Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Для схемы рис. 8.4, а составить характеристическое уравнение. р е ш е н н е. Входное сопротивление относнтельнозажимов аЬ при переменном токе 1 Ф~— 2 усос ~аь(1ы) 1ы7 !+~!+ И+в 2 уюс Заменим в нем /ь! на р н приравняем его нулю; 1 й— 2 рс ~аь(р) = р7.!+1~!+ 1~ +— рс Отсюда р'7.!ск,+р(7.!+ к Р,с)+к!+к, О 1+я,Ср или (8.10а ) р'~.,ск,+р(7,+к р,с)+р,+к,) = о. 237 Уравнение (8.10а) совпадает с уравнением (8.10), составленным иным путем, и получено оно путем использования выражения для входного сопротивления первой ветви схемы рис. 8.4, а относительно зажимов аЬ. Точно такое же уравнение можно .
получить, если записать выражение для входного сопротивления любой другой ветви. Следует иметь в виду, что во избежание потери корня (корней) нельзя сокращать Л(р) и Л!(р) на общий множитель, если он имеется. Однако на общий множитель р сокращать Л(р) и А (р), как правило, возможно, но не всегда.
Сокращение на р допустимо для схем, в которых исследуемая величина из физических соображений ие может содержать незатухающую свободную составляющую. Если же исследуемая величина в рассматриваемой схеме может иметь незатухающую свободную составляющую, то сокращать числитель и знаменатель Х(р) на р (терять корень р=О) нельзя. Для иллюстрации недопустимости сокращения на р рассмотрим два примера.
В послекоммутационной схеме рис. 8,4, 6 имеется контур из индуктивных злементов, активное сопротивление которого равно нулю. В нем теоретически может протекать незатухавшая свободная составляющая тока, которая не будет учтена в р1.(2й+ рЕ) Решении, если сократить числитель и знаменатель 2(р) = на р. В схеме 2р1. Рис. 8.4, в, дуальной схеме рис. 8.4, б после коммутации на конденсаторах возможно возникновение равных по значению и противоположно направленных незатухающих с~ободных составлявших напряжений.
Свободный заряд каждого конденсатора не с~ожет стечь через сопротивление й, так как этому мешает второй конденсатор с противоположно направленной незатухающей свободной составляющей напряжения. Для схемы рис. 8.4, в характеристическое уравнение получим, приравняв нулю входную проводимость относительно зажимов источника тока: рсрс рс(2~+ рс) Ф) =а+ 2рС 2рС где д=1/й. В качестве примера цепи, для которой можно сокрашать числитель и знамена тель с(р) на р, приведем схему рис. 8.4, г. Для нее 1 рС КСрЯср+2) РЯср+2) + 1 ср(асср+ 1) кср+1 ~+рс ф 8.14. Основные и неосновные зависимые начальные значения.
Для сложных схем со многими накопителями энергии число независимых начальных значений (начальных условий) может оказаться больше, чем порядок характеристического уравнения, и, следовательно, больше числа постоянных интегрирования. В этом случае при определении постоянных интегрирования используем не все независимые начальные значения, а часть из них. Основными независимыми начальными значениями называют те токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах, которые могут быть заданы независимо от других. Остальные независимые начальные значения называют неосновными. В качестве иллюстрации обратимся к схеме на рис.
8.5. Она содержит три индуктивных элемента в один ем костный. В схеме всего четыре независимых начальных значения (начальных условия): !)11(0+)= 0;2)ЦО+) = 0;3)1з(0+) = 0;4)ис(О+) = О. Из них три являются основными и одно — неосновным. Выбор основных значений здесь произволен. Если за основные взять первое, второе и четвертое значения, то неосновным будет третье. Пример 78. Убедимся в том, что для схемы рис. 8.5 характеристическое уравнение имеет не четвертую, а третью ступень.
