Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Напомним, что значения аргумента Ро!, при которых Лэ (Р) = О, М (Р) ~ О, называются н у л я и и, а значения аргумента р„ы при которых М(Р)=О, У(р)ФО,— полюсами функции Н,„(р), рещая уравнения /У/ (Р) = О; М (Р) = О и разлагая полиномы й/ (р) и М (Р) на множители, выражение (6.91) можно преобразовать к виду Н (Р) )( (Р— Рвд (Р— Рч ) (Р— Рвя) (6 92) (Р— Рхэ) (Р— Рхх) .. (Р— Р ) Здесь К = а„//э„— вещественное число, называемое м а с ш т а бным коэффициентом. Из выражения (6.92) следует, что нули и полюсы функции Н! (Р) определяют значения этой функции с точностью до постоянного коэффициента К.
Зная расположение нулей и полюсов операторной характеристики цепи в плоскости комплексной частоты р, можно получить полную информацию о свойствах этой цепи, в частности с точностью до постоянного множителя найти реакцию цепи на заданное воздействие. Графическое изображение расположения нулей и полюсов функции в плоскости комплексной частоты р = о + !оэ называется д и а г р а ммой нулей и полюсов или полюсно-нулевой д и а г р а м м о й функции.
При п~ктроении полюсно-нулевых диаграмм мнимую и вещественную оси плоскости р обозначают соответственно /оэ и о, нули изображают кружками, а полюсы — крестиками. ° ФФФФ Пример а.а. Для цепи, схеми которой приведена на рис. 3.12, а, найдем операторное входное сопротивление Лм„(р) со стороны зажимов 1 — 1' и операторный коэффициент передачи ло напряжению Кмх(р) от эажилюв 1 — 1' к эажимам 2 — 2' в режиме холостого хода на зажимах 2 — 2'. Построим диаграммы нулей и полюсов функций 2о„(р) и Кет (р), Можно убедиться, что аналогичные результаты пол1учаются и лРи Рас ассмо.
трении операторной схемы замещения цепи (рис. б. 2, а). Полюсно-нулевые длигроммы функций 2ох(Р) и Кохх (Р) изобрижены на рис. 6,12, б,о соответственно. функция 2их (Р) имеет один нуль Рос = — Р1Е функция К„» (р) имеет одни нуль рт = О и один полюс рх, = — р1Е, ФФФФФ ПРимер 6.6. Найдем операторное входное сопротивление 2ых (р) последа вательного колебательного контури (см. Рис.
8.21, а) в режиме холостого хода на выходе. Построим полюсно-нулевую диагримму функции 2ох (р). Ро Рпс. 6.13. К примеру 6.6 Операторное лчодное тлротивление последовательного колебательного контура равно сулшое операторных сопротивлений входящих в контур элементов 1 ро+ ПР1Е+ 11(ЕС) 2хх. (Р)=П+РЕ+ РС Р Используя введенные ранее обозначения 6 =- П/(2Е) и юо = — П7 ЕС, запишем выражение для операторного входного сопротивления контура в виде 2мх (р) Е ' 1. ро-1-26р+юг о(Р— Ро1) (Р Рог) РР— Рхх В зависимости от соотношения между величинами 6 и юо опериторное входное сопротивление может иметь два разлитных вещественных нуля Ра1 зз= 6+ 1' 6" — юо два одинаковых вещественных нуля Ры =- Роо = или два комплексно-сопряженных нуля Ргп оз= — 6 ш 1ыео. Во всех случаях функцил 2о„(р) илюот один полюс рхх = О.! диаграммы нулей и полюсов функции 2ох (р) для 6 ) ыо, 6 = ыь и 6( юо изображены на рис.
6.13, а, б, в соответственно. Очевидно, что нули функ. ции 2мх (р) являются полюсами функции )сих (р), а полюсы 2их (р) — пузами ) пх (Р)- Из примеров 6.6 и 6.6 видно, что нули операторного входного сопротивления цепи (полюсы операторной входной проводимости) совпадают с корнями характеристического уравнения, определяющего характер свободных процессов в цепи.
Этот результат имеет весьма общий характер и позволяет находить корни характеристического уравнения по выражению для входного сопротивления (входной проводимости) цепи, не прибегая к составлению дифференциального уравнения. 310 й аз ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКтеРИСТиКИ линеЙНЫх ЦепеЙ Единичные фУнкции и их свойства Важное места в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми е д и н и ч н ы и и ф у н к ц и я м и. Единичной ступенчатой функцией (функц и е й Х е в и с а й д а ) называется функция ( О при с<те; (1 при(= Г,.
(6.93) При Ге = О для единичной ступенчатой функции используют обозначение 1 (1) (рпс. 6.14, б). График функции 1 (г — ге) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна ! (рис. 6.14, а). Скачок такого типа будем называть е д и н и ч н ы м. Функцию Хевисайда Рнс, 6.!4. К определенню еднннчной ступенчатой фуннцнн 1 (1 — 'ге) удобно использовать для аналитического представления раз- личных внешних воздействий на цепь, значение которых скачкообраз- но изменяется в момент коммутации: м ~ ( -~.) = 1 ' "'" '~"' 1 г(1) при г зт',. (6.94) где ~ (1) — ограниченная функция времени. При подключении цепи к источнику постоянного тока или напряжения значение внешнего всздействия иа цепь О при г -Г,; х(г) = -( = Х =соп51 при 1~~ го (6.95) где (е — момент коммутации. Внешнее воздействие такого вида называется н е е д и н и ч н ы м с к а ч к о м.
