Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Со знаком плюс в эту сумму ф~одят слагаемые ветвей, направление токов в которых совпадает г(„произвольно выбранным направлением обхода контура. 'е 2. При переходе от 1 = 0 до 1=0+ суммарный заряд~~~ д на обкладках конденсаторов, присоединенных к любому узлу после- коммутационной схемы, должен остаться неизменным. Если этого Ж выполнить, то суммарный ток„проходящий через конденсаторы, бмл бы бесконечно большим (стремился бы к бесконечности), бес~~вечно большими были бы токи и через другие ветви, присоединенные к этому узлу. Это также привело бы к нарушению второго закона Кирхгофа.
Пример 85. В схеме рис. 8Л5 до размыкания ключа был установившийся режим. Ов ределить ток в цепи после коммутации. 259 г) Рис. 6.25 Р е ш е н и е . Послекоммутацнонная схема рис. 8.! 5 имеет всего одни контур По первому закону (правилу) коммутации: Ь(0 )+ Цс2(0 ) =!(О+)(Е+ Е~); к(Оу-)=(!ЛЬ+ ЦИ(Хк(0 )+ А~!я(0 )]. Закон изменения тока при ! ~ ~0», если считать, что до коммутации был установившийся режим, 2й 3)т Е + Ея 2й~ На рнс. 8.25, а, 6 показан характер изменения токов для схемы рис.
8.15 в долях от Е/Я при Е = 31.2(ЕЗ в правой ветви). Пример 86. Определить закон изменения напряжений ис! и ис~ при замыкании ключа в схеме рис. 8.24. Р е ш е н и е. о схеме известны ис!(О ) = Е; иск(0+) = О. По второму закону (правилу) коммутации составляем одно уравнение (т. е. столько, сколько надо составить уравнений для послекоммутационной схемы по первому закону Кирхгофа): ис (О ) С!=и (О+)=(С!+ Сз). отсюда ес, ис (О+) = ис, (О+) = ис2 (О+) = с,+с При ! >О+ с ис=ис + ис ~р е я(с!+ Ъ.
! 2 о Характер изменения ис! и ис2 показан на рис. 8.25, а, г. л В заключение обратим внимание на то, что, допустив при переходе от 1 = О к 1 = О+ скачкообразное изменение токов через индуктивный элемент и скачкообразное изменение напряжений на конденсаторах, тем самым допускаем скачкообразное изменение энергии магнитного поля индуктивных элементов и энергии электрического поля конденсаторов. Суммарная энергия электрического и магнитного полей прн 1 = О+ всегда меньше суммарной энергии при 1 = О, так как част~ запасенной энергии расходуется на тепловые потери в резисторах искру при коммутации, электромагнитное излучение в окружаю щее пространство. 260 Прежде чем перейти к изучению основ второго метода расчета переходных процессов в линейных электрических цепях — операторного метода, вспомним некоторые известные положения. ~ 8.2Я.
Логарифм как изображение числа. Известно, что для выполнения операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из многозначных чисел целесообразно пользоваться лога рифм а м и. Действительно, операция умножения сводится к сложению логарифмов, операция деления — к вычитанию логарифмов и т. д. Таким образом, произвести расчет легче в силу того, что сравнительно сложная операция сводится к более простой. Каждому числу соответствует свой логарифм, поэтому логарифм можно рассматривать как изображение числа. Так, 0,30103 есть изображение (логарифм) при основании 10 числа 2. ф 8.30. Комплексные изображения синусоидальных функций.
С понятием изображения встречаются также при изучении символического метода расчета цепей синусоидального тока. Согласно символическому методу, комплексная амплитуда есть изображение синусоидальной функции. Так,1 — изображение синусоидального тока 7 яп (а 1+ ф). Между изображением числа в виде логарифма и изображением синусоидальной функции времени в виде комплексного числа имеется существенная разница. В первом случае речь идет об изображении числа (не функции), во втором — об изображении функции времени.
Подобно тому как введение логарифмов упростило проведение операций над числами, введение комплексных изображений синусоидальных функций времени позволило упростить операции над функциями времени (свести операции расчета цепей синусоидального тока к операциям, изученным в гл. 2). 5 8.31. Введение в операторный метод. Операторный метод тоже основан на использовании понятия об изображении функций времени. В операторном методе каждой функции времени соответстфет функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и наоборот — функции переменной р отвечает определенная функция ,в'рем е ни.
Переход от функции времени к функции р осуществляют с помьощью преобразования (прямого) Лапласа. Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов представляет собой метод расчета, основанный на преобразовании Лапласа. Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, а операцию интегрирования — к делению. Это облегчает интегрирование дифференциальных уравнений. 261 (8.25) Соответствие между функциями г(р) и Д1) записывают так: (8.26) Р(р) = 1Я. Знак «=» называют знаком соответствия. Верхний предел интеграла (8.25) равен бесконечности.