Р е ш е н и е: Составляем выражение для входного сопротивления: (Ф2 + —.)рх.з 1 Х(р) = й~+р~ 1+ = О. РЕ2+РЕЗ+ С Р 2 Отсюда (й~+р1.1)11+р с2 (е2+1-з) 1+р1-з (1+сф2р ) = О. Следовательно, харпьгеристическое уравнение имеет третью степень. ф 8.15. Определение степени характеристического уравнения. Степень характеристического уравнения цепи необходимо уметь оценивать, взглянув на схему, в которой исследуется переходный процесс. Быстрая ориентация в этом вопросе дает возможность определить трудоемкость предстоящих выкладок и способствует выявлению ошибки, если она возникает при составлении характеРистического уравнения.
Степень характеристического уравнения равна числу основных независимых начальных значений в послекоммутационной схеме после максимального ее упрощения и не зависит от нида ЭДС источников ЭДС в схеме. Упомянутое упрощение состоит в том, что последовательно соединенные индуктивные элементы должны быть заменены одним эквивалентным; конденсаторы, включенные последовательно и параллельно, тоже должны быть заменены эквивалентными.
Применительно к схеме рис. 8.6, а последовательно включенные Е', и ~." следует заменить на 1., = Е',+Е",-~2М, если между ними есть магнитная связь(если нет магнитной связи, то М=О), а конденсаторы емкостью С,, С з, С4 — на конденсатор емкостью с с-, з з ~,= С,+, ~„. Начальное значение напряжения на Сз равно начальному значению напряжения на С4. В результате упрощений схемы рис. 8.6, б получаем схему на Рис, 8.7, в которой два индуктивных элемента и один конденсатор.
Все три независимые начальные значения — основные, Следовательно, характеристическое уравнение будет третьей степени, Обратим внимание на то, что степень характеристического Уравнения не зависит от того, имеется ли магнитная связь между индуктивными элементами схемы или она отсутствует. Условимся под емкостным контуром понимать контур, в каждой из ветвей которого имеются либо только конденсаторы (рис. 8.7, и), либо в одни ветви входят только конденсаторы, а в другие — только источники ЭДС (рис. 8.7, б). Положим, что после максимального Упрощения схемы в емкостный контур входит и конденсаторов. Если Учесть, что по второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма "апряжений на ветвях контура равна нулю, то только на и — 1 кон- Рис.
8.7 денсаторах контура напряжения могут быть заданы произвольно. Условимся под индуктивным узлом понимать узел, в котором сходятся ветви, в каждой из которой имеются индуктивности (рис. 8.7, в), либо часть ветвей с индуктивностями, а другая с источниками тока (рис. 8.7, г). Положим, что в индуктивный узел сходится и-ветвей, содержащих индуктивности. Если учесть, что по первому закону Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю, то только в т — 1 индуктивностях токи могут быть заданы произвольно. Обобщенно можно сказать, что после максимального упрощения схемы степень характеристического уравнения может быть определена путем подсчета величины и +и — д — Ас, где и — число индуктивных элементов в схеме; и — число конденсаторов; у,— число индуктивных элементов, токи в которых не могут быть заданы произвольно; Й вЂ” число конденсаторов, напряжения на которых не могут быть заданы произвольно.
3 а м е ч а и и я: !. Если схема с источником тока имеет несколько последовательных участков, содержащих параллельно соединенные ветви с !(, (., С, то для каждой группы параллельных ветвей будет свое характеристическое уравнение со своими корнями (свободные токи не могут замыкаться через источник тока, поскольку сго сопротивление равно бесконечности).
2. Если в схеме будут иметься так называемые дополняющие двухполюсники (см. Э 8.63), содержащие элементы )т, Ь, С, между которыми выполняются определенные соотношения, то при упрощении схемы они должны быть заменены на эквивалентные им резисторы. Это значительно упрощает выкладки(на эту тему рекомендуется решить пример 30 из вопросов для самопроверки). ф 8.16. Свойства корней характеристического уравнения.
Число корней характеристического уравнения равно степени этого уравнения. Если характеристическое уравнение представляет собой уравнение первой степени, то оно имеет один корень, если второй степени — два корня и т. д. Уравнение первой степени имеет всегда отрицательный действительный (не мнимый и не комплексный) корень.
