суммированием основной и транспонированных составляющих спектра на входе ПИЭ x(jω), нельзя восстановить спектр входного сигнала, ибо транспонированные составляющие его исказили.

П ричина этого понятна – ведь в квантованном выходном сигнале ПИЭ теряется информация о входном сигнале между моментами квантования.

Можно, однако, указать условия, при выполнении которых этой потери информации не происходит:

1. пусть спектр входного сигнала x(t) финитен (конечен) S(jω)=0 при │ω│≥ω_гр;

2. пусть частота квантования сигнала ω_и≥2ω_гр.

Как видно из рисунка, транспонированные составляющие спектра Х*(jω) при ω_и≥2ω_гр не перекрываются с основной составляющей (т.е. m=0), в результате чего в диапазоне частот спектры x(jω) и x*(jω) совпадают (с точностью до пост. множества). Если поставить идеальный фильтр низких частей с постоянным коэффициентом усиления и равномерным пропусканием в полосе , то на его выходе будет получен восстановленный сигнал x(t).

Это все и есть содержание импульсной теоремы Котельникова.

Процессы конечной длительности в импульсных САР.

Передаточная функция ИСАР после умножения и числителя и знаменателя на примет вид

, (1)

где p – переменная преобразования Лапласа,

a_i, b_j – коэффициенты, зависящие от параметров ИСАР.

Известно так же, что передаточная функция ИСАР есть ничто иное, как D-преобразование Лапласа от весовой функции ИСАР ω(mT).

(2)

Из сравнения (1) и (2) получается

(3)

Здесь ω(iT) – дискреты весовой функции ИСАР (i=0,1,2,…).

Из этого выражения ясно, что поскольку числитель левой части (3) почти никогда не разделится целиком (без остатка) на знаменатель, число дискрет ω(iT) будет бесконечно большим, т.е. переходный процесс в ИСАР закончится при , т.е. за бесконечно большое число тактов. Однако, при определенном подборе параметров ИСАР можно получить процесс конечной длительности (ПКД), заканчивающийся за конечное число тактов. Это случится, если числитель левой части (3) нацело разделится на знаменатель, а это возможно в том числе, если a_n≠0, а .

В этом случае максимальная длительность процесса, т.е. число тактов, за которое процесс закончится, определяется максимальной степенью числителя, т.е. «n».

Алгебраический аналог критерия устойчивости Гурвица для ИСАР.

Как и линейная непрерывная система ИСАР устойчива, если свободная составляющая ее решения с течением времени затухает. Это происходит в том случае, если корни характеристического уравнения ИСАР

(1)

левые (здесь p – переменная преобразования Лапласа). Часто характеристическое уравнение ИСАР путем замены преобразуется к виду

(2)

Нахождение корней характеристического уравнения (1) или (2) высокого порядка затруднительно, поэтому используют критерии оптимальности, позволяющие оценить устойчивость системы по коэффициентам характеристического уравнения или частотным характеристикам, не находя корней. Все критерии оптимальности для линейных непрерывных систем базируются на том факте, что корни характеристического уравнения для устойчивой системы расположены в левой полуплоскости комплексного параметра p. Однако известно, что для нелинейных ИСАР эти корни располагаются в левой полуполосе шириной (ω_и – частота квантования), если характеристическое уравнение ИСАР представлено в форме (1), или внутри окружности единичного радиуса в случае (2). И, следовательно, исследование критериев они используются для линейных непрерывных систем, для ИСАР невозможно.

Чтобы для ИСАР применить критерии оптимальности (например, критерий Гурвица), надо в уравнениях (1) или (2) заменой переменной преобразовать полуполосу или окружность единичного радиуса в полуплоскость. Это достается, например, для уравнения (2), заменой . (3)

В плоскости переменной ω окружность единичного радиуса в плоскости Z преобразовалась в левую полуплоскость. Умножим обе области характеристического уравнения (3) на (1-ω)ⁿ и получим .

Раскрыв здесь скобки и приведя подобные, получим характеристическое уравнение ИСАР в плоскости ω: .

Вот к этому характеристическому уравнению можно применять критерии оптимальности в виде, в каком они применяются для непрерывных систем. Например, из коэффициентов А₀, А₁, …А_n и составляется определитель n-го порядка, и для устойчивости ИСАР требуется, чтобы все главные диагональные миноры определителя Гурвица были одного знака со знаком коэффициента А₀ при старшем члене.

Характеристики

Список файлов ВКР