Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 46
Текст из файла (страница 46)
8.17 т =(~~~з~)/(~1+ ~з) " Название «постоянная времени» отражает постоянство подкасательной к экспоненте: подкасательная к экспоненте е ~~~ численно равна т (см. рис. 8.8). $8.19. Характер свободного процесса при двух действительных неравных корнях. Пусть р, = — а, р = — Ь (для определенности положим Ь ~ а). Тогда «„=А,е«'1'+А,е'2' =А,е " +А,е (8 12а) г) Рис. 8.9 Рис. 8.8 242 ф 8.20.
Характер свободного процесса при двух равных корнях. Известно, что если среди корней характеристического уравнения есть два равных корня р, = р, = — а, то соответствующие слагаемые решения должны быть взяты в виде А,е" +А~~е" =(А, +А,~)е (8.13) На рис. 8.10 построены пять кривых. Они показывают возможный характер изменении функции (А, +А,~)е " при различных значениях постоянных интегрировании А, и А„а также при равенстве нулю одной из постоянных.
Кривая 1 построена при А, «О и А, «О; кривая 2 — при А, сО и А, «О; кривая 8 — при А, «О и А, ~0; кривая 4 — при А, =0 и А,«О; кривая 5 — приА, «О и А =О. ф 8.21. Характер свободного процесса при двух комплексно-сопряженных корнях. Комплексные корни всегда встречаются попарно сопряженными. Так, если р, = — б + уело, то р~ = — Π— уело. Соответствующее им слагаемое решения должно быть взято в виде 1;, =Ае — "' 81п(во~ +~). (8,14) Формула (8.14) описывает затухающее синусоидальное колебание (рис.
8.11) при угловой частоте в, и начальной фазе ~. Огибаю- Рис. 8.11 Характер изменения свободного тока при различных по значению и знаку постоянных интегрирования А, и А2 качественно иллюстрируется кривыми рис. 8.9, а — г; кривая 1 представляет собой функцию А,е "; кривая 2 — функцию А,е ~', результирующая («жирная») кривая получена путем суммирования ординат кривых 1 и 2. Для рис. 8.9, а А, «О, А~ «О; для рис. 8.9, б А, -: О, А, (О, 1А,1 «А,; для рис.
89, в А, «О, А, (О, ~ А,Д (А,; для рис. 89, г А, «О,А,(О, ~А ! =А,. щая колебании описывается кривой Ае ". Чем больше 6, тем быс трее затухает колебательный процесс; А и ~ определяются значени ями параметров схемы, начальными условиями и ЭДС источника ьо и 6 зависят только от параметров цепи после коммутации; ~о, называн)т угловой частотой свободных колебаний; 6 — коэффици ентом затухания, ф 8.22. Некоторые особенности переходных процессов. Как известно из предыдущего, полное значение любой величины (тока, на пряжения, заряда) равно сумме принужденной и свободной составляющих. Если среди корней характеристического уравнения есть комплексно-сопряженные корни р,, = — 6 .+-ую и значение угловой частоты свободных колебаний в почти равно угловой частоте ь источника синусоидальной ЭДС (источника питания), а коэффи.
циент затухания 6 мал (цепь с малыми потерями), то сложение принужденной и свободной составляющих дает колебание, для которого характерно биение амплитуды (рис. 8.12, а). Колебание (рис, 8.12, а) отличается от колебаний, рассмотренных в $ 7.14, тем, что здесь у одной из составляющих колебания амплитуда медленно уменьшается. Если угловая частота свободных колебаний ь точно равна угловой частоте источника синусоидальной ЭДС, то результирующее колебание имеет форму, изображенную на рис, 8.12, б.
Простейшим примером колебаний такого типа является колебание, возникающее на конденсаторе схемы рис. 8.13 в результате сложения принужденного У созе| и свободного — У е ~' созь| колебаний: У, = У (1 — е ~') созе|. Амплитуда результирующего колебания нарастает по экспоненциальному закону. При наличии конденсатора (конденсаторов) в схеме могут возникать большие начальные броски токов, в несколько раз превышающие амплитуды тока установившегося режима. Так, в схеме рис. 8.И при нулевых начальных условиях в первый момент после замыкания ключа напряжение на конденсаторах равно нулю и ток в неразветвленной части цепи равен 0 81пф/Й,.
Если ~ =90', то в Рис. 8.12 244 Рис. 8.13 Рис. 8.14 первый момент после замыкания ключа ток равен У /Й,. При размыкании ключа в индуктивных цепях возникают опасные увеличения напряжения на отдельных участках (см. $ 8.24). $ 8.23. Переходные процессы, сопровождающиеся электрической искрой (,дугой). Если переходный процесс вызывается размыканием ключа в электрической цепи, содержащей индуктивные катушки, то между его расходящимися контактами при определенных условиях может возникнуть электрическая искра (дуга). При этом расчет переходного процесса усложняется и, строго говоря, не может проводиться методами, изучаемыми в данной главе.
