Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 78
Текст из файла (страница 78)
т гг— 1 2И 1 И2 . Уи 1л— уи — !.и 5а 1 ии )г !И ИИ ! К 1' 1,И вЂ” ! гИИ )г 2И ИИ вЂ” 1 '!' У 2,И вЂ” 1 !им т<>>, как правило, не является особенной, поэтому основная система а уравнений многополюсника, один из внешних контуров которого разомкнут, может быть разрешена относительно токов остальных контуров. В отличие от неопределенных матриц сопротивлений и проводимостей многополюсника матрицы У1~> и У1~>, получаемые из матриц Хц и У,~ путем вычеркиванйя строки й столбца, будем называть укороченными матрицами сопротивлений и проводимостей многополюсника. При обьедннении Ьго и Ж-го выводов многополюсника в один й-й вывод из неопределенной матрицы сопротивлений исходного многополюсника вычеркивают У-ю строку и .Ч-й столбец, а остальные элементы исходной матрицы Яы заменяют новыми Ж>, рассчитанными по формуле Если какой-либо из полюсов многополюсника, например й-й, являющийся общим для Ьго и 1-го контуров, становится внутренним, то контуры й и ! объединяются в один 1-й контур.
В этом случае в неопределенной матрице сопротивлений многополюсника вычеркйвают й-ю строку и й-й столбец, а к элементам 1-й строки и 1-го столбца прибавляют соответствующие элементы Ф-й строки и А-го столбца. Соотношения между элементами неопределенных матриц проводимостей и сопротивлений многополюсника Основные уравнения произвольного линейного неавтономного многополюсннка в формах У и Е описывают зависимости между токами и напряжениями на зажимах этого многополюсника.
Очевидно, что коэффициенты основных уравнений (г' и 2 параметры многополюсника) должны быть связаны между собой соотношениями, позволяющими найти элементы одной из неопределенных матриц многополюсника по известным элементам другой. Определить эти соотношения путем сопоставления выражений для одноименных величин, например токов или напряжений полюсов, полученных из уравнений (8.6) и (8.13), невозможно, поскольку матрицы Уы и т'» являются особенными и уравнения (8.6) не могут быть разрешены относительно напряжений полюсов, а уравнения (8.13) — относительно токов внешних по отношению к многополюснику контуров.
Однако, как было установлено ранее, укороченные матрицы сопротивлений и проводимостей многополюсника не являются особенными и, следовательно, основные уравнения многополюсника, один из выводов ко. торого выбран в качестве общего или один из внешних по отношению к которому контуров является разомкнутым, могут быть разрешены относительно одноименных величин. ФФФФФ Пример 8.8. Определим соотношения между с'- и Х-параметрами линейною неавтономного трехполюсника (рис. В.У, а).
Пусть неопределенная матрица про. водимостей етого трекполюсника известна в з ии ува ~~з '.эл ) з ~ ав ) ш ) за 711 —— з Виберем любой иэ полюсов трехполюсника, например полюс 8 в качестве оба(ею (рис. В.У, б) и найдем соответствующую этому случаю укороченную матрицу проводимостей 1 в у)~> '15в Основная система уравнений трехполюсника в данной схеме включения имеет вид 1,=Г„()ш+~ и 0„; 1,=Г„О„+~;, йш. (8.(9) Выразим токи полюсов трехиолюсники 1и 1, через токи внешних контуров 1и.
1вв (рис. В.У в) 1а=1и 1а — 1аз, (8.20) а напряжения полюсое трекполюсника относительно боэисноео Увь, (1аь через напряэсения между полюсами Озв = ()а; ()аа = — Оэ. (8.2)) Подставляя соотношения (8.20), (8.21) в (8.1У) и решая полученную систему уравнений 1и=ки йа — Г„ов, — 1ва = Увв ()в — )'аа 0в относительно ()и (1в, переходим от ссноенмх уравнений трехполюсника с общим полюсом В (рис.