Интегралы с бесконечным верхним пределом называют несобственными. Если в результате интегрирования и подстановки пределов получают конечное число (не бесконечность), то говорят, что интеграл сходится. В курсе математики доказывается, что интеграл (8.25), в состав которого входит функция е ~'= е 'е ~"', сходится только в том случае, когда модуль функции Д1), если и увеличивается с ростом 1, то все же медленнее, чем модуль функции е~', равный е". Практически все функции Д~), с которыми имеют дело в курсе ТОЭ, этому условию удовлетворяют. Составим изображения некоторых простейших функций. ф 8.33. Изображение постоянной.
Требуется найти изображение функции Д~) = А, где А — постоянная величина. С этой целью, в (8.25) вместо ~(1) подставим А и проведем интегрирование: 1, Ае ~' А Р(р) =~А е "д8 = А — — ~ д(е ~) —— о о Следовательно, изображение постоянной равно постоянной, де ленной на р: (8.27) А ='А~р. ф 8.32. Преобразование Лапласа. Условимся под р понимать комплексное число Р=а+ )Ь, (8.24) где а — действительная, а уЬ вЂ” мнимая части комплексного числа (в ряде книг вместо буквы р пишут а). В дальнейшем в соответствии с установившейся практикой ко эффициент Ь с учетом знака условимся называть не коэффициен том при мнимой части комплекса (чем он в действительности является), а мнимой частью. Функцию времени (ток, напряжение, ЭДС, заряд) обозначают Д1) и называют оригиналом. Ей соответствует функция Р(р), называемая изображением, которая определяется следующим образом: ~ 8.34. Изображение показательной функции е"'.
Вместо Д1) в (825) подставим е '. 1 ~~~$ ~ — р1~~ ~ ~ — 1 (Р— а),п р — В о о ! х~е '~р ")с1~ — ~(р — а)1= — е "~р ') ~ = — — (Π— ))= —. о р — а о р — 6, р — а Таким образом, (8.28) Ы 6 р — а (8.29) е~"' = 1/( р — по) . Формула (8.29) дает возможность найти изображение комплекса синусоидального тока: Х е~М+ М = Х е~"~ С этой целью обе части (8.29) умножим на постоянное число 1: уь| (8.3О) '-Р-10» Аналогично, изображение комплекса синусоидального напря- жения (8.3! ) рте! .=Ут —..
м Р— 1~' Функции е "соответствует изображение 1/(р+ а). е — а1 ' ]/(р + о) (8.32) 58.35. Изображение первой производной. Известно, что функции Д1) соответствует изображение Р(р). Требуется найти изображение первой производной Щ1) /Й, если известно, что значение Функции Д1) при 1 = О равно ДО). Подвергнем функцию Щ1) /М преобразованию Лапласа. ~ — е Р' си =~е Р~ д[~(~)) чй Л о о ( При выводе формулы (8.28) (при подстановке пределов) было учтено, что действительная часть оператора р больше, чем а, т.
е. а ~а. Только при этом условии интеграл сходится. Из формулы (8.28) вытекает ряд важных следствий. Положив в ней а =~со, получим Следовательно, изображение второй производной тока ~ ~~ С вЂ” =' Р'~ (Р) — РУ-(О) — г (О) . й' ф 8.38. Изображение интеграла, Требуется найти изображение фуикции ~ У (У) д г, если известно, зто изображение функции ф) разово но Г(Р).
подвергнем фуикцию ~ с сУ) дг преобразоваиию лапласа: о 1 р — уу й Р„ 1Г(г) й 1(е "'). о Примем~~(Х) АХ =и; с)(е Р') =до и возьмем интеграл почастям: о с У'1+ о 1 ,1 (.— УУ) Р $У(1) й ~~(~) й о ~)'(~) е " й О Р (Р) 1 ис —— ис(О) + —.а и1с, с~ *о Первое слагаемое правой части при подстановке и верхнего и нижнего пределов обращается в нуль.
При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию Д1)(см. ~ 8.32) функция ~(1), если и растет с увеличени'ем 1, то все же медленнее, чем растет функция е"', где а — действительная часть р. При подстановке нижнего предела нуль получим за счет обращения в нуль~ ~ (1) Ж . Следовательно, если ~(У) = Г(р), то (8.36) т )г'(О дс.=у (р'гlр () ф 8.39. Изображение напряжения на конденсаторе. Напряжение 1 г. на конденсаторе и, часто записывакл в виде и = —,~пй, где не указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следувщая запись: где учтено, что к моменту времени 1 напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекшим через него в интервале времени от О до 1, но и тем напряжением и (О), которое на нем было 1г при ~ = О. В соответствии с формулой (8.36) изображение — ~!б! с1 о равно У(р)/Ср, а изображение постоянной и (О) есть постоянная деленная на р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