Используя функцию Хевисайда, выражение (6.95) можно представить в виде С» Са+ С» С а) и са С Рнс. 6.!6. Представление прямоугольного импульса в ваде равностн двух нееднннчных скачков Если прн С =- 1, в цепь включается источник гармонического тока или напряжения О при 1~1,; Х, соз(сот+чу) при 1)1 то с использованием функции 1 (г — (е) внешнее воздействие на цепь можно представить в форме х (г) = 1 (1 — Се). Х соз (со1 + чР).
Если внешнее воздействие на цепь в момент времени с = 1а скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения Х, до другого Х„то х(1) = Х, + (Х,— Х,) 1(1 — ге). Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного импульса высотой Х и длительностью (н (рис. 6.15, а), можно представить в виде разности двух одинаковых скачков х1 (г) = Х.1 (1 — 16) ихс(1)=Х 1(1 — Са — 1„), сдвинутых во времени на тв (рис. 6.15, б, в): х (1) = х, (1) — х, (1) = Х [1 (1 — 1,) — 1 (1 — 1, — 1»)[. (6.96) Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью И и высотой 1/сьс (рис. 6.16, а). Очевидно,что площадь этого импульса равна 1 и не зависит от М. При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем прн И вЂ” » 0 она стремится к бесконечности, но пло- о(С "С ) ~( а) б) Рнс.
6Л6. К определению д»функпнн 3!2 щадь остается равной 1. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1 будем называть адн н и ч н ы м и м п у л ьс о м. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается 6 (! — 1,) н называется 6 -ф у н к ц и е й илнфункцией Дирака. Итак, 6(! ) 0 прн !~Го ( оо при!=1„ (6.97) причем (6.98) При 1ч = 0 для 6-функции используется обозначение 6 (1).
При построении временных диаграмм функции 6 (! — 1,) н 6(!) будем изображать в виде вертикальной стрелки со значком ао около острия (рис.б.16, б, а). Для установления связи между 6-функцией н единичной ступенчатой функцией воспользуемся выражением (6.96). Полагая Х = 1/6! и устремляя 6!к нулю, получаем 6 (! — Г,) =1ип ' ( ' — 1 (à — 1„), (6.99) ас а М а! откуда (6.100) 0 при ! Л! — (! — 1,) при 1,(1~1а+61; при г «» то + 61- х,(!) = 3!3 Таким образом, 6-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция — интеграл от б-функции. Строгое обоснование операций над единичными функциями, в том числе операции дифференцирования единичной ступенчатой функции, дано в теории обобщенных функций.
Для качественного обоснования таких операций функции 1 (! — 1,) и 6 (! — 1,) удобно рассматривать в качестве предельных значений некоторых более простых функций, для которых соответствующие операции являются определенными. рассмотрим, например, функцию х, (1) (рис. 6.17, а), удовлетворяющую условиям Производная функция х, (1) цо времени (рис. 6.17, б) имеет вид прямоугольного импульса длительностью И и высотой 1/Лй 0 прн г' -га; 1761 ПРИ 1 ( Г Го+М 0 при!)1а+М.
При М-о. 0 функция х, (1) вырождается в единичную ступенчатую функцию, а функция Нх,Яà — в Ь-функцию: 1(г — уа)=11шх,(г); ьс- о 6( 1,) Вш "" (О ела Ю откуда непосредственно следует, что б (1 (о) = 1 (1 го) Ж 1(о оа)= 1 6(о Го)мо. ыри выполнении различных операций над единичными функциями момент коммутации 1, удобно расчленять на три различных момента: — момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, 2 ) Пх,(а)/7а О оо еаои Е: в ео го+да а пУ 64 -о с.. б) Рнс 6.17, К определенна аннан между еднннчнммн функ- нннмн ㄠ— собственно момент коммутации и го †моме времени, следующий непосредственно после коммутации. С учетом этого интеграл (6.98) можно заменить на ц„ б (1 оа) а(1 ~ 1.
(6 101) В общем случае ~ 1 при гоЕ Ро (о1' ( 0 при 7 фр„Я. (6,102) 3!4 произведение произвольной ограниченной функции времени 7 (1) на 6 (( — 1о) ~ 0 при г~г, [ ~((о)6(0) при 1=(о следовательно, 1(Г) 6(1 — г) = ~(1,) 6 (Г 1,), (6.103) Из выражений (6.102) и (6.103) следует, что интеграл от произведения произвольной ограниченной функции 7'(г) на 6 (г — 1,) равен либо значению этой функции прн К = го(если точка Го принадлежит интервалу интегрирования), либо нулю (если 1о не принадлежит интервалу интегрирования): ' [' 1(1)6( — 1)Я=~(1о) ( 6(1 — Го)Ж=~ (6104) [ 0 при 1 ф[1,,Ц.
Таким образом, с помощью 6-функции можно выделять значения функции г(г) в произвольные моменты времени го. Эту особенность 6- функции обычно называют фильтрующим свойством. Для определения реакции линейных электрических цепей на внешнее воздействие в виде единичного скачка илн единичного импульса необходимо найти изображения единичных функций по Лапласу, Используя рассмотренные свойства единичнйх функций, получаем Ы 1 (Š— Го)) =- ~ 1 (1 — 1о) е о' й = $ е - М й = е Ыо|Р; о и О 1" [6 (1 — (о)] .= ~ 6 (Г го) е — о'гЫ= е — Ф».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