Уравнение второй степени может иметь: а) два действительных неравных отрицательных корня; б) два действительных равных отрицательных корня; в) два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действительной частью. 240 Уравнение третьей степени может иметь: а) три действительных неравных отрицательных корня; б) три действительных отрицательных корня, из которых два равны друг другу; в) три действительных равных отрицател1,ных корня; г) один действительный отрицательный корень и два комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью. ф 8.17. Отрицательные знаки действительных частей корней характеристических уравнени~й.
Свободный процесс происходит в цепи, освобожденной от источи ика ЭДС. Он описывается слагаемыми вида Ае~'. В цепи, освобожденной от источников ЭДС, свободные токи не могут протекать сколь угодно длительно, так как в ней отсутствуют источники энергии, которые были бы способны в течение сколь угодно длительного времени покрывать тепловые потери от свободных токов, т. е.
свободные токи должны затухать во времени. Если свободные токи (выраженные слагаемыми е") должны затухать (спадать) во времени, то действительная часть р должна быть отрицательной. Значения функции е "' =- ~(а~), где и~=х, приведены в табл. 8.1. Таблица 8.1 сЬх сьх 241 о О,1 0,2 о,з 0,4 0,5 0,6 0,7 О,8 0,9 1,О 1,1 1,2 1,З 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 1,О 1,10 1,22 1,З5 1,49 1,65 1,82 2,01 2,22 2,46 2,72 з,оо 3,32 3,67 4,05 4,48 4,95 5,47 6,05 6,68 7,39 1,0 0,905 0,819 0,741 0,67 0,606 0,549 О 49? 0,449 0,407 О,З68 о,ззз О,ЗО1 0,272 0,247 0,223 0,202 0,183 0,165 0,15 0,135 о,о О,1О 020 о,зо 0,41 0,52 0,64 0,76 0,89 1,ОЗ 1,17 1,З4 1,51 1,?О 1,9О 2,13 2,38 2,65 2,94 3,2,'7 3,63 1,О 1,ОО5 1,02 1,04 1,08 1,13 1,18 1,25 1,34 ~1,43 1,54 1,67 1,81 1,94 2,15 2,25 2,58 2,83 З,1 1 3,42 з,?6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 з,о 3„2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 6,0 8,17 9„02 9,97 11,02 12,18 13,46 14,88 16,44 18,17 20,08 24 53 29,96 36,6 44,7 54,6 66,69 81,45 99,48 121,5 184,4 400 0,122 О,1 1 1 О,1ОО 0,09 О,О82 0,074 0,067 0,061 О,О55 0,05 0,041 о,озз 0,027 0,022 О,О18 0,015 0,012 О,О1 0,0082 0,0067 0,0025 4,02 4,46 4,94 5,47 6,05 6,?О 7,41 8 19 9,06 10,02 12,25 14,96 18,28 22,34 27,29 33,33 40,72 49„?4 60,75 74,2 200 4,14 4,56 5,04 5,56 6,13 6,7? 7,47 8,25 9,11 10,07 12,29 15,0 18,З1 22„36 27,3 ЗЗ,З5 40,73 49,75 60,76 74,21 200 Рассмотрим характер изменения свободных составляю|цих для простейших переходных процессов в цепях с характеристическим уравнением первой и второй степеней.
Если число корней характеристического уравнения больше двух, то свободный процесс может быть представлен как процесс составленный из нескольких простейших процессов. ф 8.18. Характер свободного процесса при одном корне. Когда характеристическое уравнение имеет один корень, свободный ток «„=Ае" =Ае (8,12) где р = — а зависит только от параметров цепи, А — от параметров цепи, ЭДС и момента включения. Характер изменения «„при А ~0 показан на рис. 8.8. За интервал времени ~ =т = 1/а функция Ае "уменьшится в е = 2,72 раза. Действительно, при 1 =т=1/а а1 =ат=а/а =1; е "=е '" =е ' =1/е =1/2,72. Величину т = 1/а = 1/ ~ р ~ называют постоянной времени цепи; т зависит от вида и параметров схемы. Для цепи рис. 8.2 т = ЕЯ, для цепи рис. 8 3, а т = «сС, для цепи рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
