Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 55
Текст из файла (страница 55)
8.40, д) даст нУль1 Из трех перечисленных способов наиболее экономным является первый При воздействии серий импульсов переходный процесс рассчитывают часто операторным методом. Пример 104. На последовательно соединенные й и Е поступает серия прямо""ольных импульсов напряжения единичной амплитуды„длительность импульса т и 2) производная функции 1(1) равна б-функции: с1Ц1)/Ю = б(1); 3) б-функция обладает фильтрующим действием: ЯМ вЂ” У = Юб( —,); 4) изображение по Лапласу б-функции равно 1: б(1)е РЮ = 1, а б(1 — 1о)=е Р'о о иа основании теоремы смещения. Единичные функции 1(1) и 1( — 1) также обладают фильтрующим действием.
Умножение произвольной функции ~(~) на 1(1) обращает произведение ~(1)1(1) в нуль при 1~0. Аналогично, й')1(-') = 1(1) 1(0'. Импульсное (игольчатое) напряжение или ток в виде б-функции единичной площади записывают так: б(1) ° 1. Здесь единица имеет размерность В ° с или А. с соответственно. В соответствии с рис. 8.41, а импульсное напряжение единичной площади, равное б(1) ° 1 В с, можно представить как сумму двух прямоугольных импульсов: импульса напряжения 1 / Лт, вступающего в действие при 1=0, и импульса — (1/Лт), вступающего в действие при 1 = Лт.
При 1 >Лт и нулевых начальных условиях ток на входе цепи при воздействии на нее напряжения в виде б-функции 1 '(О = 1 — 1а(1) — Ф вЂ” ~ )1. Лт Разложив д(1 — Лт) в ряд Тейлора по степеням Лт и учитывая "Малость Лт, получим 1 1 1(1) = 1 — ~дЯ вЂ” дЯ+Мд'Я~ = 1 — ЬтК'Я = ~'(~) 1, где а'(1) = — — импульсная переходная проводимость. Для мо- МО д1 ментов времени 1~Лт, она численно равна току в цепи при воздействии на цепь напряжения в виде б-функции. Аналогично, ь'(1) = — импульсная переходная функция. И (1) 1ф Для ~~Лт-+-0 она численно равна напряжению на выходе четырехполюсника при воздействии на его вход импульса напряжения б(г).1 В-с.
В интервале времени от 0 до О+ (во время действия импульса) иЯ = и'(~) 1+й(0+)б® = Ь'(~), Наряду с понятиями "переходная проводимость" д(() и "им- пульсная переходная проводимость*' д'(1) применяют дуальные им понятия: переходное сопротивление «Я и импульсное переходное сопротивление «'(1). Переходное сопротивление «„(1) численно рав но напряжению на входе цепи и,„(1) при воздействии на ее вход единичного тока: и,ьЯ = 1(Л)«,ьВ Импульсное переходное сопротивление «'.ф) численно равно напряжению на входе цепи и„(ф после того как на ее вход воздей ствовал импульс тока в виде 6-функции единичной площади: ° и,ф) = 6(~) 1(А.с) «'.,(ф Величины «(1) и «'(1) могут быть входными и взаимными, однако д(1) и й(1) не являются взаимно обратными величинами;ф1) определяется при питании схемы от источника ЭДС, а й(~) — при питании схемы от источника тока.
Подчеркнем, что в литературе по переходным процессам в зависимости от рассматриваемого вопроса под одним и тем же названием — импульсная переходная функция — понимают либо функцию и'(1), либо Ч(1). Между этими функциями имеется зависимость Ь'Р) = Ь(0,) бР)+Ь (~); Ь'(1) характеризует реакцию четырехполюсника (его выходное напряжение) после окончания воздействия на его вход единичным импульсом напряжения 1 6(1) В с, а й))(1) — напряжение на выходе четырехполюсника и во время действия импульса и после окончания. Аналогичные соотношения существуют между двумя импульсными переходными проводимостями а'(~) = а(0+) Ф)+а'Р) и между двумя импульсными переходными сопротивлениями й (г) = й(0+) 6Р)+й Р) при воздействии на вход схемы единичным импульсом тока.
С помощью и'(1) интеграл Дюамеля запишется так: и,(!) = ~ и(ч) Й'(1 — т)дт. о Здесь п~(1 — т) = Ь(0) 6(~) + Ь" (~ — т). Формулу интеграла Дюамеля в математических работах называют формулой свертки двух функций в данном случае функций и(~) и Ь'(~). ф 8.62. Определение Ь(1) и Ь'(1) через К(р). Как упоминалось, при воздействии на вход четырехполюсиика единичного напряжения я,(~)=1(1) напряжение на выходе егор)=Ь(1).
Если это положение .1 ~вписать относительно изображений, учитывая, что 1(1) = — и обоз- Р начив изображение Ь(~) через Н(р), то Н(р)=К(р~~р. Отсюда К( )=Ф'(1)- (8.64) При воздействии на вход четырехполюсника единичным импульсом напряжения иф) = 1.6(1) = 1 = и,(р), напряжение на выходе его Ф) = Ь"(1) = и ЯКИ= 1.К(~) таким образом Ь~(1) = К(р). Пример 105. Запишем пЮ Ь И), 6~(~) для схемы рис. 8.38, а: ! Щ=1 е / . Фг'(1)= — — е рс; ИС ~СР 1~СР+1 — 1 ~® ) 1~СР+1 ~~р+1 ~СР+1 ~ (~+)® (8.66) ф 8.63.