Объясняется это тем, что сопротивление электрической искры является нелинейной функцией протекающего через нее тока. В этом случае, если известна ВАХ дуги, для расчета переходных процессов могут применяться методы, излагаемые в гл. 16. Попытаемся выяснить, можно ли ожидать возникновения электрической искры при размыкании ключа в схеме рис. 8.15. До размыкания ключа в цепи был установившийся режим: Е 2Е . Ф~ ) Е 1(0 )= — ю(0 )=— й + 0,5Р ЗР' 2 Зд.' Допустим, что при размыкании ключа искра не возникает. При этом ток ц почти мгновенно уменьшается до нуля, а г(О+) должен равняться гЯ01 ).
Но каждый из токов (й и 6) по первому закону коммутации не может измениться скачком. Следовательно, между достаточно медленно расходя|цимися контактами ключа при определенных условиях можно ожидать возникновения электрической искры. Расчет переходного процесса в схеме на рис.8.15 дан в э 8.28. $8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые размыканием ветвей в цепях, содержащих индуктивные катушки.
При размыкаиии ключей в электрических цепях, содержащих катушки с большой Рис. 8.16 Рис. 8.15 индуктивностью, на отдельных участках могут возникать напряже ния, во много раз превышающие установившиеся. Напряжения, превышающие установившиеся, называют перенапряжениями. Они могут оказаться настолько значительными, что при определенных условиях вызовут пробой изоляции и выход из строя измерительной аппаратуры. Пример 79. К зажимам индуктивной катушки с й = 100 Ом; Е = 10 Гн подключен вольтметр (рис.
8.16). Сопротивление вольтметра Яг = 3000 Ом; Е =!00 В. Найти приближенное значение напряжения на зажимах вольтметра при ! =О+ если допустить, что размыкание ключа произойдет мгновенно и искры не возникнет Р е ш е н и е. До размыкания ключа через Е протекает ток ! = Е/й = 1 А В индуктивной катушке быЛа запасена магнитная энергия Е! /2. Если допустить, что .2 размыкание ключа произошло мгновенно и искры не появилось, и учесть, что ток через Е должен оставаться равным 1 А, то по замкнутому контуру, составленному вольтметром и катушкой, за счет запаса энергии магнитного поля индуктивной катушки в первое мгновение будет протекать ток в 1 А.
При этом на вольтметре возникнет пик напряжения 3 кВ, Прохождение большого импульса тока через вольтметр может вызвать перегорание катушки прибора и выход его из строя. При размыкании ключа с конечной скоростью между его расходящимися контактами возникнет электрическая искра.
Это приведет к тому, что увеличение напряжения на вольтметре будет меньше, чем в только что рассмотренном идеализированном случае, когда ключ размыкался мгновенно без искры. При более детальном рассмотрении процесса необходимо еще учесть влияние межвнтковых емкостей и емкостей на землю (см. $11.1). Если не учитывать возникновение искры, распределенные емкости и индуктивности, то приведенный расчет является грубым и носит иллюстрированный характер.
Чтобы не «сжечь» вольтметр в цепи рис. 8.1б, сначала следует отключить вольтметр, а затем разомкнуть ключ. Перенапряжения проявляются тем сильнее, чем больше индуктивность в цепях. Особенно опасны они в цепях постоянного тока, содержащих индуктнвности порядка единиц и десятков генри. В таких цепях при отключениях соблюдают специальные меры предосторожности (ключ размыкают после введения дополнительных резисторов в цепь).
$8.25. Общая характеристика методов анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. Расчет переходных процессов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих основных операций: 1) выбора положительных направлений токов в ветвях цепи; 2) определения значений токов и напряжений непосредственно до коммутации; 3) составления характеристического уравнения и нахождения его корней; 4) получения выражения для искомых токов и напряжений как функции времени.
Широко распространенными методами расчета переходных процессов являются: 1) метод, называемый в литературе классическим; 2) операторный метод; 3) метод расчета с помощью интеграла Дюамеля. Для всех этих методов перечисленные операции (этапы расчета) являются обязательными. Для всех методов первые три операции совершают одинаково и их нужно рассматривать как общую для всех методов часть расчета.
Различие между методами имеет место на четвертом, наиболее трудоемком этапе расчета. Чаще используют классический и операторный методы, реже— метод расчета с применением интеграла Дюамеля. В дальнейшем будут даны сравнительная оценка и рекомендуемая область применения каждого из них(см. ~ 8.56).
В радиотехнике, вычислительной и импульсной технике, электронике, автоматике и в технике, связанной с теорией информации, кроме этих трех методов применяют метод анализа переходных процессов, основывающийся на интеграле Фурье. (Об интеграле Фурье и спектральном методе, основывающемся на интеграле Фурье, см. гл. 9.) Для исследования характера переходного процесса, описываемого уравнениями высоких порядков, используют моделирующие установки, а также метод пространства состояний (см. 5 8.66). ф 8.26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
