Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Заметим, что многие встречающиеся на практике внешние воздействия можно рассматривать как частный случай экспоненциального воздействия или как сумму некоторого их количества. Действительно, при 1ш А =-- 1ш з =-- 0 выражение (б.72) описывает экспоненциально затухающее (о ( О), экспоненциально нарастающее (о ) О) или неизменное (о == О) внешнее воздействие.
Сумма экспоненциальных воздействий с комплексно-сопряженными амплитудами и комплексно-сопряженными частотами представляет собой гармоническое колебание а (1) = Ае"- + Ае-*' = А ее' (е( ("'+ ел) + е 1("' ( Вл)1 = = 2Аеси соз (га(+ фл), (6.73) 304 амплитуда которого нарастает (о ~ О), затухает (о ( О) или неизменна во времени (о =- О). Как видно из выражения (6.73), мнимую часть комплексной частоты з = о + /м можно рассматривать как угловую частоту некоторого гармонического колебания, а вещественную часть— как коэффициент, определяющий характер изменения огибающей этого колебания.
Вследствие того что интегрирование и дифференциро- 1 ванне экспоненциальной функции не изменяют ее вида, реакция ли- . нейной цепи на экспоненциальное внешнее воздействие определенной комплексной частоты з является экспоненциальной функцией той же частоты, причем отношение реакции цепи к внешнему воздействию в этом случае не зависит от времени. Пусть напряжение, приложенное к зажимам идеализированного пассивного элемента изменяется во времени по закону и=Уе'- . (6.74) В этом случае ток сопротивления гл=)с-'ил =Бе-!Я, (6.76) ток емкости Й4с Ф 1с = С вЂ” зСУе- ш (6.76) и ток индуктивностн 305 Ф (с= — ~ пью= — Уе- . ! в (6.77) г.
зЬ Входным сопротивлением Я (з) пассивного линейного двухполюсни-" .. ка прп экспоненциальном внешнем воздействии называется отношение мгновенного значения напряжения на зажимах этого двухполюсника к мгновенному значению тока: Л (з) = ий. (6.78) Используя выражения (6.74) — (6.78), найдем входные сопротивления идеализированных пассивных элементов при экспоненциальном внешнем воздействии Ла(з) =Р; Яс(з) =1/(зС); Лс(з) =зЕ, (6.79) Полагая в выражениях (6.79) з= р, получаем рассмотренные ранее выражения для операторных входных сопротивлений идеализированных пассивных элементов, а полагая э = ро — выражения для комплексных входных сопротивлений тех же элементов при гармоническом внешнем воздействии.
Таким образом, комплексные сопротивления идеализированных пассивных элементов при гармоническом внешнем воздействии численно равны входным сопротивлениям тех же элементов при экспоненцпальном внешнем воздействии а (Г) = Ае/"', а операторные входные сопротивления рассматриваемых элементов— входному сопротивлению этих элементов при экспоненциальном внешнем воздействии а (») = — Аеы.
(6.80) Следовательно, оператор преобразования Лапласа р, входящий в выражения для операторных входных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов, можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту экспоненциального воздействия вида (6.80). Переходя от идеализированных пассивных элементов к участкам цепей, составленныл» из таких элементов, и,далее, к произвольным линейным цепям, убеждаемся, что отношение двух любых токов или напряжений этих цепей при экспоненциальном внешнем воздействии вида (6.80) численно равно отнои ение операторных изображений соответствуюи(их токов или напряжений при нулевых начальных условиях. Понятие об операторных характеристиках Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения, у которой выделены пара входных ч — ч' н пара выходных й — я' зажимов. Операторной, нли обобщенной, частотной хар а к те р и с т и к о й Нье (р) линейной цепи называется отношение операторного изображения реакции цепи уь = у„(() к операторному изображению внешнего воздействия хе = х, (») при нулевых начальных условиях: Ньч (р) = )кь (р)IХ (р), (6.81) где г'„(р) =.' у„(»); Х, (р) =' хе (г), Учитывая, что отношение двух любых токов и напряжений 'линейной цепи, находящейся под экспоненпиальным воздействием, численно равно отношению операторных изображений соответствующих величин при нулевых начальных условиях, устанавливаем, что операторная характеристика линейной испи численно равна отношению реакции цепи к внешнему воздействию при внеитем воздействии вида (6.80) Нее(р) =— уь ке ке — хк ее Для перехода от операторной характеристики цепи к ее комплексной частотной характеристике Нь, (1»о) достаточно в выражении (6.81) заменить р на (ь».
Следовательно, комплексную частотную характеристику можно рассматривать как частный случай обобщенной частотной характеристики при Ке (р) = а = О. Подобно комплексной частотной характеристике, операторная характеристика линейной цепи не зависит от действующих в цепи токов и напряжений, а определяется только топологией цепи и параметрами входящих в нее элементов.