Метод пространства состояний. Метод пространства состояний (метод переменных состояния) представляет собой упорядоченный способ нахождения состояния системы в функции времени, использующий матричный метод решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Коши (в нормальной форме). Применительно к электрическим цепям под переменными состояния понимают величины, определяющие энергетическое состояние цепи, т. е. токи через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах.
Значения этих величин полагаем известными к началу процесса. Переменные состояния в обобщенном смысле назовем х. Так как это некоторые функции времени, то их можно обозначить х(1). Пусть в системе п переменных состояния. Матрицу-столбец пеРеменных состояния в и-мерном пространстве состояний обозна- чим 1,,1 , т выходных величин (токи, напряжения) обозначим у, х„ Определим теперь Ь(1) через К(р). Поскольку Ь(1) =' И(р), а Н(р) определено предыдущей строкой, то А(1) = —. . к(р) Р матрицу-столбец выходных величин [у[= у Источники воздействий (источники ЭДС ка) будем имено Я) вать г. Матрица-столбец источников воздействий [г[= Для электрических цепей можно составить матрич ь уравне ния вида (программа решения на ЭВМ уравнения (8.67) приведена в [23[). й = [м1 [4+МИ (8.67) [у[ = [Р[[х[+и [4, (8.68) где [М[, [У[, [Р[, [Ц вЂ” некоторые матрицы, определяемые структурой цепи и значениями ее параметров.
На основании принципа наложения решение (8.67) [х())[ = е~хе[х(0))+[ ее1е ~[Ф)[х(т))дт, (880) о Е ( --[~ — т) Е я я ф)=е ~ — +~~е ~ — с[т= 2Р ~ Ь я, = — — — е ~.. Т~ 2й Рис. 8.42 зоо где [х(0)[ — матрица начальных значений х. Первое слагаемое в формуле (8.69) описывает свободные процессы в системе, второе — принужденные и свободные при нулевом исходном состоянии [вывод формулы (8.69) см. в конце параграфа1. Из (8.68) и (8.69) находим [е())) = [Р)е~е1' [х(О))-)- ') [Р)е™~е — е[Ж) [х(т)) дт -)- )()) [х[Е)). (870) о Поясним формулу (8.69) на простом примере. Ток в схеме рис. 8.42 до коммутации был ~(0 ) = ЕЦ2К). Уравнение состояния для этой схемы й/й = — Я(Е)[+ (Е~ Ц, т.
е. ~х) = Ж(И;[М1= — К(Е; [Ф1 = 1/1.;[г1 = Е; Матричную функцию е1м" в формуле (8.69) вычисляют по формуле (теореме) Сильвестра [13]: е1м!' = е'!'[А!]+ е!2'[А ]+ ... + е' '[А„], (8.71) где (8.72) 1!, — собственные значения (характеристические числа) квадратной матрицы [М], т. е. корни уравнения с[е1([М] — л,[1] ) = О. (8.73) Из уравнения (8.73) следует, что уравнение относительно л, составляют, приравнивая нулю определитель матрицы [М], в котором все элементы этой матрицы а (т = 1, ..., и), расположенные по главной диагонали, заменяют на элементы а — л,. Характеристические числа Х вЂ” это не что иное, как корни характеристического уравнения послекоммутационной схемы. Запись решения в виде ряда (8.71) предполагает, что все характеристические числа различны (нет кратных корней).
Если же среди корней уравнения де1([М] — Ц1]) = О будет кратный корень Х, кратности з, то составляющая е1~", обусловленная этим корнем, имеет вид (8.74) (а — 1)1 сй' — ' где Аф(Ц1] — [М]) — присоединенная матрица к матрице Ц1] — [М]. В ней все элементы а,,- заменены на алгебраические дополнения, а затем проведено транспонирование. Составляющие решения по формуле (8.74) соответствуют части решения по формуле разложения (см.
$ 8.50), учитывающей кратные корни. При машинном счете функцию е'"" подсчитывают разложением в ряд: е! "=[1[+[М11+ + ". М ! [М['1~ 2! Пример 106. Методом пространства состояний исследовать переходный процесс в схеме рнс. 8.43, а. До коммутации был установившийся режим; Е = 4 В, У = 1 А; Й =20м; Е = 1 Гн; С = 1 Ф. 301 Рис. 8.43 Р е ш е н и е. Обозначим токи и напряжения в соответствии с рнс. 8.43, и. До коммутации Е У У Е1 Е (О ) = — — — = 0,5 А; ис(0 ) = Я вЂ” + — 1 = 3 В. 2Я 2 ™ 2 2Я В качестве переменных состояний выбираем ток г, и напряжение на конденса торе ис.
Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим наиболее целесообразный, основанный на сведении послекоммутационной схемы к резистивной с источниками ЭДС и тока. С этой целью индуктивные элементы в послекоммутационной схеме заменяем на источники тока, которые доставляют ток в том же направлении, что и в исходной схеме (в рассматриваемом примере Е заменяем на источник тока с~ с напряжением на нем ЕЙ,/Й), а конденсатор С вЂ” на источник ЭДС, причем в соответствии с теоремой конденсации ЭДС этого источника должна быть направлена встречно току в ветви с конденсатором, т.
е. встречно напряжению ис на конденсаторе (в рассматриваемом примере конденсатор С с напряжением на нем ис заменен на источник ЭДС Е, = ис). В результате схема окажется без индуктивных и емкостных элементов (чисто резистивной), но с дополнительными источниками тока и ЭДС (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
