Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Поэтому изображение напряжения на конденсаторе записывают следующим образом: .1(р) "с( ) И + Ср р (8.37) Приведем простейшие операторные соотношения; часть их бы ла выведена ранее, другая дается без вывода: 1) а1. р — И 1 2) — =е аг р+а' а 4) е — а1 . р(р+ а) ' ! 5) =!е (р+ а) 17) р — а 1 ! 18) 2 2. -з!и аг; 2+ а2 ° а ! Для сокращения записи вместо иДО ) пишем иДО); иДО) может быть и положительной, и отрицательной величиной. В формуле(8.37) ис(О) считают положитель ной величиной, если направление иДО) совпадает с произвольно выбранным положительным направлением послекоммутационного тока через конденсатор. 6) — — = (1 — ~1) (р+ а) — а1 7) = — !! — е "~ (1 + а!)1; р(р+ а) а — а! 8) — — + Р2(р + ~) 1 9) Р ' (ае — а1 Ье — ь~)- (р+а) (р+Ь) а — Ь вЂ” ы 1О) (р+а) (р+Ь) ' а — Ь (е — и е — ~) ! 1 1 !!) р(р+ а)(р+ Ь) ' а Ь Ь вЂ” а — + — х х( — ', — — '"): 1 12) — = 1; Р с"-' 13) — =' (и — 1) ! 14) . =!(1 — — ) е Р а! (Р+ а)з 15) = !" !е ас ! (Р + а)" (и — 1)! 1 .1 16) = — з!т а1; р2 — а2 а Теорема доказывается следующим образом: — — а1 ! е р~ ~(аг) Ж = — (е,„("б ~ (п~) д(ат) = — г ( — ) .
пз и а о о 4. Нахождение начального значения функции времени ~(О+) ао изображению функции Г(р) ~ (О+) =1ип рЕ ( р) . и — ~ Оэ Это соотношение получают, если в (8.33) р устремим к бесконечности. При этом левая часть (8.33) равна нулю.
5. Нахождение установившегося значения функции времени ~ (оо) по изображению функции Р(р). 1" ( о) =1ип рР(р). + 0 Соотношение получим, если в (8.33) р устремим к нулю и учтем, что е " = 1 . В результате имеем 1ЙД~) =~ (а ) — ~ (О) =!1т рг(р) — ~~О), о р о или 1(О =1 р~(р) . г - р о Если искомая функция ~(~) в послекоммутационном режиме содержит в своем составе периодическую составляющую (принужденную или свободную), то понятие ~(оо) для нее оказывается неопределенным. Например, не имеет определенного смысла функция ып ь| при 1 = со. В соответствии с этим к цепям с синусоидальными источниками исследует применить предельное соотношение п.5. Точно так же не следует пользоваться им для цепей без синусоидальных источников, если эти цепи чисто реактивные и не содержат резисторов.
Так, при подключении последовательно соединенных ~ и С(при нулевых начальных условиях) к единичному напряжению!(~) по цепи протекает свободная составлявшая тока, численно равная ~С/Е в1п ~~.с~ В этом случае определять ~ (оо) как 1пп рГ(р) также не имеет смысла. р-'о 6. Дифференцирование в области изображений Если Цр) = 1~(р) . ='~(1), то — = 1~ (1) . Доказательство: др б — — ~~(Ое Р~ б1 = — ~~(1) — е Р~ Ж= — ~ 1~ Яе Р~й. Р о о Р о Например если)р) =е ', р(р)=; ~е — а« " (Р) Р+ а' др (р+ а)' 7. Интегрирование в области изображений Если при у И) )лр у«)) и — преоораауепы по Лапласу и ~ с «р) да существует, Р то ~ Р(р) «)Р = -Щ Р Доказательство: ~(1)е Р д1 др=~~(~) ~е Р др «)Ф = о р ')Р(р)Ф=~ Р Ж) «)«=~ — е ~ Ю. о Г1 Например, если ~(~)= ~ — е "'(а~О), р(р)= р(р+ а)' оо оо (р+ а) «)р =!и Р $8.41, Закон Ома в операторной форме.
Внутренние ЭДС. На рис. 8.26 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи. Между узлами а и Ь этой цепи включена ветвь, содержащая й; Г., С и источник ЭДС е(1). Ток по ветви обозначим через ~. Замыкание ключа К в схеме приводит к переходному процессу. До коммутации ток ~ = ~(О ) и напряжение на конденсаторе и.
= =ис(О ). Выразим потенциал точки а через потенциал точки Ь для послекоммутационного режима: ут«)а «Рй+ис+ис+ )т ( )и и„=«о.— «оь= в+и, +ис — еЯ. Рис. 8.2б й 1,' Вместо и запишем 7 —, вместо и соответственно и (О)+ — (;,11 Ф' с с о Тогда й 1'. и = И + А — + иДО) + — ~ гЮ вЂ” е(1). о В результате найдем и (О) (8.39) У, (р) Г(р) й+рЕ+ Е~(0) + Е(р) Ср р Смысл проведен го преобра ования состоит в том, что вместо дифференциального уравнения (8.38) получили алгебраическое уравнение (8.39), связывающее изображение тока 1(р) с изображением ЭДС Е(р) и изображением напряжения У„(р). Из уравнения (8.39) следует, что ис (О) Ьаь(р) + Ы(0) + Е(р) У(р) (8.40) 1 где Х (р) = й + р,(.