В.У, б) к осноенмм уравнениям трехполюсника с раэомкнутвив внешним контуром 2 (рис. В.У, в): Ов =)ш 1и1(Ува )ш ~за )вв)+)'вв 1эз1(Уаа ~'аа ) и Уи)~ О,= У 1и1а;, Ä— У„Г„)+Ги 1„1(Äӄ— У„Ую) 2 1 ° . 2 1 д 81 а) Рис. 8.8. К примеру 8.8 Е)ь здесь Е ес — укороченная матрица сопротивлений трехпаэюсника. внешний 1е! контур 2 которого разомкнут: у у Е)ь! т! ум у з ул! утт узз ухе ум l у — узэ уэ узл — у уз дополняя укороченную митрицу сопротивлений воюрой строкой и вторым столбцом и вынося из матрицы общий для всех элементов множитель, находим неопределенную матрицу сопротивлений рассматриваемого трехполюсника: — (у +у) +уз!+ухе — (у +у з) (утт+ ую) у ! и у у 1 у (5! ( зз) — з у Полученные выражения для 2-параметров могут быть упрощены, если при.
нюпь во внимание, что сумма элементов любой строки и сумма влементов любого столбца матрицы ТЫ равны нулю: ! з ! ! з у у уы ул уз! (8.22) выразить элементы неопчерез элементы неопреде- Ез Лд Тг,.= ', Ет Е„ Ед! Евз — Еть Яы з сьз Еть Еэь е Яьь (8. 23) как видно из выражений (8.22), (8.22), взаимные преобразования неопреде.
ленных матриц проводимостей т!э и сопротивлений ЕП мнотопотоснннв возможны только в том случзе, если укороченные матрицы проводимостей тл()! и сопротивлений Е не ивлквтси особенными. уо Уравнения электрического равновесия линейных цепей, содержащих неавтономные многополюсники, формируют с помощью предложенных проф. В. П. Снгорскнм обобщенных методов узловых напряжений и контурных токов.
Основные идеи обобщенного метода Используя аналогичньы преобразования, нетрудно ределенной матрицы проводимостей трехполюсника ленной матрицы сопротивлений: ! 3 Уравнения электрического равновесия цепей с многополюсными элементами 3 у 11 у уравнений и„г им [8.281 тде т = <1 — 1 — числа независимых узлов цепи, а т'()„> и Л),— матрица узловых проводимостей и матрица-столбец узловых токов цепи (рис. 8.10, б), которые соответственно равны: У<)!) 1 <)г> ...
У((г> ... К'<н> .... 1 <о> ... У<(,ч У(г)) 1'<гг) ... 1 (ы> ., У(г!) " У<ге> ... У<ге> 1'<ы) 1'(гг> .. У<гг> ... У<г!) ... У(г» ..Л~г! > у<((> 1 (<1) 1 (<г) " 1 (и) ". 1 (!!) " 1 ((!) " 1 (Фт) Ъ'(.(> 1'(м> . ~'(!г) ... 1'(и> ...
У(м> ... ~'(а ) У (т!) 1 (изг) "° У(юй) " 1 (г!)) "° 1 (мг) °" 1 (аи) Выражая токи источников тока .)„,(2, .)3 через узловые напряжения пепи (8.25) и перенося соответствующие члены в левую часть уравнения (8.28), получаем У(Ш', У(12> ". 1 (и> У(21>> ) (22> "" У (2И ) ((т> У(2т] )'(11> )(>и> ) ((О ." )'(20> г(21»' (22> ." (г(20>+гд>)" ( (ы>+ 2>2)" ( (Зо>+гм)" )(Зт> ) (11]> УП2> ° ° (~(12) +) 21) "' ( (П>+~22) ''' ( (1О+~ 23) ° ) ((т> о (В1!] у (32! .- (~ (02]+~ 31) (~ (о(> + ~ 32) " (~ (т)+ ~ зз) "° у(от] У'(т>>', У(то> ...
