Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 63
Текст из файла (страница 63)
с. Е,. Следовательно, в начальный момент времени после коммутации емкость ведет себя подобно источнику напряжения, з. д. с. которого равна начальному значению напряжения на емкости. Если начальное значение напряжения на емкости равно нулю, то в начальный момент после коммутации ветвь с емкостью можно счипшть короткозамкнутои, т. е. сопротивление емкости равно нулю. Далее (см. пример 6.4) будет показано, что в начальный момент времени после коммутации индуктивность ведет себя подобно источнику тока, ток которого равен начальному значению тока через индуктивность. Прн 1ь (О ) =- О ветвь с индуктивностью в начальный момент времени можно считать разомкнутой, т. е, сопротивление индуктивности при 1 = О имеет бесконечно большое значение.
Как видно из выражений (6.12) и (6.15), скорость затухания свободных составляющих тока и напряжения емкости не зависит от качения э. д. с. идеализированного источника напряжения до и после коммутации, а определяется только постоянной времени цепи тс, которая численно равна промежутку времени, в течение которого свободные составляющие тока н напряжения уменьшаются в е — 2,718 раз. Можно показать, что при любом 1) О Таким образом, постоянная времени рассматриваемой цепи численно равна длине подкасательной к кривой ио,„или 1с„при любом значении 1 = О, т. е. длине отрезка временной оси, заключенного между какой-либо точкой 1 = ~т ) О и точкой пересечения временнбй оси касательной, пРовеДенной к кРивой ис,„ или сс„ в точке ис„ (1,) или )ссо (1,) Для определения постоянной времени цепи касательную к кривым ~'< „, или и,,„ наиболее удобно проводить при 1, = О.
В этом случае она пересекает ось времени в точке 1 — тс (рнс. 6.4, в — д). Чем больше постоянная времени цепи, тем медленнее затухают свобод" ные составляющие токов и напряжений и, следовательно, токи н напряжения цепи медленнее приближаются к установившимся значениям. Теоретически процесс установления нового режима длится бесконечно долго, однако, учитывая, что к моменту времени, равному 4тс после коммутации, свободные составляющие уменьшаются до уровня менее 0,02 от начального значения, переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися через промежуток времени (4 —:6)то после коммутации.
Подключение к последовательной И:цепи источника гармонического напряжения Р ассмотрим переходные процессы в последовательной ЯЬ-цепи, содержащей идеализированный источник, э. д. с. которого е (1) изменяется во времени по закону 0 при г<0; Е соз (юГ+чр) при Г) О. (6.17) Временная диаграмма е(г) при ф- 0 приведена на рис. 6.6, а. В этом случае ток индуктивности в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, (п (О ) = О. г ет/е е~/х Рис. 5.5. К исследованию переходных процессов при включении источника гармонического наприукенни в последовательную утб-цепь Дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно тока 7 = 1ь, при Г ) 0 имеей внд Ь вЂ” +Н=Е соз (уог+ф).
и'у (6.18) Принужденная составляющая тока может быть найдена с помощью метода комплексных амплитуд (пр = — соз (ит+чр — ф), ~т г и — Кеу-у ( уу'. у= уу( ууиу уу р у лекснога входного сопротивления рассматриваемой цепи. Характеристическое уравнение цепи Цу+Я=О 285 имеет единственный корень р, = — К(Е, поэтому свободная состав- ляющая тока содержит один экспоненциальный член 1„=- А,е где ть = Е!Я вЂ” постоянная времени последовательной )сЕ-цепи. Суммируя свободную и принужденную составляющие, находим общее решение дифференциального уравнения цепи (6.18) после коммутации: лт — Оть 1 = — соз (ыг+ф — ~р)+А, е (6.19) Для определения постоянной интегрирования А, воспользуемся первым законом коммутации, в соответствии с которым начальное значение тока рассматриваемой цепи должно равняться нулю: (6.20) 1 (О.ь) =-(с (Оь) == 1ь (О ) =О. Подставляя (6,20) в выражение (6.19), получаем — соз (ф — «р) + + А, = О, откуда А, = — — соз (ф — ~р).
~т г (6.2!) и„, лш — мч 1 = — соз (Ы+ф — ср) — — [соз (ф — ~р)) е а г Характер переходных процессов зависит от соотношения между начальной фазой ф э. д. с. идеализированного источника напряжения и аргументом Ч~ входного сопротивления цепи. Если ф выбирают таким образом, что начальные значения принужденной 1ир (О+) и свободной 1,„(0,) составляющих равны нулю (ф =- Ч -Ь п/2), то свободная составляющая тока тождественно равна нулю.
Переходные процессы в цепи в этом случае отсутствуют, т. е. установившийся режим наступает сразу же после коммутации. При ф = — у или ф = Ч~ ~- и начальные значения свободной и принужденной составляющих максимальны, и отличие в форме кривых ! =- 1 (1) и 1 р — — (нр (1) выражено наиболее резко (рис. 6.5, б). Как и для последовательной КС-цепи, скорость затухания свободной составляющей тока рассматриваемой цепи не зависит от характера внешнего воздействия, а определяется только постоянной времени тх.
За промежуток времени г — ть свободная составляющая тока уменьи~ается в е раз и к моменту времени 1 — (4 + 5)ть после комму тапки переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися. 286 С учетом (6.21) выражение для тока рассматриваемой цепи после коммутации принимает вид Подключение к последовательной )тьС-цепи источника постоянного напряжения»> Последовательная )сьС-цепь содержит два независимо включенных реактивных элемента, поэтому процессы в ней описываются дифференциальным уравнением второго порядка, а для определения постоянных интегрирования необходимо задать два независимых начальных условия. Если э.