+ — — операторное сопротивление участка цеСр пи между точками а и Ь. Структура его аналогична структуре комплекса сопротивления того же участка цепи переменному току, если уь заменить на р (ср. с ф 8.13). Как указывалось в ~ 8.13, комплексное число р = а + ф может быть записано в виде р = ~(Ь вЂ” уа) = у й, где й = Ь вЂ” уа — комплексная частота; Х(р) = 2(!я ) — сопротивление, оказываемое рассматриваемой цепью воздействию () е~"'=6 е)", подобно тому как У ((ь) есть сопротивление, оказываемое воздействию 1)' е1"'. Поэтому У(р) называют сопротивлением на комплексной частоте. Уравнение (8.40) может быть названо законом Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего ЭДС.
Оно записано при ненулевых начальных условиях. Слагаемое Ы(0) представляет собой внутреннюю ЭДС, обуслов- 270 К уравнению (8.38) применим преобразование Лапласа. Преоб разование Лапласа является линейным, поэтому изображение сум мы равно сумме изображений. Каждое слагаемое уравнения (8.38) заменим операторным изо , бражением: вместо'® запишем КЦр); вместо и„— 0„(р); ,1) .. и,(0) Š— ='ЬР7(р) — и(0); ис(0) =' —; — с — ) гй = —; е (1) = Е (р).
. ~(~), С~ = Ср' ) (8.41) ~(Р) = 17 (Р)lг (Р). Уравнение (8.41) есть математическая запись закона Ом а в операторной форме для участка цепи, не содержащего источник ЭДС при нулевых начальных условиях. ф 8.42. Первый закон Кирхгофа в операторной форме. По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла а схемы рис. 8.26 г, +с+~, =О.
Применим преобразование Лапласа к уравнению (8.42) и воспользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений: 7~ (~0) + 7 (р) + 7~ (Р) = О. В общем случае (8.43) Уравнение (8.43) выражает собой первый закон Кирхгофа в опеРаторной форме. 271 ленную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие протекания через нее тока с(О) непосредственно до коммутации. Слагаемое и (О)~р представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нем ис(0) непосредственно до ком мутации.
В соответствии с формулой (8.40) на рис. 8.27 изображена операторная схема замещения участка цепи рис. 8,26. Операторные сопротивления ее К рУ., 1/(Ср). Как следует из формулы (8.40), внутренняя ЭДС Ы(О) направлена согласно с направлением тока !(р), внутренняя ЭДС ЩО~(р — встречно току 7(р). В частном случае, когда на участке аЬ отсутствует ЭДС е(1) и к моменту коммутации 1(О) = О и и (О) = О, уравнение(8.40) приобретает более простой вид: Каждое из слагаемых(8.44) заменим операторным изображением: й~ 1.,— = Е~рl, (р) — 7. ~с, (О); !Й.1! Ж~ М МРУ.
(р) М. (О), Й ' ! (р) —,(~зй = —, (8.45) (ф2 — — й~Цр); Ж~ 7.~ — — — Е р1 (р) — ~.у'р(О); Й 6е~ М вЂ” = Мр(~ (р) — М~~ (О); Ж Ф).= ~."й>) 'Ф).= ~л(р). 272 1 ей) ф 8.43. Второй закон Кирхгофа в опе, раторной форме. Для любого замкнуто го контура любой электрической цепи можно составить уравнение по второму «акону Кирхгофа для мгновенных значе пий.
Предварительно необходимо вы брать положительные направления для токов в ветвях и направление обхода Рис. 8.28 контура. Запишем уравнение по второму за кону Кирхгофа для контура рис. 8.28. Контур обходим по часовой стрелке. Учтем, что индуктивности ~., и ~., связаны магнитно. При выбранных положительных направлени ях для токов ~, и ~2 между 1,, и Е~ имеет место согласное включение. Й, Й~ Падение напряжения на 1.
равно Е. — + М =, на 1., составляет 'Й Й' Й2 Й~ ,(. — + М вЂ . При составлении уравнения учтем, что начальное на- 'Й Й пряжение на конденсаторе равно ис(О). Пусть оно действует согласно с током к, Начальное значение ю, = ю,(О), тока ю, = сфО). Имеем Й, Ж~ Ь,— + М вЂ” + ис(О)+ —,~~зй — ~Р.„— () Р е ш е н и е. Направления контурных токов гы и ! показаны на схеме. Имеем: 81п 1„Й, + Х.,— + 1!фц — 1 ) = е(1), ' сИ 1(.
сэ ~22($1 + Й~($2р Сы) = О. Переходим к изображениям: 1ы(р) (РЕ~ + %~ + !!2) Ый!~2 = Е(р) Рис. 8.29 1 — ' 1ц(р)1~з + ЫР) Яя + — ) = О- рс Совместное решение двух уравнений с двумя неизвестными дает: е(р) (1 + Я~ср) 1ы(Р)— р ц1- с+РЯба с+ела+ Ю, +я (8.48) (8.49) Е(РМ2 СР 1~(р) —, р'к,~.,с + р(к,к,с + е,) + 11, + ю, Изображение контурного тока!В(р) равно изображению тока 1,(р), изображение 1~, (р) — изображению! (р). В (848) и (849) Е(р) есть изображение ЭДС е(1). Если е(!)= 1 = Е,тоЕ(р) = Е!Р,еслие(!) = Е з1п(ы!+ с~),тоЕ(р) = Е .
ит.д. Р 1~» Пример 89. Составить операторные изображения токов 1~ и !з схемы рис. 8.29, пользуясь законами Ома н Кирхгофа. Р е ш е н и е. Так как в схеме нулевые начальные условия и нет магнитно-связанных индуктивных катушек, то составить уравнение можно проще, чем по методу кон гурных токов. Изображение тока 1,(р) = Е(р)! Х,„(р), где 2,„(р) — входное сопротивление схемы в операторной форме относительно зажимов аЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
