Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(6.49) изображений этих Изображение суммы функций эре»лени равно сумме функций: и .ы а! (!) —. ~~ А! (р), л=! »-! (6.50) где а! (!) =' А; (р). Из курса высшей математики известно, что для функций о (г), равных нулю прн ! ( О, интегрируемых при Г ) О н удовлетворяющих неравенству еа,! где К и ое — некоторме постоянные числа, интеграл (6.46) абсолютно сходится при йе (р) ) ое. Изображение А (р) в полуплоскости йе (р) ) оэ является аналитической функцией р, которая стремится к нулю при йе (р) — ее. На практике к интегрированию по формулам (6.46), (6.47) приходится прибегать сравнительно редко, так как для большинства часто употребляемых функций разработаны таблицы прямого и обратного преобразований Лапласа ]6, 7]. Операторные изображения некоторых функцяй приведены в приложении !.
Следует иметь в виду, что в ряде справочников, а частности в (6], приведены таблицы преобразовании Карсена — Хевисайда О» Ак (р) == р ] е э! а (!)»(! =рА (р), е которое отличается от преобразования Лапласа только наличием множители р. Йапомиим некоторые свойства преобразования Лапласа. Изображение по Лапласу постоянной величины К равно этой величине, деленной иа р: Если начальное значение функции а (!) равно нулю а (О+) = О, то днффе. ренцированию функции а (!) соответствует умножение изображения этой функции на р(теорема дифференцирования) «а (!) — ~ рА (р); (6.5!) при а (Оэ) чь 0 Ыа (8) — =,' рА (р) — а (О'+) . (6.52) Повторным применением теоремы дифференцирования, можно получить выражения для производных высших порядков: Из а (!) лиа а(!) ~ иэ =.' р (рА (р) — а (О+)) — — 1 л(! (! = о+ аа (Е) = рт А (р) — ра (О+) — — ! л( а(!) = «А ~«« — а "(~) () —,.
р и« .Юй ига — ! з=! !=о+ Интегрированию функции времени в пределах от О до ! соответствует де. ление изображения этой функции иа р (т е о р е м з и н т е г р и р о в а н н я: ) а (!) и =,. А (р)!р! о (6.53) смещению функции времени на (е соответствует умножение изображения нае э!'(теорема запаздывания): а (! — тэ) =' е '"' А (р), а смещению иэображения А (р) в комплексной плоскости на комплексное число )л соответствует умножение оригинала на е ! (те о р е и а с м е ш е н и я): е а (!) =.' А (р+)л).
а (г=о) — )!тп рА (р); и це р>о и ((= со)=-))и! рА (р) з о предполагается, что соответствующие пределы существуют). Если изображение А (р) может быть представлена в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней: а„р"+ а„, р" '+...+а! р+аз (6.55) О„Р"+ Ь гР -'+...+Олд+бэ А (р) М (р) причем степень полннома М (р) выше, чем степень полинома д( (р), а уравнение и(р) = о (6. 56) Значения функции времени при ! = 0 н ! = ьл могут быть найдены с по. мощью предельных соотношений ие имеет кратиых корней, то для перехода от изображеиия к оригиналу можио воспользоваться теоремой разложеиия ега г, ~ О ) . )у (ре) М(р) ' ЫМ~ '(Р Ьг яа (6.
57) где ра — корни уравнения (6.56). Теорема разложения может быть сформулироваиа также для случая, когда уравнение (6.56) имеет кратные корни, и может быть распространена иа случай, когда А (р) является произвольиой меромарфиой функции р, т. е, фуикцией, ие имеющей иных особых точек, кроме полюсов [7). Уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме. Операторные схемы замещения идеализированных двухполюсных элементов Итак, используя преобразование Лапласа, каждому уравнению, входящему в систему уравнений электрического равновесия цепи, можно поставить в соответствие уравнение, составленное относител но опеРаторных изображений токов и напряжений.
Уравнениям баланса мгновенных значений токов и напряжений соответствуют уравнения баланса операторных изображений токов и напряжений, а компонентным уравнениям, описывающим соотношения между мгновенными значениями токов и напряжений отдельных ветвей, соответствуют уравне- нпЯ, связывающие операторные изображения токов и напряжений тех 297 Как известно, преобразование Лапласа лежит в основе операторного метода решения линейных дифференциальных уравнений, разработанного в середине прошлого века русским математиком М.
Е. Ващенко-Захарченко. Независимо, но значительно позднее известный английский ученый О. Хевисайд применил операторный метод к анализу переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами. Значительный вклад в развитие и обоснование операторного метода внесли советские ученые К. А.
Круг, В. С. Игнатовский, А. М.:.яррос, А. М. Данилевский, А. И. Лурье, М.И. Канторович и зарубежные ученые Д. Р. Карсон, Я. Микусинский, Б. ван део Поль, П. Леви. При использовании операторного метода решения дифференциальных уравнений неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, а также заданные токи и напряжения независимых источников заменяют нх операторными изображениями. Прн этом система интегродифференпиальных уравнений электрического равновесия, составленная относительно мгновенных значений токов и напряжений ветвей, преобразуется в систему алгебраических уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов н напряжений. Решая эту систему уравнений, можно найти изображения искомых токов и напряжений ветвей электрической цепи после коммутации.
