Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Матрицы а, д, входящие в состав уравнений состояния цепи, могут быть выражены через компонентные и топологические матрицы рассматриваемой цепи (4, 5, 81. й 7.3. ВЫБОР МЕТОДОВ ФОРМИРОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ ДЕПИ Численные методы решения уравнений электрического равновесия При решении отдельных частных задач теории цепей, таких, как исследование цепей нулевого порядка илн анализ установившегося режима постоянного тока в линейных или нелинейных цепях, процессы в электрической цепи можно описывать системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Уравнения же электрического равновесия произвольной идеализированной цепи с сосредоточенными параметрами представляют собой систему ннтегро-дифференциальных уравнений. Интегрирование таких уравнений в современных программах анализа цепей осуществляется„как правило, численными методами, основанными на замене рассматриваемого непрерывного интервала времени последовательностью точек Г,, 1„..., 1„, ...
на временной оси. Искомая реакция цепи у = у (1) в этом случае приближенно представляется множеством дискретных значений у, = у(1,), у, = = у (11), ..., у„= у (Г„), ... определяемых в результате последовательного выполнения ряда шагов интегрирования. Известные методы численного интегрирования принято разделять на явные и неявные. Прн использовании я в н ы х методов для получения у„(решения системы уравнений на л шаге интегрирования) используют результаты, полученные на и предыдущих шагах: (7.12) Уи =. г (Ун-г Уп-э " Ув-т).
В неявных методах для получения решения у„на каждом шаге интегрирования необходимо решать уравнение (7.!3) г (уп уп-м уа-з " уи-т) = — О~ 340 которое в общем случае является нелинейным относительно у„. Уравнение (7.13) решают с помощью различных методов последовательного приближения, причем для определения значения у„qа каждом шаге интегрирования требуется выполнить несколько последовательных приближений (и т е р а ц и й).
Очевидно, что по сравнению с явными методами, реализация одного шага интегрирования с использованием неявных методов требует болыпега объема вычислений, а следовательно, и больших затрат ресурсов ЭВМ (памяти и машинного времени). Поэтому практическое применение неявных методов стало возможным только в последние годы, в результате разработки мощных ЭВМ трстьего и четвертого поколений, обладающих высоким быстродействием и значительным объемом памяти. В большинстве программ машинного анализа, разработанных до недавнего времени, использовались явные методы интегрирования, что объясняется относительной простотой табулирования функции (7.12) иа каждом шаге интегрирования.
В то же время при использовании явных методов уравнения электрического равновесия должны быть представлены в ф о р м е К о ш и, т. е. разрешены относительно производных от искомой реакции цепи йд й -- ) (у, 1). Из всех рассмотреннгях методов только метод переменных состояния позволяет получить систему уравнений электрического равновесия цепи в форме Коши, причем процесс машинного формирования уравнений электрического равновесия этим методом более трудоемок по сравнению с методами узловых иапряжеиий или контурных токов. Явные методы интегрирования весьма чувствительны к выбору шага интегрирования Й =- 1„— 1„ Если Й) Й„.р, где Й„р — некоторое критическое значение, приближенно равное наименьшей из постоянных времени рассматриваемой цепи, то возникает явление числовой неустойчиво- в о с т и, проявляющееся в возрастании погрешности вычисления, что в конечном счете может привести к переполнению разрядной сетки ЭВМ.
Необходимость интегрирования с весьма малым шагом значительна увеличивает трудоемкость анализа и является существенным ограничением для применения явных методов к анализу цепей большой сложности. Неявные методы интегрирования не требуют представления исходных уравнений обязательно в форме Коши и менее чувственны к выбору шага интегрирования. Поэтому, несмотря на высокую трудоемкость определения решения на каждом шаге интегрирования, суммарные затраты машинного времени при использовании неявных методов могут оказаться значительно меньше, чем при использовании явных методов.
Вследствие этого в большинстве программ автоматизированного анализа цепей, разрабатываемых в настоящее время и ориентированных иа применение современных ЭВМ, используются неявные методы интегрирования. 341 Выбор методов формирования уравнений электрического равновесия в программах машинного анализа цепей Как правило, каждая программа машинного анализа цепей бывает ориентирована на использование определенного метода формирования системы уравнений электрического равновесия, поэтому необходимость выбора метода формирования системы уравнений возникает только при разработке новых алгоритмов и программ анализа.
