Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 64
Текст из файла (страница 64)
зонансной частоте последовательного колебательного контура ы,, Чем меньше коэффициент затухания б, тем ближе к мнимой оси расположены корни уравнения, меньше различие между ы,„и в, и медленнее затухание свободных процессов. В пределе, при 6 =-= О, корни характеристического уравнения располагаются на мнимой оси, частота свободных колебаний совпадает с резонансной частотой цепи, а колебательные процессы в цепи носят н е з а т у х а ю щ и й х а р а к т е р (рис. 6.6. в). Таким образом, резонансная частота НЕС-цепи численно равна частоте свободных колебаний в цепи, когда коэффициент затухания 6 равен нулю.
Пунктирными линиями на рис. 6,6, б показаны кривые ~ / (/), которые характеризуют закон изменения амплитуды тока во времени. Эти кривые называются о г и б а ю щ и м и. Величина, численно равная длине подкасательной к огибающей тока, т = 1/6 = 2Е//с называется п ос т о я н н о й в р ем е н и последовательной /сЕС-цепи. Очевидно, что за промежуток времени / =- т ордината огибающей тока уменьшается в е раз.
Скорость затухания свободных процессов в рассматриваемой пепи может быть охарактеризована также л о г а р и фмическим декрементом колебаний О, который равен натуральному логарифму отношения двух максимальных значений тока, взятых через период свободных колебаний Т,„= 2н/в„= = 2 я/)'в~о — бэ. Находя натуральный логарифм отношения ординат огибающих то.
ка для ~, > О и /, + Т„, можно прийти к выводу, что логарифмический декремент колебаний ие зависит от выбора /м а определяется только добротностью цепи Я: =1п /~ (~Д 6У 2пб и (6.31) Ую1 — б' Р' Я' — 0,25 Анализ выражения (6.31) показывает, что логарифмический декремент колебаний равен нулю при 6 = О Я =- оо) и обращается в бесконечность при Ь = оз0 (Я = 1/2).
Кратные корни.ПриЯ= 1/2,т.е.прий=2риб= ые характеристическое уравнение последовательной ЯЕС-цепи имеет два одинаковых вещественных корня р, = р, = — 6, расположенных на отрицательной вещественной полуоси в плоскости комплексного пере" менного р (рис. 6.6, г). Как следует из выражения (6.8), общее решение дифференциального уравнения (6.24) при г > О в этом случае имеет внд (6.32) ( = /,„= (Л, + А,/) е-". Определяя с помощью зависимых начальных условий (6.25) и (6.26) значения постоянных интегрирования А, = О, А, =- Е11 и подставляя их в выражение (6.32), получаем окончательно г = Е1е-ег(Ь, (гак н для вещественных различных корней, переходный процесс в цепи при одинаковых вещественных корнях имеет а п е р н о д и ч е ск и й характер (рис.
6.6, г), поэтому условие (1 = 112 является предельным условием существования в цепи апериодических свободных процессов. Режим работы цепи на границе между колебательным и апериодическим характерами переходных процессов называется критическим. Итак, характер перекохпых процессов в послеловательиой 1гг.С-цепи полиостью опрелелиетсв расположением корней характеристического уравиеиии в плоскости иомплексиого переменного, Зависимость характера переходных процессов от расположения корней характеристического уравнения в плоскости комплексного пере.
менного присуща не только последовательной 1сЕС.цепи, она является общим свойством линейных электрических цепей любого порядка сложности. Подключение к последовательной 1т(.С-цепи источника гармонического напряжения оч ! г'. Š— + с(1+по(0+) + Ы! =Ем з!и ю1, (6.33) г1! С е а дифференциальное уравнение цепи ьм г сп ! 1. — + 1с — + — 1= юЕ соз ю1. оса й1 С (6,34) Для решения уравнения (6.34) необходимо определить начальные значения тока цепи ! (О+) и его первой производной по времени — „1 1г И~пользуя независимые начальные условия и с (0,) = ис (О ) = 0; 1ь (О, ) = 1ь (О ) = 0 !о* Рассмотрим важный для практики случай включения источника гармонического напряжения в последовательную ЖС-цепь с высокой добротностью Я )) ! 12).
Свободные процессы в такой цепи, как была установлено ранее, имеют калебательный характер. Пусть идеализированный источник напряжения включен в цепь в момент времени 1 =-О, причем примем, что мгновенное значение э.д.с. этого источника при 1 = 0 равно нулю (гр = — п/2). Уравнение электрического равновесия такой цепи после коммутации, составленное по методу токов ветвей, имеет вид (6.36) (6.37) (6.40) и уравнение электрического равновесия (6.33), получаем си ~ 1(0+)=1'1,(0. )=0; — ! =О. (6.36) Ш )с=с ~ Далее, суммируя составляющие тока и 1 и соз (сп1 ~ в)1 21) =1 о з(п (Ы р) 1св =А е (о 1"св) 1.з А е (о+1 св) 1, находим общее решение уравнения (6.34) при 1 Э 0: 1 р 51п (спг — 1р) + (А1 е "" ' —,' А, е "" ) е .
(6.38) Здесь 1 пр — — Е 1УМв+ (овŠ— 11о1С)в — амплитуда принуждентб — (1тС ной составляющей тока; оо = агс(и К вЂ” аргумент комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи. Для определения постоянных интегрирования А„ А, продифференпируем правую и левую части (6.38) ви (О 'тсв) — = о11т и сап (со( — со) — А, (6, — )о1„) е а( — А, (6+1о1„) е (6.39) и подставим в выражения (6.38) и (6.39) зависимые начальные условия (6.36). Решая полученную таким образом систему уравнений относительно А, и А„находим А (б+1тсв) Мп 12 — 1с сов Ч~ 1 1 тпр 21тсв т спв 12 †(б †(свсв) в1п т '1В .