д. с. идеального источника напряжения изменяется во времени по закону 0 при 1<0; Е =сопи( при Г >О, то независимые начальные условия цепи имеют нулевые значения ио (0,) == ис (О ) = 0; (ь (0») = гв (О ) = О, (6,22) Составим уравнение электрического равновесия цепи па методу токов ветвей А — +Ж+ис(0+) + — ) й(1=Е. гп 1 и.
ФЕ с .) о Дифференцируя правую и левую части (6.23), получаем дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи после коммутации Ь вЂ” + )с — + — 1=-0. Ы»1 Ж, 1 (6.24) бс» бг ' С Для определения единственного решения этого уравнения, соответствующего заданному режиму работы цепи до коммутации, необходимо определить начальные значения тока цепи и его первой производной по времени.
Начальное значение тока цепи совпадает с начальным значением тока индуктивности 1 (0») == 1, (О ) = О, а начальное значение первой производной тока цепи по времени может быть найдено с использованием независимых начальных условий (6.22) и уравнения электрического равновесия цепи (6.23) при »= 0„=-0; (6.26) В связи с тем что установившееся значение тока этой цепи после коммутации равно нулю,ток прн 1 > 0 содержит только свободную составляющую: 1 -= 1,.
») Приведенные здесь результаты легко использовать для анализа переходных процессов в одиночном колебательном контуре, причем в связи с тем, что свободные составляющие тока н напряжения контура определяются при выключенных источниках энергии, нетрудно заключить, что характер свободных процессов в одиночном колебательном контуре не зависит от способа подключения контура к источнику энергии, т. е. от того, является данный одиночный контур «последовательным» или »параллельным», 287 Характеристическое уравнение последовательной Н,С-цепи Ц, + яр+ ПС=-О (6.27) зеет два корня (6.28) те 6 =- )7/(2Г.) — коэффициент затухания; ы, = )Ф 1.С вЂ” резонанс ая частота цепи.
В зависимости от соотношения между величинами ~, и 6, или, что то же самое, в зависимости от добротности цепи, ° с 0эе~ Оо Я й т' с й 26 ории характеристического уравнения (6.27) могут быть вещественны~и различными, комплексно-сопряженными или вещественными динаковыми (кратными). Рассмотрим каждый из этих случаев. Вещественные различные корни. При малой юбротности последовательной ЙЕС-цепи (Я(!(2, т.е. )с ) 2р и ~ ) м,) характеристическое уравнение (6.27) имеет два различных вецественных отрицательных корня, а выражение для тока цепи после соммутации (~ ) О) содержит два экспоненциальных члена: ) =). =А, е" '+А, е'*'.
(6.29) Дифференцируя правую и левую части выражения (6.29) бИГ =- =- р,Л,е~ ' -,'- р,А,егп и используя зависимые начальные условия (6.25), (6.26), составляем уравнения для определения постоянных интегрирования А, и А,: А, + Л, =- 0; р,А, -~- р,А, ==- Е~Е, откуда Е Е А,— 7- (Р~ Рв) 27. ')/8з — о>„' — Š— 6 А,— л (Р~ — Рд 2Е ~ГЬ'-' — в3 ' С учетом (6.30) выражение для тока цепи после коммутации принимает вид — ("' — ""): Е 2с р ~' — ~оо, Расположение корней р„р, характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость нормированного тока рассматриваемой цепи от времени — "' — "'=~в"м'4 Е приведены на рис.
6.6, а. Переходной процесс в цепи носит а п е р и од и ч е с к и й (неколебательный) характер, причем вследствие того, что !р,! !р,1, вторая составляющая нормированного тока цепи тз> затухает быстрее, чем первая 60. 288 Ком п л е к с н о-сап р я же н н ы е кон ..... добротности последовательной И.С-цепи (Я ) 1!2, т. е. )7 ( 2р и 6 ( в,) характеристическое уравнение (6.27) имеет два комплексно- сопряженных корня Рпг = — 6 '+ 1всв где в„=- 'г' в3 — 6' — частота свободных колебаний в цепи (смысл этого понятия будет ясен из последующего изложения).
Ток цепи после коммутации, как и в предыдущем случае, определяется выражением 1т Рк=р .2 0 Яе (в.б (к бе ла П к к 1 Ф Е (в,с) "Е(вв 1 -1 а/ -е(э„б) б) г) Ряс. 6.6. Расположение корней карактернстнческого уравнения а плоскости комплексного переменного н аапнснмость свободной составляющей тока последоаательяой 111.С-цепн от времени для: а — 6 нк, б — Ь<вьк в — Ь-О; в — б-я (6.29), которое после нахождения постоянных интегрирования А, = = Е/(12в„Е), А, = — Е1(12в„Ь) может быть с учетом соотношения 1~с 1~с в 21 = з!ив,г преобразовано к виду — е — ев яп в 1=1 (1) соя (вва 1 п12)' Е всв где 1т (1) = Ее а~l(вввЕ). Таким образом, при включении в последовательную ЖС-цепь с высокой добротностью идеального источника постоянного напряжения переходные процессы в ней имеют к ол еб а тел ьн ы й х ар а кт е Р Ток цепи представляет собой затухающую гармоническую функ""ю, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени.
Колебательный характер переходного процесса в цепи связан с периой зак ма 289 дическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью, а за. тухаиие колебаний объясняется потерями энергии в сопротивлении, Расположение корней р„р, характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость тока цепи от вре. мени показаны яа рнс. 6.6, б. Корни характеристического уравнения расположены симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости на полуокружности с радиусом, численно равным ре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