В связи с тем что выражения для оператор. иых сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов (6.65), (6.68), (6.7!) были получены безотносительно к виду внешнего воздействия, операторные характеристики описывают свой~6»» *ь Ф»МПю Й з» йг Как и комплексные частотные характеристйки, операторные характеристики цепи делятся на входные и передаточные, причем каждой комплексной частотной характеристике соответствует операторная. В зависимости от того, какая величина выступает в качестве внешнего воздействия на цепь, а какая рассматривается в качестве отклика цепи, различают; операторное входное сопротивление 2„(р) = и, (р)11» (р); (6.82) операторную входную проводимость У ° (Р) = 1 (Р)1(1 (Р); (6.83) операторные к о з ф ф и ц и е н т ы передачи п о напряжению К„М) = и, (р)1и, (,) (6.84) и току 6»» (Р) = 1» (Я~1» (Р); о п е р а т о р и о е п е р е д а т о ч н о е н и е 2 (Р) (1» (р)~1» (Р) (6.
85) сопротивле- (6.86) и операторную передаточную проводимость У»» (р) = 1» (р)1 У, (р). (6.87) Операторные коэффициенты передачи по напряжению и току являются безразмерными величинами, операторные входное и передаточное сопротивления имеют размерность сопротивления, а операторные входная и передаточная проводимости — размерность проводимости. Определение операторных характеристик Для определения операторной характеристики цепи с заданной комплексной частотной характеристикой достаточно в соответствующем аналитическом выражении заменить )»» на р.
В общем случае выражения для любых операторных характеристик сколь угодно сложной линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, могут быть получены из рассмотрения узловых или контурных ураанений цепи, составленных по ее операторной схеме замещения при нулевых начальных условиях. Пусть необходимо найти операторные входное сопротивление и входную проводимость цепи со стороны зажимов т — ч'.
Подключим к этим зажимам идеализированный источник напряжения е» (1) и построим операторную схему замещения пепи при нулевых начальных условиях. Выбирая систему независимых контуров таким образом, чтобы ветвь, содержащая источник е, (1) =' Е, (р), явилась главной ветвью ч-го контура, составим систему контурных уравнений пепи в операторной форме. Далее, используя формулы Крамера (4.14), найдем ток ч-й ветви, совпадающий с током ч-го контура: 1. (Р) =- Е. (Р). (6.88) л (Р) Здесь Л (р) — определитель системы контурных уравнений, составленных в операторной форме; Л (р) — алгебраическое дополнение элемента л„ (р). Используя выражение (6.88), находим операторное входное сопротивление 2„ (р) н операторную входную проводимость цепи Учч (р) со стороны зажимов ч — ч': 2„(р) = Е, (р)11, (р) = Л (р)1Л (р); У„(р) =- 112- (Р) = А- (Р)1А (р). Аналогичным образом можно найти н передаточные функции цепи.
С этой целью, используя (4.14), определяем ток 1, (Р) = Л„ (р) Е, (р)(А (р) (6.89) н напряжение и„(р) = Л„ (р) 1, (Р) = Л,. (Р) г» (р) Е, (р)1А (р) (6.9()) ветви, содержащей сопротивление У» (р) и являющейся главной вет- вью Ьго контура. Далее, подставляя выражения (6.88), (6.89), (6.90) в (6.84) — (6.87), находим операторный коэффициент передачи цепи по напряжению К»ч (р) = (1» (Р)1Еч (р) = Л~» (р) г» (Р)1а (Р), операторный коэффициент передачи по току ы»ч (Р) = 1» (Р)1Уч (Р) = Ач» (Р)1йчч (Р) операторную передаточную проводимость У» (р) =- 1» (р)1Еч (р) = Ач» (р)1Ь (р) и операторное передаточное сопротивление Л,. (Р) = и» (р)~11, (р) = Ач» (р)г» (р) Лчч (р).
В связи с тем что определитель Л (р) и алгебраические дополнении Л (р), Л,» (р) представляют собой полиномы от собственных и вза- имных операторных сопротивлений независимых контуров цепи, а со- противления контуров являются рациональными функциями р с веще- ственными коэффициентами, любая операторная характеристика ли- нейной электрической цепи Н», (р), не содержаи(ей независимых источ- ников энергии, также является рациональной функцией р с веп(ествен- ными коэффициентами, т.
е, может быть представлено в виде откос»е- ния двух полиномов н»ч(р) ~(р) "р +""- р +" +""+" (6.91) м (р) ь„р + ь, р — '+... + ь, р+ ь, 308 1,(Р) я 12(Р) 2 ог(Р) р =-я,эь о б 2 о!(р р =об рт в) а) Рис. а,!2. К примеру 6.5 Ринее были получены выражения для комплексного входного сопротивления (З 12) и комплексного коэффициента передачи (2.1б) данной цепи 2мх (/со) = я + /ы/-; Кх,х (/вэ) = !ы/./(я + !и/.).
Заменяя в этих выражениях /ю на р, находим операторное входное сопротивление Уых (р) и операторный коэффициент передачи цели по напряжению: 2мх (Р) = Я тр/-=-( (Р+Я/!)' Кмх (Р) = я+ р/, р+я/д Здесь ое, Ь, — вещественные коэффициенты, значения которых опре делаются параметрами идеализированных пассивных элементов и управляемых источников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
