Попов В.П. Основы теории цепей (1985) (1092095), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Если упростить схему эалыщения конденсатора и исключить из нее последовательное сопротивление Яс (рис. б.1, б), то перевод ключи из положения 1 в полоасение 2 будет ло-прежнему остиваться корректной коммутацие,й в то время, как перевод ключа из положения 2 в положение 1 — станет некорректной коммутацией (некорректность комлсутации объясняется тем, что рьоссматриваемая схема замещения цепи не учитывает потерь энергии в конденсата ре и соединительных проводок, а также энергию, выделяющуюся вместе с искрой лиежду контиктами ключа, В зависимости от требуемой точности анализа нюобходимо либо принять, что напряжение на емкости скачком изменилось от одного установившегося значения до другого, либо применить более сложную схему замещения цепи с учетом ключа и соединительных проводников). Если упрощать и далее схему замещения цепи (исключив из нге в~нутреннее сопротивление источника В;) (рис.
6.1, в), то гыревод ключа из одного положения в другое всегда будет представлять собой некорректную коммутацию. ° ФФФФ Пример 6.2. Рассмотрим идеализированную цепь (рис, б.г). Пусть в ис. «одном состоянии ключ 3 находится в положении 1, через индуктивность Е протекает постоянный ток 1»~ (О ), и ток индуктивности 1.ь ривен нулю: 1 ;„(О ) = Е1П; 1„[0 ) =- О.
Если в мозжит времени 1 = 0 ключ 5 перебросить иэ полозгеиия 1 в положение 2, то индуктивиости Е, и Еь окажутся включенными последовательно и их токи должны мгновенно уравняться (для соблюдения уравнения биланса токов). Очевидно, что тикая коммупшция некоррект- а сш Ег . 1 г на, причем начальное значение тока индуктивностей 1щ (0.1.) = (е (О+) = 1~ (О+) после коммутации может быть определено из принципа непрерывности потокосцеплеиия: Е,(г ~ (0.1.) + Еь 1» (О+) =(1.,+ Еь) Х Х 1Е (Ое) = Е,гтл (О ), откуда 1Е (О+)=е,(ш (О )! (Е +Еь) = Рис, 6.2.
К примеру 6.2 =1. ЕД(Е, -)-Еь) )с], При анализе тако» цепи обычно принимается, что токи индуктивиостей Е и Еэ скачком изменяются до уровня 1г (Ох), а затем плавно увеличиваютж, начиная с этого уровня, да устаноыгвшегося значения 11 = Е)(с. Можно убедиться, что энергия данной цепи непосредственно аосле коммутации юг 1 (01)+ шез (О+) =(1., )-Еь) 1Е (О+)12-.= =Ц Ег)[2 (Е,+ 1.,) Рь) меньше, чем энергия, запасенная в индуктивности Е, до коммупшции: ш 1 (О ).=1., 1) (О )/2=Е, Еь)(2рь), причем ризиость между этими величинами равна энергии коммупшционнмх потерь.
Рассмотренная ком«~утация может бить сделана корректной, если при анализе принять во внимание конечное время коммутации, применить более точные модели индуктивных катушек, содержащие не только сопротивления потерь, но и паразитнме емкости, и учесть явления, имеющие место в искре или дуге между контактами. Разумеется, учет этих явлений существенно усложня- ет анилиз. Общий подход к анализу переходных процессов Задача анализа переходных процессов заключается в общем случае в определении мгновенных значений токов и напряжений всех нли части ветвей электрической пепи в произвольный момент времени после коммутации. Для этого необходимо найти общее решение основной системы уравнений электрического равновесия цепи или системы уравнений электрического равновесия, составленной любым другим способом, прн 1) О.
Исключая из системы уравнений все неизвестные величины, кроме одной, получают дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно этой величины. Таким образом, задача анализа переходных процессов может быть сведена к решению дифференциального уравнения цепи при 1-» О. В частности, задача анализа переходных процессов в линейной инварнантной во времени цепи с сосредоточенными параметрами т-го порядка сводится к нахождению об- щего решения линейного неоднородного дифференциального уравне. ния ч-го порядка вида (1,61). Общее решение такого уравнения содержит ч произвольных постоянных, для нахождения которых необходимо задать значения искомой функции у и ее м — 1 первых производных в начальный момент времени после коммутации, т. е.
при 1 = О,. Эти величины определяют с помощью законов коммутации на основании анализа процессов, имеющих место в рассматриваемой цеци перед коммутацией. В результате анализа цепи до коммутации рассчитывают значения токов всех индуктивностей и напряжения всех емкостей в момент времени,иепо средственно предшествующий коммутации. Далее, используя законы коммутации (в более общем случае — принцип непрерывности потокосцепления и электрического заряда цепи), находят значения токов индуктивностей и напряжений емкостей в начальный момент времени после коммутации. Очевидно, что для определения ч начальных условий требуется применить законы коммутации к ч независимо включенным реактивным элементам, т.
е. к реактивным элементам, включенным таким образом, что их энергетическое состояние может быть задано независимо. Следовательно, порядок сложности цепи, равный порядку дифференциального уравнения цепи ч, определяется числом независимо включенных реактивных элементов. Совокупность начальных значений токов независимо включенных индуктивностей и напряжений независимо включенных емкостей представляет собой н е з а- в и с и м ы е начальные условия цепи. Используя независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации, находят з а в и с и м ы е н а ч а л ь н ы е у с л о в и я, т. е. значения токов и напряжений любых ветвей и их производных в момент времени 1 = О,.
