Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(6.105) о При 1 = 0 операторные изображения единичных функций имеют простой вид: (6.106) 1 (г) =' 1!р; 6 (1) =,' 1. Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Рассмотрим линейную электрическую цепь, ие содержащую независимых источников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на цепь представляет собой неединичный скачок х (() -= х' (1) = Х Х Х !(1 — г ), а реакция цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях у (1) == у" (1). Переходной характеристикой й'(1 — 1) линей"ой цени, ие содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неедииичного скачка тока илн напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях: й' (à — (о) -.= Р' (1)~Х. (6.107) 315 Из выражения (6.107) видно, что Й' (1 — гь) = у' (1), если Х =1, следовательно, переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения.
Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной. Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади 5ьл х (!) х (!) 5ь 8 (! !о) Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим у (1) = уь (!).
Импульсной характеристикой Йь(1 — 1ь) линейной цепи, пе содержащей независимых источников энергии, йазывается отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты н конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях: (6, 108) (! !о) = у (1)15ь. Как следует из выражения (6.108), импульсная характеристика цепи численно ровна реакции цепи на воздействие единичного импульса (5ь = 1), а размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.
Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от первых характеристик аргументом последних является время Й а не угловая !» или комплексная р частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время, называются временными, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная)— частотными характеристиками, то переходная и импульсная характеристики относятся к временнйм характеристикам цепи. Каждой операторной характеристике цепи Н„(р) можно поставить в соответствие переходную Йл!, (1 — г,) и импульсную Йь, (1— — 1,) характеристики, Для установления связи между ними найдем операторные изображения переходной н импульсной характеристик.
Используя выражения (6.107), (6.108), запишем Й' (! — !ь)='У'(р)/Х; Йь (1 — 1,) —. Уь (р)/5ь. Здесь К' (р) = у' (1)1 Уь (р) =' уь (1) — операторные изображения реакции цепи на внешние воздействия х' (1) и хь (1) соответственно. Выражая У! (р) и )'ь (р) через операторные изображения внешних воз.
действий Х' (р) = Хе-е!* ~р =.' х (1)1 Хь (р) =- 5ь е — ен =' хь 11) получаем 11~ (1 — гь) = Н (р) Х' (р)IХ = Н (р) е-Р!а!р; Йь (( — (о) =' Н (р)Хь (р)!!5ь . -. Н (р) е''е!' (6.109) з16 При г, = 0 операторные изображения переходной и импульсной характеристик имеют простой вид У(1) Н ( и йь(Г) — Н(,) (6.!1О) Таким образом, импульсная характеристика цепи йэт (1) — это э функция, изображение которой, по Лапласу, представляет собой операторную характеристику цепи Нк (р), а переходная характеристика цепи й)„(Г) — функция, операторное изображение которой равно Н», (р)lр. Выражения (6.109), (6,110) устанавливают связь между частотными и временными характеристиками цепи.
Зная, например, им пульсную характеристику й», (1), можно с помощью прямого преобразования Лапласа найти соответствующую операторную характеристику цепи Нь„(р)=~ е — "йь,(г')Ж, о а по известной операторной характеристике Нэт (р) с помощью обратного преобразования Лапласа определить импульсную характеристику цепи ае+! э й~~ (1) = — ~ ег' Нэ (р) др. 2я) а,— !» Используя выражения (6.109) и теорему дифференцирования (6.51), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками й'(1 — 1,) = —" йз (г 1,).
(6.11() йг Следовательно, импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени. В связи с тем что переходная характеристика цепи й' (1 — 1,) численно равна реакции цепи иа воздействие единичного скачка напряжения или тока, приложенного к цепи с нулевыми начальными условиями, значения функции й~(1 — 1,) прн г г, равны нулю. Поэтому, строго говоря, переходную характеристику цепи следует записывать как Ь' (г — 1,) 1 (1— — Г,), а не Ь' (г — 1,).
