Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Значения токов через индуктивные элементы и напряжений на конденсаторах, известные из докоммутационного режима, условимся называть независимыми начальными значениями. Значения остальных токов и напряжений при ~=0+ в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа, будем называть зависимыми начальными значениями. ф 8.9. Нулевые и ненулевые начальные условия. Если к началу переходного процесса непосредственно перед коммутацией все токи и напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю„то в схеме имеют место нулевые начальные условия.
Если же к началу переходного процесса хотя бы часть токов и напряжений в схеме не равны нулю, то в схеме имеют место ненулевые начальные условия. При нулевых начальных условиях токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах начнут изменяться с нулевых значений, при ненулевых условиях — с тех значений, которые они имели непосредственно до коммутации. ф 8.Ю. Составление уравнений для свободных токов и напряже ний. Для послекоммутационной схемы составляют уравнения по законам Кирхгофа для полных токов и напряжений, так же как это делалось и раньше: сначала обозначают токи в ветвях и произволь но выбирают для них положительные направления, затем состав ляют уравнения по первому и второму законам Кирхгофа.
Так, дл" 1 ~2 ~З О1 й 1 +~1 1+121~2 = Е'* 'Ф 1 1Р2 1 13111 = О. С ~1 В этих уравнениях1„12 и 1, — полные токи. Каждый из них состоит из свободного и принужденного токов Для того чтобы от этой системы уравнений перейти к уравнениям для свободных токов, «освободим» систему от вынуждающих ЭДС (в нашем случае от ЭДС Е) и вместо 11 запишем 1„„вместо 12 — 1, и т. д. В результате получим: 11св — 12св — 1„в = 01 ~~~1св ь,— '"+ „„ю,+.„,г,=о; (8.7) 1 2св 1~2 С ~ ~Зсв~~ Заметим, что для любого контура любой электрической цепи ~умма падений напряжений от свободных составляющих токов равна нул1о. $8-11. Алгебраизация системы уравнений для свободных токов.
$ 8.3 говорилось о том, что свободный ток представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (уравнения б'3 правой части). Как известно из курса математики, решение 233 схемы рис. 8.4, а после выбора положительных направлений для токов имеем: однородного дифференциального уравнения записывают в виде по казательных функций Аер'. Таким образом, уравнение для каждого свободного тока можно представить в виде 1. = Аер'. Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока своя.
Показатели же затухания р одинаковы для свободных токов ветвей. Физически это объясняется тем, что вся цепь охвачена едн ным (общим) переходным процессом. Составим производную от свободного тока: 61св — = — (А е1в) = рА е1'1 = Р1' 6~ св ~ю,.йК =~Ле~й =Ле" /р =ю,„/р. Постоянная интегрирования взята здесь равной нулю, так как свободные составляющие не содержат не зависящих от времени слагаемых. Следовательно, интеграл от свободного тока можно заменить на 1 ю„/р, а свободное напряжение на конденсаторе — ~1,„61 — на сс,/(ср).
В систему дифференциальных уравнений для свободных токов 61св ссв 1 (. подставим Ерг вместо ~ — и — вместо — (1 6~. Следовательно, св 61 Ср с~- 11св 12св 13св (8.8) (Е,,Р+й,) 1„, +К~,Й, =О; К„,Р2 — Ю2„/(СР) = О. Уравнения (8.8) представляют собой систему алгебраических УРаВНЕНИй ОтНОСИтЕЛЬНО г„„г2с„,1 в И В ОТЛИЧИЕ От ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ не содержат производных и интегралов.
Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений называют алгебраизацией системы дифференциальных уравнений для свободных токов Можно сказать, что система (8.8) есть результат алгебраизации системы дифференциальных уравнений (8.7). ф 8.12. Составление характеристического уравнения системы. Число алгебраических уравнений равно числу неизвестных свободных токов.
Положим, что р известно (в действительности оно пока не найдено и будет определено в дальнейшем) и решим систему (8.8) относительно 11„„12„и г„,,: ~1св 1-1! Ф~ ~2св ~2 Ф~ ~Зсв ~3 Й~ Следовательно, производную от свободного тока можно заменить на рг„, а свободное напряжение на индуктивном элементе, 61„ ~ —" — на ~р1„. Найдем интеграл от свободного тока: :\ „де д — определитель системы. В рассмотренном примере 1 — 1 — 1 7.