К(тз> у(т>> "- ) (то] " у(то|> '/10 )20 010 (8.27) )10 ооО ~то Как видно из (8.27), система узловых уравнений произвольной линейной цепи, содержащей неавтономный трехполюсник, по форме совпадает с системой узловых уравнений вспомогательной цепи, которая получается из рассматриваемой цепи путем исключения этого трехполюсннка. Матрица-столбец узловых токов исходной цепи полностью совпадает с матрицей-столбцом узловых токов вспомогательной цепи, а матрица узловых проводимостей рассматриваемой цепи получается из матрицы узловых проводимостей вспомогательной цепи У(м! путем добавления к ее элементам, лежащим на пересечении А-, 7- и з-й строк и А-, 1- и з-го столбцов, соответствующих элементов неопределенной матрицы проводимостей неавтономного трехполюсника.
г) общем случае исследуемая цепь может содержать не один, а не- колько многополюсных элементов с произвольным количеством вывоов, формирование уравнений электрического равновесия такой цепи в соответствии с обобщенным методом узловых напряжений производят в следующем порядке: )) выбирают базисный узел и нумеруют независимые узлы цепи; 2) изменяют нумерацию столбцов и строк неопределенных матриц проводимостей всех многополюсников в соответствии с нумерацией узлов, к которым подключены выводы этих многополюсников; 3) из неопределенных матриц проводимостей всех многополюсников вычеркивают строки и столбцы, соответствующие тем выводам многополюсника, которые соединены с базисным узлом (элементы этих столбцов и строк не учитывают при формировании узловых уравнений исследуемой цепи); 4) из исследуемой цепи удаляют все многополюсники, для оставшейся вспомогательной цепи, содержащей только идеализированные двухполюсные элементы, формируют систему узловых уравнений; 5) от узловых уравнений вспомогательной цепи переходят к узловым уравнениям исследуемой цепи, для чего последовательно рассматривают все входящие в цепь многополюсники и элементы неопределенных матриц проводимостей многополюсников суммируют с соответствующими элементами матрицы узловых проводимостей вспомогательной цепи.
Очевидно, что количество независимых уравнений злектрического равновесия, формируемых с помощью обобщенного метода узловых напрямеинй, не зависит от внутренней структурм входящих в цепь миогопоиюсинков н определяется только чисзом независимых узлов внешней по отпев~гнию к многополюснинам части цепи. Отметим, что обобщенный метод узловых напряжений является весьма универсальным и не накладывает никаких ограничений на топологию цепи н количество входящих в нее многополюсных элементов.
° ФФФФ Пример 8.9. Составим систему узловых уравнений усилительного каскада ка полевых триизисторах, принципиальная влектрическая схема которого приве- дина ка рис. В.11, а. Используем комплексную гкгму замгщеиия (рис. В.11, б). вдв в виде миогополюскика представлена модель полевого траизистора по переменному току в режиме малого сигнала. Ел Угчугод Уз=дюсе (гг) уев И~». (01 Рнс. 8.11. К примеру 8.9 Изменяя нумерацию соимбцов и строк неопредвяенной матрицей «роводимо. отей полевого транзистора (пример 8.1) в соотттствии с нумерациеи узлов рас.
смитриваемой цепи, получаем з — уеС 61+)е (С»о+ Сои) (Ау+ уеСьи) о — УеС вЂ” (В+ 01+ уеСси) з+Оу+у (С +С.и) У11= уе(С, +С„) 8 — УеСвв — (8-(- УеСзи) Строка и стоябец неопределенной матрицы проводимостей, соопюетствующие выводу транзистора, соединенному с базисным узлом цели, могу|и быть вычеркнуты из матрицы, так как зяементы этой строки и этого столбца не будут учитываться при составлении уравнений влектрического равновесия, Составим систему узлоеык уравнений вспомогательной цепи, которая получавоюя из цепи (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
