Вопросы ГЭК 2009new (1094840), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы. Первое из них - симметричность относительно центра эксперимента - алгебраическая сумма элементов вектор столбца каждого фактора равна нулю, или , где j- номер фактора, N – число опытов, j=1,2,…,k.

Второе свойство - так называемое условие нормирование - формулиру­ется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов т.е. Первые 2 свойства вытекают из отдельных столбцов МПЭ. Теперь отметим свойства, вытекающие из совокупности столбцов.

Третье, сумма почленных произведений любых 2х вектор столбцов МПЭ равных нулю: . Это важное свойство называется ортогональностью МПЭ.

Четвертое, последнее свойство называется ротатабельностью, т.е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра экс­перимента и не зависит от направления.

Вернемся к матрице 2². для движения в точке оптимума воспользуемся линейной моделью . Наша цель - по результатам эксперимента найти коэффициент модели. В данном случае эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что модель адекватна, где - истинные значения соответствующих неизвестных, a - оценки . Коэффициенты модели вычисляются по очень простой формуле , j=0,1,2,…,k.

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факто­ров. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет значок «+», то с увеличением зна­чения фактора параметр оптимизации увеличивается, если «-», то уменьшается.

Планируя эксперимент, на 1-ом этапе стремимся получить линейную модель. Однако нет гарантии в том, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью. А в случае, если модель нелинейна? Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня на котором находится другой фактор, т.е. присутствует эффект взаимодействия 2^-х факторов. П.Ф.Э. позволяет качест­венно оценить эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения 2^х факторов.

Реализация плана эксперимента

К проведению опытов необходимо тщательно подготовиться, собрать опытную установку, проверить и прокалибровать приборы, подготовить ис­ходное сырье, составить специальный журнал. Журнал оформляют в соответствии с методикой и планом опытов так, чтобы была ясна последовательность действий. На первой странице описывают цель исследований, параметр оптимизации и факторы с указанием их размерности. Желательно перечислить все факторы, которые могут служить
характеристиками процесса и указать, какая между ними существует корреляция. После этого необходимо перечислить основные факторы, указать их уровни и интервалы варьирования в виде таблицы. Целесообразно в рабочей матрице планирования проставлять не только кодовые значения факторов, но и натуральные. В рабочей матрице планирования необходимо оставить место для столбцов, в которых отмечаются даты постановки опытов и фамилий экспериментаторов. Затем, необходимо тщательно подготовить регистр, и измерить аппаратуру и сырье (оно должно быть однородным). Все
измерения и расчеты сохраняются в журнале до окончания работы (описание технологии, описание экспериментальной установки).

Ошибки параллельных опытов

Каждый эксперимент содержит элемент неопределенности вследствие ограниченности экспериментальных данных. Постановка повторных (парал­лельных) опытов не дает полностью совпадающих результатов, потому что всегда существует ошибка опыта (ошибка воспроизводимости). Эту ошибку и следует оценить по параллельным опытам. Для этого опыт воспроизводится по возможности в одинаковых условиях несколько раз и затем берется среднее арифметическое всех результатов. Среднее арифметическое Y равно сумме всех m отдельных результатов, делённой на количество параллельных опытов m

Отклонение результата любого опыта от среднего арифметического можно представить как разность , где - результат отдельного опыта. Нали­чие отклонения свидетельствует об изменчивости, вариации значений по­вторных опытов. Для измерения этой изменчивости чаще всего используют дисперсию. Дисперсия обозначается S² и выражается формулой:

где (т -1) - число степеней свободы. Одна степень свободы использована для вычисления среднего (СКО):

Необходимо отметить, что наличие среди повторных опытов резко отличаю­щихся результатов (грубых ошибок) может вызвать нарушение закона нор­мального распределения. Поэтому грубые наблюдения следует исключать, а затем рассчитывать среднее арифметическое и S². Необходимо помнить, что даже такая простая операция, как вычисление среднего, требует определенных условий, в данном случае нормального распределения.

Как правило, ошибка опыта является суммарной величиной, результа­том многих ошибок: ошибок измерения факторов, параметра оптимизации и т.д. Все ошибки принято разделять на 2 класса: систематические и случайные.
Схематическое изображение компонент ошибок измерений представлено на рис. 8.

Рис.8 Схематичное изображение компонент ошибки измерений

Для выявления грубых ошибок используют критерий Стьюдента: .

Значение t берут из таблицы t-распределения Стьюдента. Опыт считается бракованным, если экспериментальное значение t по модулю больше таблич­ного значения.

Дисперсия параметра оптимизации

При подсчете дисперсии параметра оптимизации квадрат разности ме­жду значением Y в каждом опыте и средним значением из m повторных наблюдений нужно просуммировать по числу опытов в матрице N, а затем разделить на N(m - 1):

(7)

Такой формулой можно пользоваться в случаях, когда число повторных опы­тов одинаково во всей матрице. Для 2^-х повторных опытов формула принимает вид

(8)

В дисперсию воспроизводимости проще считать при равенстве повтор­ных опытов. В случае, когда число повторных опытов неодинаково (отброс грубых наблюдений) приходится пользоваться средним взвешенным значе­нием дисперсий, взятым с учетом степеней свободы.

, (**)

где - дисперсия 1-го опыта, - дисперсия 2-го опыта и т.д.

-число степеней свободы в 1-ом опыте, равном числу параллельных опытов m минус 1.

, и т.д.

Формулами (7) и (9) можно пользоваться только в том случае, если дисперсии однородны. Однородность дисперсий означает, что среди всех суммируемых дисперсий нет таких, которые бы значительно превышали все остальные.

Проверка однородности дисперсий

Особое внимание следует уделять проверке однородности дисперсий, т.к. это одна из предпосылок, лежащих в основе регресс-анализа. Для проверки однородности дисперсий можно пользоваться критериями Фишера, Кохрена или Бартлета. Проверка однородности дисперсий производится с помощью различных статистических критериев, из которых простейшим является критерий Фишера, предназначенный для сравнения 2-х дисперсий. Критерий Фишера (F - критерий) представляет отношение большей дисперсии к меньшей. Полученная величина сравнивается с табличной величиной F -критерия.

Если сравниваемое количество дисперсий больше 2-х и одна дисперсия значительно превышает остальные, можно воспользоваться критерием Кох­рена. Он пригоден для случаев, когда во всех точках имеется одинаковое число опытов. При этом подсчитывается дисперсия в каждой горизонтальной строке матрицы:

(10)

а затем из всех дисперсий находится наибольшее , которая делится на сумму всех дисперсий. (11)

Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается, если экспери­ментальное значение критерия G не превышает табличного значения. После этого можно усреднять дисперсии и пользоваться формулой (*).

Рандомизация опытов

Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внеш­ними условиями (колебанием t°, партий сырья, лаборанта и т.д.), рекоменду­ется случайная последовательность проведения опытов. Random - случайный. Опыты необходимо рандомизировать во времени.

Обработка результатов эксперимента Метод наименьших квадратов

Статистики разработали много разнообразных методов обработки ре­зультатов эксперимента. Однако, ни один из них по своей популярности не может конкурировать с МНК, который был разработан около 200 лет назад усилиями Лежандра и Гаусса.

Характеристики

Список файлов ВКР