1т по 2! тсв С учетом соотношений (6.40) выражение (6.37) для свободной составляющей тока может быть преобразовано к виду с( св с 1 св . Г бв(пч тсовч ) ~Х 2 тсв тсв 1всв с — )псвс ) 2 т пр + ~ — — ~ гйпм„1 1 ре с'. (6.4)) свсв С1св Предположим, что частота со внешнего воздействия близка к частоте ов„свободных колебаний, а добротность Я настолько велика, что о1„практически совпадает с резонансной частотой цепи овв. С учетом этих допущений, которые незначительно уменьшают общность получаемых результатов, выражение (6.41) существенно упрощается: 1с =- (3!и ср соз овс( — соз со з!п спвс) 1т о е = — 1 е-о' гйп (со 1 — <р).
Таким образом, в последовательной И.С-цепи, удовлетворяющей принятым допущениям, свободная составляющая тока является затухающей гармонической функцией времени. В начальный момент времеви амплитуда свободной составляющей тока равна амплитуде принужденной составляющей, а затем уменьшается по экспоненциальному закону. Через промежуток времени, равный (4 —:5) т после коммутации, амплитуда свободной составляющей становится пренебрежительно малой по сравнению с амплитудой принужденной составляющей, и переходной процесс в цепи можно считать практически закончившимся.
Ь 2/тир /мир -гг„ Рис, 6;7. Зависимость тока последовательной мьС-цепи от времени при включении источника гармонического напряжения: а — и-м„бмв: б — и.. м„б О Ток цепи после коммутации равен сумме свободной и принужденной составляющих: / =- 1 „р з(п (ы/ — гр) — /мир е е' вбп (юе/ — ~р).
(6.42) Если частота внешнего воздействия со в точности совпадает с резонансной частотой цепи гое, то входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер (<р = О) и выражение (6.42) принимает вид (рис. 6.7, а) / м — ма ~ / м.4-ма 1 = 21„, он з( п ~ /)со.( ' / — р)- 2 ) 'ч 2 = 1,„(/) соз 1 — '' / — гр) . 2 (6. 44) ! .= 1„„,р (1 — е б') з1п юрг. (6.43) Как видно из рисунка, амплитуда тока цепи при го =- сое плавно увеличивается во времени, стремясь в пределе к установившемуся значению 1 „р.
Ни при каких значениях / амплитуда тока после коммутации не превышает этого значения. 11ри включении в последовательную И.С-цепь источника гармонического напряжения, частота которого близка к резонансной, но не Равна ей, в цепи наблюдаются б и е н н я, заключающиеся в периодическом увеличении амплитуды тока или напряжения до значения, значительно превышающего амплитуду принужденной составляющей (Рис. 6.7, б).
Если пренебречь затуханием свободной составляющей тока (6 = О), то нз выражения (6.42) получаем Как видно из этого выражения, ток цепи имеет частоту, близкую к резонансной, а амплитуда тока 1 (1) медленно изменяется во време- ни: 1 (1) = 21„, ~ э(п (6.45) причем максимальное значение тока в переходном режиме в два раза превышает амплитуду принужденной составляющей. Возникновение биений при включении источника гармонического напряжения в последовательную )с1.С-цепь обысняется тем, что вследствие несовпадения частот внешнего воздействия и свободных ко.
лебаиий фаэовые соотношения между свободной и прниуждениойсоставляющими тока непрерывно изменяются, а разность мгновенных фаз этих колебаний (ы — ы,)1 линейно нарастает во времени. В те моменты времени, когда разность мгновенных фаз будет равна 2йп, где А = О, 1, 2, ..., сумма мгновенных значений (,„и 1,„будет максимальна, а в те моменты времени, когда разность фаэ будет равна (2А+ 1)л, — минимальна. Частотой биений называют частоту повторения максимумов огибающей тока (6.45). Угловая частота биений, таким образом, равна абсолютному значению разности угловых частот свободной и принужденной составляющей ыа = (ы ые~.
В реальных колебательных контурах коэффициент затухания б имеет малое, но конечное значение. Свободная составляющая тока в таких контурах экспоненциально уменьшается во времени, а биения носят затухающий характер. 5 6.3. ОпеРАтОРный жетОд АПАлизА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений Классический метод анализа переходных процессов применяют в основном тогда, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие на нее после коммутации является гармонической функцией времени либо постоянно.
Если внешнее воздействие на цепь после коммутации имеет более сложный характер, то определение принужденной составляющей реакции цепи существенно затруднено, а при повышении порядка цепи усложняется определение постоянных интегрирования. Значительно большие возможности представляет операторный метод анализа переходных процессов, основанный на применении преобразования Лапласа. Подобно ранее рассмотренному методу комплексных амплитуд, операторный метод относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями надих символами (изображениями). Взаимное соответствие между функцией времени а (1) и ее изображением А (р) в операторном методе устанавливается с помощью прямого Ю А (р) = Ь [а (()] =]" е-зе а (() с(( (6.46) е или обратного па+!»» а (() = Ь вЂ” ' (А (р)] = — ~ еж А (р) с(р 2п] о,— !о преобразований Лапласа н указывается знаком соответствия а (() =' А (р).
Функция А (р) называется операторным изображен н е м фу н к ц и и а (() или изображением функции а(() по Лапласу. Исходная функция времени а (г) но отношению к своему операторному изображению является о р и г и н а л о м. Комплексное число р будем называть оператором преобразования Лапласа или комплексной частотой (смысл последнего понятия будет пояснен в следующем параграфе). К =,' К»»р. (6.48) К соответствует ум- Умножение функции времени а (!) на постоянное число йожению на это же число ее изображения: Кл (!) =' КА (р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
