Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Чтобы (й) показать это, определим спектр функции 1(1)е !'®~0), а затем устремим р-+.О: е е — . ' — 1 ф) — 1и — 1~1 ~! 1 о . ы Р ( !~а Р2+ 2 р2+ 2' Первое слагаемое правой части при ~-+О и при в-+О стремится к бесконечности, т. е. имеет вид дельта-функции аб(со), второе слагаемое правой части при р — ~-0 равно 1Дь. Чтобы вычислить коэффициент а, проинтегрируем р/(рх + оР) = аб(го) по со от — оо до +со: 60 СО д~ = ~ б(~)д~. Р ОО ОО да 1 гв л л Но р ~ = р — агс!д — 1 1= — — — — = п,а ~ б(~о)до = 1. рз+ в' р !! 2 2 1 Поэтому а = л и спектр 5(ув) функции 1(~) равен лб(со) + —..
В /О) примере 110 при определении 5(~ь) функции ~(1) (см. рис. 9.1, в) слагаемое в виде дельта-функции в спектре отсутствует, так как у Функции имеются два равных по значению, но противоположных по ! ! знаку скачка [ль(ь)+ —.1 — [ль(ь)+ —.1е ! ', при а = 0 слагаемые /ОЭ /(О лб(ь) выпадают.
ф 9.3. Спектр функции, смещенной во времени. Спектр суммы функций времени. Если функции времени ~(1) соответствует спектр 5(уо), то функции ~(1 — т) соответствует спектр е !"'5(ую), что следует из теоремы смещения в области оригиналов (см. ф 8.40), если заменить р на уоз. Так как модуль функции е '"' равен единице, то модуль спектра функции Д1 — т) равен модулю спектра функции Д1), т. е. равен 5(ь), однако аргумент спектра функции Д~ — т) отличается от аргумента спектра функции ~(~) на — вт.
Если Я1) представляет собой сумму нескольких функций времени, например ~(~) = ~,(1) + Ц 1), а каждая из них имеет спектр соответственно 5,(рв) и 5,(уы), то спектр 5(~со) функции Д1) равен сумме спектров этих функций, т. е. 5Ць) = 5Дсо) + 5~(уь). Это следует из линейности преобразования (9.12). Однако модуль 5( ) ~5~( ) + 5~(а) и аргумент ср,(оэ) Фср„(ь) + ~р,,(о).
$9 4. Теорема Рейли. Теорему Рейли (Релея) записывают следующим образом: ~ 12(!) [~ ~ ~2( о о Функция Д1) =0 при 1~0;5(ы) представляет собой модуль спектра 5(ув) функции Д~): 5(/и) = [ Д~!)е /"'Ы (9.16) Если принять, что ~(1) есть напряжение, приложенное к активному сопротивлению в 1 Ом, то левая часть в (9.15) представляет собой энергию, выделяющуюся в этом сопротивлении. Таким образом, площадь квадрата модуля спектра 5(ь), разделенная на л, является энергией, рассеиваемой в активном сопро-, тивлении, на которое воздействует ~(1). Основой при выводе теоремы Рейли служит обратное преобразование Фурье: Умножим обе части последнего равенства на ~(1) и проинтегри- Р уем по 1 от — ОО до + ОО: +оп +оп +оп 1 (1)01= — ~ 1(1)1 ~ 5(1(ту)е1" ()(о)()1. В правой части изменим порядок интегрирования: +оп +по +по + со В соответствии с формулой (9.16) Ф)емщ = 5( — )м) следовательно, +оо +по +по $ Ц1)сИ= — $ 5(1в)5( — 1в)с$(о = — ~ 5~(о))дф).
Для перехода к формуле (9.15) учтем, что при 1 О функция ~(1) = О. Это дает возможность заменить в левой части нижний предел с — оо на О. Приняв во внимание, что квадрат модуля 5~(ь) есть +по четная фуняцин чястотм, заменим С)в правой части последнетоурав- пения на 2 ~. й результате получим формулу (9.) 5).
о Величину Я'(в) называют спектральной плотностью энергии сигнала, а функцию 5~(а) = Дю) — энергетическим спектром. $ 9.5. Применение спектрального метода. Спектральный (частотный) метод исследования процессов в электрических цепях основан на использовании понятий спектров воздействующих импульсов и частотных свойств цепей. Особенно широко его применяют в радиотехнике при рассмотрении вопросов прохождения модулированных колебаний через усилители, фильтры и другие устройства, в импульсной технике при рассмотрении вопросов прохождения через четырехполюсники коротких импульсов длительностью порядка нескольких микросекунд, а в некоторых случаях даже нескольких наносекунд. Допускается, что модулированное колебание или соответственно импульс, пройдя через четырехполюсник, изменился по амплитуде, на некоторое время 10 запоздал во времени, но недопустимо, чтобы существенно изменилась форма "мпульса (колебания) на выходе по сравнению с формой импульса 317 (9.17) (колебания) на выходе.
Недопустимость изменения формы импуль са (колебания) следует из того, что именно в форме импульса (коле бания) заключена информация, которую он несет. Положим, что на вход некоторого четырехполюсника с переда точной функцией К(уе) = К(ь)е~~"> при нулевых начальных услови ях воздействует сигнал ~,(1), имеющий спектр 5,„(уь). На выходе четырехполюсника появится сигнал Ц1), спектр которого ~...Ь )= К(ИР.,О ) (члз) Сравнивая (9.17) и (9.18), замечаем, что К(~в) = К(а)е'~"~ = ае ' 'о.