Если энергия, запасенная в цепи в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, равна нулю, то говорят, что цепь анализируется при н у л е в ы х н а ч а л ь н ы х у с л о в и я1х. Если начальный запас энергии не равен нулю, то цепь анализируется при ненулевых начальных условиях (в первом случае все независимые начальные условия равны нулю, во втором случае хотя бы одно из них имеет ненулевое значение). Следует обратить внимание на то, что независимые начальные условия, а следовательно, токи и напряжения ветвей цепи после коммутации определяются исходя из энергети ческого состояния цепи только в момент времени, непосредственно преди~ествуюи1ий коммутации (1 = О ), и не завис.
~т от характера процессов, имеюи1их место в рассматриваемой цепи до коммутации (при 1( О). Определение порядка сложности цепи В некоторых случаях порядок сложности электрической цепи ч бывает желательно выяснить еще до составления уравнений электрического равновесия. Очевидно, что значение ч не может превышать общего числа реактивных элементов цепи рьс. В связи с тем что последовательно или параллельно включенные реактивные элементы од- 276 „ого типа ие являются энергетически независимыми, при подсчете необходимо объединять такие элементы и заменять их эквиваитиым элементом соответствующего типа. Если в цепи имеется так называемый е м к о с т и ы й к о н т у р, е, контур, образованный только емкостями и, может быть, независимыми источниками напряжения, то напряжение любой из емко- тей такого контура выражают через напряжения других емкостей с и~мощью уравнения баланса напряжений, составленного для данного емкостного контура.
Таким образом, наличие в цепи емкостного кон«ура уменьшает на единицу число независимо вклк)чеиных емкостей и снижает порядок сложности цепи, я, ь, Яг л/ "~ яг е "г а) Рис. 6.3, К примеру 6.3 Число независимо включенных индуктивностей снижается при наличии в цепи так называемого индуктивного сечения, т, е. сечения, в которое входят только индуктивности, и, может быть, независимые источники тока. Частным случаем индуктивного сечения является и и д у к т и в н ы й у з е л (узел, к которому подключены только индуктивности и независимые источники тока). Ток, а следовательно, и энергия любой из иидуктивностей, входюцей в индуктивиое сечение, могут быть выражены через токи других иидуктивиостей иа основании уравнений баланса токов, составленного для данного сечения.
Если в состав цепи входит несколько емкостных контуров или индуктивных сечений, то при оценке числа независимо включенных реактивных элементов учитывают только и е з а в и с и м ы е е м к остиые контуры и независимые индуктивные с е ч е н и я, т. е. такие контуры и сечения, уравнения баланса напРяжений и токов которых независимы. Таким образом, порядок сложности линейной цепи, составленной ~олька из идеализированных пассивных элементов и независимых источников тока или напряжения: = РЬс — Пек — мкс. (6.4) сим где Рьс — общее число реактивных элементов; и — число незави- ек мых емкостиых контуров; дк, — число независимых индуктивных сечений, 277 Следует иметь в виду, что порядок сложности цепи зависит также от соотношений между параметрами входящих в нее элементов, поэтому выражение (6.4) позволяет оценить только максимально возмож. нос значение порядка сложности цепи (в том числе и цепи с управляемыми источниками).
° ФФФФ Пример 6.3. Определим порядок сложности цепи, схеми которой приведена на рис. б,д, а. Преобразуя участки цепи, содержащие последовател~но и пираллельно включенные однотипные реиктивные элементы (рпс, б.д, б), определяем общее число реактивных элеменпюв цепи рсс .=- б. Риссматриваемая цепь содержит один смкостнои контур, образованный емкостями Сь Ськ, и источником напряжения е, и одно индуктивное сечение (индуктивности Е,, Е„|.эя,), поэтому порядок сложности данной цепи не может превышатв четырек. й 6.2. КЛАССИЧЕСКИИ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДИЪ|Х ПРОПЕССОВ Свободные и принужденные составляющие токов н напряжений Классический метод анализа переходных процессов в линейных инвариаитных во времени цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (см. (1.61)1 ач — -|.а, ~ +., +а,— +ае у=1(1) .|чу йт | у йу йгч й|э — ! йГ ! равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения а, — + а, | +...+а,— +а,у=О, (6.6) йч у йч — 'у йу й|ч й|ч — 3 йГ которое получается из (1.61) при )'(1) =- О. Общее решение однородного дифференциального уравнения (6.6) характеризует так называемые с в обод н ы е п р о це с с ы в цепи, т. е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии (напомннм, что функция Е (1) обращается в нуль при выключении всех независимых источников тока и напряжения).
Таким образом, характер свободных процессов ие зависит от вида внешнего воздействия на цеяь, а определяется только параметрами пассивных елемеитов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации. Свободные процессы в цепи протекают за счет разности энергий, соответствующих установивпэимся режимам работы цепей до и после коммутации. В связи с тем что эта разность имеет конечное значение, 278 свободные процессы в цепях с потерями с течением времени затухают (в идеализированных цепях без потерь свободные процессы имеют незатухающий характер). Частное решение уравнения (!.б!) определяет п р и и у ж д е ни ы й р е ж и м работы цепи, т.е.
режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии. Если внешнее воздействие иа цепь после коммутации изменяется по перноаическому закону (сохраняет неизменное значение!, то частное решение уравнения (Е61) характеризует установившийся режим цепи после коммутации. Итак, при использовании классического метода анализа переходных процессов искомая реакция цепи у (ток или напряжение какой- либо ветви после коммутации) представляется в виде суммы свободной у„и принужденной уп составляющих: У = Уси + Упр. Свободная составляющая реакции цепи с течением времени затухает 1!пз у,„=- О, поэтому принужденная составляющая реакции представляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации у„„=- 1!ш у. с Для определения принужденной составляющей реакции цепи можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа линейных цепей в установившемся режиме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