Заменяя в выражении (6.111) й' (г — 1,) на й'(à — Гэ) 1 (1 — Г,) и используя соотношение (6.103), получаем "' (г — г.) = †„ (й' (г — г.) 1 (г — гэ)1 = 1 (г — гэ) :< Я~ '4 Х вЂ” 'й'(à — Г,)+и'(à — Г,) 6(à — 1~ = 1(à — Г,) —" йт(à — 1,)+ !' Н о о ' э +(ь (Г Го)Ъ|=цб(1 1о) (6.112) Выражение (6.112) известно под названием ф о р м у л ы о б о бШ е н н о й п р он з в од н о й. Первое слагаемое вэтомвыражении представляет собой производную переходной характеристики прн 1) ) г„, а второе слагаемое содержит произведение 6-функции на значе- 317 ние переходной характеристики в точке 1 =- 1,.
Если при 1 =- 1, функция й' (1 — 1) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи содержит б-функцию, умноженную на высоту скачка переходной характеристики в точке 1 = 1в. Если функция Й' (1 — 1,) не претерпевает разрыва при 1= 1„т. е. значение переходной характеристики в точке 1 =- 1в равно нулю, то выражение для обобщенной производной совпадает с выражением для обычной производной. Определение временнйх характеристик линейных цепей Для определения переходных (импульсных) характеристик линейной цепи в общем случае необходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на иее единичного скачка (единичного импульса) тока или напряжения.
Это может быть выполнено с помощью классического или операторного методов анализа переходных процессов. На практике для нахождения временных характеристик линейных цепей удобно использовать другой путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характеристиками. Определение времен* ных характеристик в этом случае начинается с составления оператор.
ной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий. Далее, используя эту схему, находят операторную характеристику Л„(р), соотвстствующую задайной паре: внешнее воздействие на цепь хв (1)- реакция пепи уе (1). Зная операторную характеристику цепи и применяя соотношения (б.!09) или (6.!!О), определяют искомые временные характеристики. Прн качественном рассмотрении реакции линейной цепи на воздействие единичного импульса тока или напряжения переходной процесс в цепи разделяют на два этапа. На первом этапе (при 1Е ) 1о, 1ос (цепь находится под воздействием единичного импульса, сообщающего цепи определенную энергию.
Токи инд ктивностей и нап яжения емкосте" и и этом с тся на значение, соответствующе е посту. пившеи в цепь энергии. На втором этапе (при 1 ) 1„) действие приложенного к цепи внешнего воздействия закончилось (прн этом соответствующие источники энергии выключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекакзщие за счет энергии, запасенной в реактивных элементах на первой стадии переходного процесса, Таким образом, импульсная характеристика пепи, численно равная реакции на воздействие единичного импульса тока или напряжения, характеризует свободные процессы в рас. сматриваемой цепи.
Следовательно, прн переходе Пепи от исходного состояния к первой стадии переходного процесса, законы коммутации не выполняются, а при переходе от первой стадии переходного процесесевмЬр ь— ° ФФФФ Пример 6.Х Лля цепи, схеяа которой приведена на рис. 2.12, а, найдем переходную и импульсную хириктеуистики в релсиме холостово хода на зажимая 2 — 2' Внешнее воздействие ни цепь — напряжение на зажимах 1 — 1' х (1) =' ив реакция цепи — нипряжение на зажимах 2 — 2' у (1) = ив. 3!8 Операторная характеристика данной цени, соответспюующая указанной паре: внешнее воздействие иа цепь — реакция цепи, была получена в примере 6.6: Р Пьч (Р)=Кггх (Р) =- Р+/!/Е Следовательно, операторные изображения перекодной и импульсной корок. териспшк цепи имеют вид И (Р) йг (1) =.— = Р Р+й/1- й (1) =,и (р) =: р /7 ! р+/7/Е Е р+/7/Е Используя таблицы обратного преобразования Лапласа (см приложение 1), перекодим от изображения искомых временных характеристик к оригиналам (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
