Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Если после коммутации токи всех независимых источников тока и напряжения всех независимых источников напряжения не изменяются,то с течением времени в цепи после коммутации установится режим постоянного тока. Очевидно, что принужденная составляющая реакции цепи в этом случае будет являться постоянным током или напряженнем. Если после коммутации цепь находится под гармоническим воздействием определенной частоты, то принужденная составляющая реакции цепи также будет гармонической функцией времени н для определения упр можно воспользоваться методом комплексных амплитуд, Если цепь после коммутации находится под воздействием нескольких источников гармонических колебаний различной частоты, то, используя принцип наложения, мгновенное значение упр можно найти как сумму мгновенных значений частичных токов илй напряжений, Вызванных в установившемся после коммутации режиме каждым из источников в отдельности.
Применяя принцип наложения, можно найти принужденную составляющую реакции цепи и тогда, когда Внешнее воздействие на цепь х (() описывается периодической функцией более сложного вида, удовлетворяющей у с л о в и я м д и р и ха е, т. е. имеющей на конечном интервале конечное число максимумов и минимумов и конечное число разрывов первого рода. В этом случае Функция х (1) может быть разложена в ряд Фурье (представлена в виде ~уммы гармонических колебаний кратных частот), а мгновенное значение у р может быть найдено как сумма мгновенных значений частичных токов илн напряжений, вызванных в установившемся после ком- 279 мутации режиме каждой из гармонических составляющих внешн г его воздействия в отдельности. Для определения свободной составляющей у„реакции цепи необ ходимо найти т корней р, характеристического уравнения а,р'+а, ~ р' '+...+а, р+а,=О (6.6) соответствующего однородному уравнению (6.5).
Когда все корни урав. пения (6.6) простые (различные), свободная составляющая реакции имеет вид У .=А, ег ~-(А, ег '+ ... +Ате~т'= ~ч"„А; еР'', (67) т. е. каждому простому корню р, соответствует слагаемое свободной составляющей вида ю р ~ у„=А;е ', где А; — постоянная интегрирования. Если какой-либо корень р„характеристического уравнения (6,6)' имеет кратность и, то этому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида у,'"„' = (А, + А, ~ + А, Р -~-...
+ А „1" — ') е" ~ ' =-- е" ~ ' ~ Ат Гг- '. (6 8) /=-! Характеристическое уравнение (6.6) может иметь вещественные или комплексные корни, причем все корни р; характеристического уравнения линейной цепи, составленной из идеализированных пассивных элементов и независимых источников энергии, расположены в левой полуплоскости комплексного переменного р (включая и мнимую ось): ке (у;1 ~ О, так как только в этом случае свободные процессы в цепи имеют затухающий (точнее, ненарастающий) характер. Общая схема применения классического метода анализа переходных процессов Наметим основные этапы классического метода анализа переходных процессов в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами. 1.
Анализ цепи д о к о м м у т а ц и и. В результате этого анализа определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей ч момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (г= =0). 2. Определение независимых начальных у с л о в и й. Независимые начальные условия представляют собой токи индуктивностей и напряжения емкостеи в момент времени (г =' = 0,). Независимые начальные условия находят с помощью законов коммутации или принципа непрерывности потокосцеплення и электрн ческого заряда цепи. 280 Составление дифференциального уравн е н и я ц е п и п о с л е к о м м у т а ц и и (при г=э О).
дифферен„иальное уравнение цепи получают из системы уравнений электрическог „о равновесия цепи, составленной любым методом, путем исключен„всех неизвестных величин, кроме одной, представляющей собой ок или напряжение какой-либо ветви. 4, Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации (при Г- сс). В результате анализа установившегося процесса в цепи после коммутации находят прннужиную составляющую реакции цепи (частное решение дифференциального уравнения цепи). 6, Определение свободной составляющей рея к ц и и це п и. На этом этапе составляют характеристическое „равнение цепи, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи (общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению цепи после коммутации).
6. Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи (общее решение дифференциального уравнения цепи) находят путем суммирования свободной и принужденных составляющих реакции цепи. 7. Определение постоянных интегрирован и я. Постоянные интегрирования находят по зависимым начальным условиям (значениям искомых токов или напряжений и их т — ! первых производных в начальный момент времени после коммутации). Для определения зависимых начальных условий используют независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия пепи после коммутации. 8.
Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям. Подставляя постоянные интегрирования в общее решение дифференциального уравнения цепи после коммутации, находят частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям, т. е. искомый ток или напряжение одной из ветвей при Г) О, Переходные процессы в последовательной ЙС-цепи при скачкообразном изменении э. д.
с. Рассмотрим переходные процессы в последователоной ЯС-цепи (Рис 6.4, а) при скачкообразном изменении э. д. с. идеализированного источника постоянного напряжения Е , при г(0; е (г) =- Е,при г О. Такое изменение э. д. с. источника напряжения происходит наприме моме ер, когда в цепи, схема которой приведена на рис. 6,4, б, ключ 5 в омент времени г = 0 перебрасывают из положения ! в положение 2. 28! Очевидно, что в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, напряжение на емкости равнялось напряжению на за жимах источника энергии при г' ( 0 (предполагается, что до коммута ции цепь находилась в установившемся режиме). Используя второй закон коммутации, находим единственное независимое начальное ус.
ловие ис (О+) = ис (О-) = Е' (6.9) Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи можно составить относительно любой из неизвестных величин (напряжения на сопротивлении и„, напряжения на емкости ис, тока сопротивления Я Юг е(б) е(8) а) е(б) Ех Ег Е~=р а р ь Е сд ис Ег сб "ссиссб с 0 ! г л се й! Ес (е,йе)уа Сс сесб сс г1 Еса сссб а ! г зэк,лг, р 1 г ' 8 ч б, г, 8) а) Рис. 6.4. К исследованию переходных процессов при скачкообразном нвнеасннн э.
д. с, в последовательной яо-испи: а, б — схемы чссю с — а;О; с — Ш=о; а-а,ъаььв Е„, тока емкости Ео), однако, учитывая, что для данной цепи известно начальное значение напряжения на емкости, целесообразно составить уравнение относительно этого напряжения. Исключая из основной системы уравнений электрического равновесия цепи при г .
0 ""с . иа + ис = Е', сс =- С вЂ”; си 1с = 'и =- с' иа = Фн 282 все неизвестные величины, кроме ис. получаем вис, ЯС вЂ” +ис =Е. Ю Напряжение на емкости при г ) 0 представим в виде суммы принужденной и свободной составляющих ис = ис э+ исс . (6ЛО) Очевидно, что с течением времени после коммутации в цепи должен установиться режим постоянного тока, причем установившееся значение тока емкости будет равно нулю (сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико), а установившееся значение напряжения на емкости — напряжению источника энергии после коммутации. Таким образом, принужденная составляющая напряжения на емкости (6.11) ис э = Ез Характеристическое уравнение цепи ЯСР+ 1.— — О имеет единственный корень Ръ = 1~ ЯС) = 1~тс где тс =- )сС вЂ” постоянная времени последовательной )сС-цепи, поэтому свободная составляющая напряжения на емкости ис„содержит один экспоненциальный член -О~с ис =А, ео*'=А, е (6.
12) Используя выражения (6.10), (6.11) н (6.12), находим напряжение на емкости после коммутации при произвольных начальных условиях (6.1 3) ис=Еэ+А, е Для определения постоянной интегрирования А, воспользуемся независимым начальным условием (6.9). Полагая в (6.13) г =- О, ис = = ис (0„) = Е„получаем Е, = Е, т- А„откуда А, = Е, — Е,. Таким образом, прн заданных начальных условиях напряжение на емкости после коммутации (г '=э 0) определяется выражением ис=Е,— (Е,— Е,) е (6. 14) Зависимость напряжения на емкости от времени при различных соотношениях между Е„н Ез показана на рис. 6А, в — д.
Здесь же показана зависимость от времени тока емкости 1с, которая прн 1 э 0 определяется путем дифференцирования выражения (6.14) по времени н умножения результата на С: (6.15) л 283 Как видно нз рисунка, в начальный момент после коммутации на пряжение на емкости сохраняет то же значение, что и до коммутации, а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к новому установив. шемуся значению. Ток емкости в начальный момент скачком изменя.
ется от нуля до начального значения: сс (О+) = (Е. — Ез)(К. (6.16) а затем плавно уменьшается, стремясь в пределе к нулю. В связи с тем что установившееся значение тока емкости до и после коммутации равно нулю, ток рассматриваемой цепи содержит только свободную составляющую. Анализ выражения (6.16) показывает, что значение тока емкости (О,) численно равно постоянному току, который протекал бы в цепи после коммутации, если бы емкость С была заменена идеальным источником напряжения э. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