р+я1 я2 о о я2 — 1 /(ср) Определитель Ь1 получим из выражения для определителя ь путем замены первого столбца правой частью уравнений (8.8): Π— 1 о я, о о й, — 1у(ср) Д1= (8.9) Таким образом, определитель Л алгебраизированной системы уравнений должен равняться нулю. Уравнение Л =О называют характеристическим уравнением. Единственным неизвестным в нем является р. Пример 75. Используя уравнение (8.9), составить характеристическое уравнение для схемы рис.
8.4, а и найти его корни. Решение: ад 2 Р 1+ 1 С 2( ' ' Гр или Р г1 2т-1С+РЯ1т1 2С+ ~-1)+ а'1+'д 2 — о. РС Если дробь равна пулю, то равен нулю ее числитель. След нательно, С+р ф к С+1 ) + 1~ +к (8.10) КОРни квадратного уравнения — 1 Я, и,о.Н., 1дфн,и то.уе,1 — а1и гк а,1дед, с 2Я2Е1С (8.11) Определитель Ь2 получим из выражения для Л путем замены второго столбца правой частью системы (8.8) и т. д. Так как в правой части системы (8.8) находятся нули, то в каждом определителе л„д2 и лз один из столбцов будет состоять из нулей. Известно, что если в определителе один из столбцов состоит из нулей, то этот определитель равен нулю.
Следовательно, д, =О; д, =0; да=О. Из физических соображений ясно, что каждый из свободных токов не может быть равен нулю, ибо в этом случае не будут выполнены законы коммутации. Однако из предыдущего следует, что 1„,=0/Л; ~„.=О~А; 1д,.— О~А. Свободные токи могут быть не равны нулю в том случае, когда определитель системы В начале 5 8.11 говорилось о том, что решение для свободног~ тока берется в виде Ае".
Если характеристическое уравнение имее~ не один корень, а несколько, например п, то для каждого свободного и тока (напряжения) нужно взять )' А„еМ. Пример 76. Найти корни характеристического уравнения схемы рис. 8.4, а ори. 1) С=1 мкФ; 2) С=10 мкФ; 3) С=100 мкФ; й! — — Рр — — 100 Ом; Е! — — 1 Гн. Р е ш е н и е: 1) При С=1 мкФ й!М С+7.! —— 100 100.10 6+1=1,01. Цй!+Нр)К23 )С=4 200 ° !00- !0~=0,08; 2й~ф,С=2 ° !00 10~=2 10 — 1,0!'~ф,О! — 0,08 р ~ —, р = — 250с ',р2 — — — 9850с !Π— 4 ' ! 2) При С=10 мкФ р~ — =230 с ', р~ — 870 с 3) При С=100 мкФ р! — =100+ !001; р2 — — — 100 — 100) ф 8.13.
Составление характеристического уравнения путем использования выражения для входного сопротивления цепи на переменном токе. Характеристическое уравнение для определения р часто составляют более простым способом, чем обсуждавшийся в предыдущем параграфе. С этой целью составляют выражение входного сопротивления двухполюсника на переменном токе!обозначим его 2(уь)], заменяют в нем уь на р1получают Я(р)~ и приравнивают 2(р) нулю.
Уравнение Х(р)=О совпадает с характеристическим. Такой способ составления характеристического уравнения предполагает, что в схеме отсутствуют магнитно-связанные ветви. Если же магнитная связь между ветвями имеется, то предварительно следует осуществить развязывание магнитно-связанных ветвей (см. ф 3.41).
Поясним сказанное. Как отмечалось в ~2.15, если для некоторой цепи на постоянном токе составить систему уравнений по методу контурных токов, то входная проводимость относительно и-ветви д = Ь / Ь, а входное сопротивление Й = Л / Л . Для режима синусоидального тока входное сопротивление к„„ ~(! ) ~ (!ы) Комплексное число р=а+уЬ в соответствии с $ 8.41 представим в виде р = у(Ь вЂ” 1а) = уИ, где й — комплексная угловая частота. Сопротивление У(р) — это сопротивление цепи на ком плексной частоте; 2((ь) — это частный случай Х(р), когда И = со. Имея это в виду, запишем где Ь(р) — определитель системы уравнений, составленных по методу контурных токов.
Таким образом, уравнение Я„„(р) = О имеет те же корни, что и уравнение Л(р) = О. При составлении У(р) следует учитывать внутреннее сопротивление источника питания. Характеристическое уравнение можно составить так же, взяв за основу не метод контурных токов, а метод узловых потенциалов. В атом случае следует приравнять нулю определитель матрицы узловых проводимостей, полагая при составлении матрицы один из узлов схемы заземленным. Пример 77.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