Далее, применяя обратное преобразование Лапласа, можно перейти от изображений искомых токов и напряжений к оригиналам. же ветвей. Вследствие того что изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций (6.50), для перехода от уравне. ний баланса мгновенных значений токов и напряжений ветвей к уран. пениям баланса операторных изображений токов и напряжений достаточно в уравнениях (1.37), (! .40) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями ~7,(р) =о; ~и„(р) = о. (6.59) Если уравнения баланса напряжений формировались относительно мгновенных значений напряжений отдельных элементов (1 42), то в операторной форме эти уравнения принимают внд ~~'„',(7,(р) =~ Еу(р).
(6.60) 4 Уравнения (6.58) и (6.59) или (6.60) будем называть у р а в н ениям и баланса токов и напряжений в опер а т о р н о й ф о р м е, а операторные изображения токов и напряжений — операторными токами и напряжениям и. По аналогии с ранее рассмотренными понятиями комплексного входного сопротивления Л = Х (1ю) и комплексной входной проводимости т' = 'т' ((ю) введем понятия операторного входного сопротивления Я (р) и операторной входной проводимости )' (р).
Операторным входнымсопротивлениемпассивного линейного двухполюсника называется отношение операторного напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нулевых начальных условиях (6.61) г (р) = (7 (р)17 (р), где 7 (р) =,' 1(1) и (7 (р) =.' и (1) — операторные изображения тока и напряжения на входе некоторого пассивного двухполюсннка прн 1 > 0 и нулевых начальных условиях.
Величина, обратная 2 (р), называется о п е р а т а р н о й входной проводимостью У(р) = Ы(р) == 7(р) 7и(р). Операторное входное сопротивление и операторная входиаа проводимость пассивного линейного двухполюсиика, подобно его комплексному входному сопротивлению и комплексной входной проводимости, ие зависят от интенсивности внешнего воздействия и определяются только параметрамн входящих в двухнолюсник идеализированных пасснвимх элементов п схемой их соединения, Как следует нз выражений (6 .61), (6.62), каждому пассивному линейному двухполюснику при нулевых начальных условиях может быть поставлена в соответствие операторная схема замешен и я, на которой рассматриваемый двухполюсн ик представляется сво- Рнс.
6.6. Операторная схема оямещення сопро- тнялення Подставляя соотношения (6.63), (6.64) в (6.6!), (6.62), находим выражения для операторного входного сопротивления и операторной входной проводимости г. (Р) =- )7; ун (Р) = о = 11)7. (6.66) Операторная эквивалентная схема сопротивления приведена на рис. 6.8. Е м к о с т ь. Напряжение и ток емкости связаны соотношениями (1.13), (1.16); с онс ! с. 1с=С вЂ”; ис=ис(0)+ — ).(сс(1. ш с,) о Используя теоремы дифференцирования (6.62) и интегрирования (6.63), получаем 7с (р) =р С(Уо (р) — Сис (О); , (61 ис(р) = — '+ — 7с(р) Р Рь Операторные компонентные уравнения емкости (6.66) и (6.67) являются равносильными и могут быть получены одно из другого. При нУлевых начальных УсловиЯх (ис (О) = О) они пРинимают внд 7,(р) = РС(7,(р); и,(р) = 7,(р)7(РС).
(6.66) (6.67) им операторным входным сопротивлением или операторной входной проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах — их операторнйми изображениями. Если в рамках решаемой задачи двухполюсник не находится при нулевых начальных условиях, та его операторная эквивалентная схема должна содержать независимый источник тока или напряжения, характеризующий начальные запасы энергии в цепи. Рассмотрим операторные компонентные уравнения и операторные схемы замещения 1я (Р) идеализированных пассивных двухполюсников.
Е ей С о п р о т и в л е н и е. Соотношения ия(Р) я(Р)д между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах сопротивления устанавливаются выражениями (1.9), (1.10): ил —— = )с1а,' 1н = Сив. Учитывая, что умножению функции времени на постоянное число соответствует умножение изображения функции на это же число (6.49), для получения компонентных уравнений сопротивления в операторной форме достаточно в выражениях (1.9), (1.1О) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями Он (Р) = Й(н (Р)' (6.63) (н (р) = Сан (р). (6.64) Таким обРазом, опеРатоРное входное сопРотивление Яс (Р) и опе- РатоРиаЯ входнаЯ пРоводимость емкости Ус (Р) опРеДелЯютсЯ выРаже- ииями г,(Р) =-1ЪС); У,(Р) =РС. (6.68) Операторным компонентным уравнениям (6.66) и (6.67) соответствуют параллельная и иоследовательиая схемы замещения емкости (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