В течение длительного времени для формирования уравнений электрического равновесия использовался преимущественно метод переменных состояния. Основной положительной особенностью этого метода является формирование уравнений электрического равновесия цепи непосредственно в форме Коши, что допускает применение явных методов интегрирования. Кроме того, выбор в качестве независимых переменных таков индуктивностей и напряжений емкостей значительно облегчает определение вектора начальных условий цепи, необходимого для интегрирования системы уравнений (7.
! !). К недостаткам метода переменных состояния относится значительная сложность формирования системы уравнений электрического равновесия, особенно при наличии в цепи топологических вырождений. Для устранения топологических вырождений в эквивалентную схему исследуемой цепи вводятся дополнительные малые сопротивления, а это приводит к возникновению малых постоянных времени. Недостатки метода переменных состояния дополняются отмеченными' ранее недостатками явных методов интегрирования. В связи с разработкой вычислительных машин с большим объемом памяти и высоким быстродействием создались условия для широкого применения неявных методов интегрирования.
Это привело к тому, что в последнее время резко увеличился интерес к использованию метода узловых напряжений. Как отмечалось ранее, процесс составления уравнений электрического равновесия цепи по методу узловых напряжений легко поддается автоматизации, причем при составлении уравнений отпадает проблема топологических вырождений.
Метод контурных токов не обладает какими-либо преимуществами по сравнению с методом узловых напряжений, однако процесс формирования уравнений электрического равновесия с помощью этого метода несколько сложнее вследствие необходимости выбора дерева графа исследуемой цепи и связанной с деревом системы независимых контуров. Указанные обстоятельства привели к тому, что большинство отечественных и зарубежных программ анализа цепей, разработанных в последние годы, основаны на использовании метода узловых напряжений и его различных модификаций. Подробные сведения об отечественных и зарубежных программах машинного анализа цепей можно найти в работах !4, 5, 8 †!3!.
Основы теории четырехполюсников и многополюсников ° 11111111111 й ВД, МНОГОПОЛЮСНИКИ И ЦЕПИ С МНОГОПОЛЮСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ Задача анализа цепей с многополюсными элементами Известно два подхода к анализу цепей, содержащих многополюсные элементы (лампы, транзисторы, трансформаторы и др.). П е рв ы й — заключается в замене всех входящих в цепь элементов (в том числе и многополюсных) моделирующими цепями, составленными только из идеализированных двухполюсников, с последующим исследованием процессов в полученной идеализированной цепи с помощью рассмотренных ранее методов. Основной недостаток такого под. хода заключается в том, что число неизвестных токов и напряжений моделирующей пепи может значительно превышать число интересующих реакций цепи — - токов и напряжений на зажимах реальных элементов.
В т о р о й подход заключается в представлении многополюсных элементов в виде многополюсников. (Аналогичным образом можно представлять не только отдельные многополюсные элементы, по и любые участки цепи, имеющие несколько выводов, с помощью которых они соединяются с остальной частью цепи,) Уравнения электрического равновесия идеализированных цепей, содержащих многополюсники, могут быть сформированы на основании соотношений, связывающих токи и напряжения на зажимах многополюсников, причем, как будет показано, число этих соотношений определяется только числом внешних выводов многополюсннка и не зависит от его внутренней структуры.
Очевидно, что такой подход дает возможность устранить из рассмотрения участки идеализированной электрической цепи, токи н напряжения которых пе представляют интереса в рамках решаемой задачи, и, следовательно, существенно уменьшить число одновременно решаемых уравнений электрического равновесия. Для реализации такого подхода необходимо разработать методику получения соотношений, связывающих между собой токи и напряжения на зажимах мвогаполюсников, и методику формирования уравнений электрического равновесия идеализированных цепей на основе этих соотношений. Решение указанных задач составляет основное содержание общей те- ории миогополюсииков, развитой главным образом в работах советских специалистов Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