Следовательно, для прохождения импульса или модулированного колебания через четырехполюсник без искажения формы необходимо, чтобы модуль передаточной функции был постоянен (не зависел от частоты), а аргумент ~р(ь) = — ь|о линейно изменялся в функции частоты (рис. 9.2, а). В реальных четырехполюсниках эти условия могут быть выпол-, нены лишь приближенно в некоторой полосе частот, которую называют полосой пропускания.
Полоса пропускания ограничена значениями в, при которых отношение масимального значения К(ю) к минимальному равно ф (рис. 9.2, б). Такой характеристикой обла-, где Я.„(/ш) = ~ Ц1~е '"ч1. Так как сигнал Ц1) может отличаться от сигнала ~,(1) по значе нию (по амплитуде), положим в и раз, и запаздывать на некоторое время 1„но по форме должен быть таким же, как и Щ, то можно записать, что Ц1) = а~,(1 — 10).
2 Если к функции Ц1) применить преобразование Фурье, то окажется, что спектр функции Ц1) равен аЯ,„(ув)е ! 'о. дает, например, схема рис. 3.42, а. Для этой полосы приближенно полагают, что К(ь) = сопя|; ~р(в) = — ь|„. Для того чтобы сигнал при прохождении через четырехполюсник не изменил своей формы, необходимо, чтобы важнейшие гармонические составляющие частотного спектра сигнала находились внутри полосы пропускания четырехполюсника. Для импульсных сигналов треугольной, трапецеидальной, прямоугольной, колоколообразной и некоторых других форм принимают, что они занимают полосу частот от ~ — Одо со = 2л~~„, где 1„— длительность импульса.
Если же необходимо передать через четырехполюсник основную часть энергии сигнала (например,90 % энергии сигнала), то полосу частот можно сузить примерно до 0 —:1/~„. Так как в полосе пропускания идеальные условия для прохождения импульса все же не выполняются, то, проходя через четырехполюсник, импульс в какой-то степени искажается.
Определить степень искажения можно двумя способами, основанными на частотных представлениях. Первый способ состоит в непосредственном применении прямого и обратного преобразований Фурье. Основные этапы этого способа таковы: 1) нахождение спектра У,(~а) входного сигнала и,(~); 2) определение передаточной функции четырехполюсника К(ув); 3) получение спектра выходного сигнала У((ь) = К(уса) У,(уь); 4) вычисление и (1) по У (/ь). Последнюю операцию можно осуществить с помощью формулы (9.13), но практически ее удобнее выполнить, используя таблицу изображения по Лапласу, заменив уь на р в Уфуь). Такое решение мало чем отличается от решения той же задачи операторным методом и для сложных схем оказывается малопригодным, поскольку решение достаточно громоздко, и, пользуясь им, трудно сделать вывод о том, как тот или иной конкретный элемент схемы при неизменных остальных влияет на фронт и на вершину импульса.
Пользуясь этим методом, трудно также судить о том, какие элементы схемы в наибольшей степени влияют на деформацию фронта, какие — на деформацию вершины импульса. В литературе по импульсной технике получил распространение второй способ решения, также основанный на спектральных представлениях. В основу его положено то обстоятельство, что искажение формы фронта выходного импульса по сравнению с формой фронта входного импульса зависит от свойств передаточной функции четырехполюсника на высоких (теоретически на бесконечно больших) частотах, а искажение вершины импульса определяется свойствами передаточной функции на низких частотах(теоретически на частотах, близких к нулю).
Эти положения соответствуют предельным теоремам операторного метода (см. $ 8.4). Для того чтобы выяснить влияние отдельных элементов схемы на искажение формы импульса, прежде всего составляют полну1 схему замещения четырехполюсника, учитывая в ней все факторы влияющие на частотные свойства ~паразитные емкости ламп, им пульсных трансформаторов, индуктивности рассеяния трансфор маторов, емкостные свойства р-и-переходов транзисторов, завися мость коэффициентов усиления транзисторов от скорости процесса (от частоты ь)1. Затем из полной схемы замещения образуют две расчетные схе мы. Первая схема представляет собой расчетную схему для высо ких частот и позволяет определить степень искажения фронта им пульса.
Эту схему получают из полной схемы замещения путем закорачивания последовательно включенных конденсаторов по пу ти следования сигнала (относительно больших по сравнению с па разитными) и разрыва индуктивных элементов, включенных парад лельно резистивным элементам схемы. Вторая схема представляет собой расчетную схему для низких частот и служит для выяснения степени деформирования вершины импульса. Эту схему получают из полной схемы замещения, остав ляя в ней последовательно включенные конденсаторы по пути следования сигнала, а также индуктивные элементы, включенные параллельно резистивным сопротивлениям, и закорачивая последовательные индуктивные элементы по пути следования сигнала. Паразитные емкости в низкочастотной схеме не учитывают.
В каждой из этих расчетных схем с учетом упрощений, рассмотренных в ф 8.16, число оставшихся индуктивных элементов и конденсаторов оказывается значительно меньше, чем в полной схеме замещения. Для каждой из схем характеристическое уравнение оказывается часто первой или второй, редко третьей степени, и поэтому влияние каждого из элементов схемы на искажение фронта и вершины импульса может быть выявлено относительно легко.
Расчет переходного процесса в высокочастотной и низкочастотной схемах производят обычно операторным методом. Окончательный результат (кривую всего переходного процесса) получают, сопрягая решения этих двух схем. Вопрос об искажении заднего фронта импульса принципиально решается так же, как и вопрос об искажении переднего фронта импульса. Проиллюстрируем сказанное примером. На рис. 9.3, а изобра жена схема лампового усилителя, где Ʉ— нагрузочное сопротивление; С, — относительно большая разделительная емкость(через нее проходит только переменная составляющая выходной величи ны); С вЂ” относительно малая емкость нагрузки и (или) емкость второго каскада усиления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
