Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Его определяют так же, как входное сопротивление для переменного тока, только !ы заменяют на р. Входное операторное сопротивление 1 Ср Р ! 1СЦ + Р(1-1 + ~РЯ + 11~ + 1~2 ~,„(р) = 1!1+ р!., + +— 1+Я С 1+ 1~ Ср а ср Следовательно, 274 е(р) е(р) (1 + ю,.ср) (8,48а) 2 ~,.(р) р'е, СР., + Р(е, + к р,с) + я, + л,' уравнение (8.48а) совпадает с уравнением (8.48). Найдем изображение!з(р). Сзтой целью выразим 1з(р) через !1(р) и операторные сопротивления второй и третьей ветвей.
Воспользуемся аналогией с переменным током. Для переменного тока 1~2 1з — — 1, 3 112+ 1/(!Щс) Следовательно, ~з(Р! = Р,(р)- — — - —— Если в последнее выражение подставить 1!(р) из уравнения (8.48а), то будет ,олучено уравнение (8.49). Таким образом, безразлично, каким способом составлять изображение токов: результат будет одинаков. (8.50) 1 Е(р)К2 ~ !ее(р) ~З(р) 2 Р )~2 ! + Р(п!)~2 + !) + )~! + )~2 ф 8.46. Изображение функции времени в виде отношения К(р)/М(р) двух полиномов по степеням р.
Для тока ~!!(р) в примере 89, если принять Е(р) = Е/р, то Л!(р) = Е(1 + Ю Ср); М(р) =(р~~,т.,С+рЯ,К,С+а,) +г, +К,1р. Если атом же примере принять е(1) =Е 81п(о!1+!р), то 4' 1 Е(р) =Е . и р — / И(р) =Е.(1+я,ср); М(р) = — (р — ~о! Нр Йз !-.! С + р(К !Я~С + Е!) + К! + ЙД. Обозначим высшую степень оператора р в полиноме Ж(р) через п, а высшую степень р в полиноме М(р) — через т. Часть корней уравнения М(р) = 0 обусловлена характером изменения во времени возмущающей силы, воздействующей на систему; остальные корни обусловлены свойствами самой цепи, ее конФигурацией и значениями параметров. Если исключить из рассмотрения сверхпроводящие электрические цепи, то во всех физически осуществимых электрических цепях при воздействии любых ЗДС всегда и ~ т.
Лишь для физически неосуществимых электрических цепей степень и может оказаться Равной т. Пример цепи, для которой степень п Равна степени т, дан на рис. 8.30. Если считать, что сопротивление проводов и внутРеннее сопротивление источника нулевые, то Е/р ЕСр Ф)= 1/(СР) Рис. В.ЗО Пример9О.Для схемы рис.8 29составить изображение наприжения на зажимах се, если считать, что начальные условия нулевые (как в примере 89). Р е шеи и е. Изображение напряжения на зажимах се равно произведени!о изображения тока Гз(р) на операторное сопротивление конденсатора: ф 8.47. Переход от изображения к функции времени. В $ 845 указывалось, что вторым этапом расчета переходных процессов с помощью операторного метода является переход от изображения к функции времени.
Эту операцию можно осуществить различными путям и. Первый путь состоит в применении формул соответствия между функциями оператора р и функциями времени ~. Часть формул соответствия приведена в ~ 8.39, В научной литературе имеются специальные исследования, содержащие большое число формул соответствия (1518), охватывающих все возможные практические задачи. Формулами соответствия рекомендуется пользоваться в том случае, когда среди корней уравнения М(р) = О есть несколько одинаковых (кратные корни). Второй путь состоит в применении так называемой формулы разложения. Формула разложения в ф 8.49 выведена, исходя из предложения, что уравнение М(р) =О не имеет кратных корней (при наличии кратных корней формула разложения записывается иначе — см.
ф 8.50). Третий путь — непосредственное применение формулы обратного преобразования Лапласа с использованием теории вычетов (см. ф 8.50). Формулой разложения широко пользуются на практике, и ее принято рассматривать как основную формулу для перехода от изображения к функции времени. Рассмотрим два примера на применение формул соответствия, а затем — после рассмотрения вопроса о разложении сложной дроби на простые — перейдем к выводу формулы разложения. Пример 91. В схеме рис. 8.31, а ток источника тока линейно нарастает во времени: у(1) = 2,51 А (рис.
8.31, б); Я = 40 кОм, С = 2 мкФ. Определить закон изменения во времени тока и через резистор Й. Р е ш е н н е. Изображение тока у(1) равно 2,5/р (см. соотношение 12 $ 8.39). Сопротивление параллельно соединенных Я, С и й г(р) = Изображение тока через Я у(р)Я(р) 2,5 1 Я Яср( +,)' где а = 1/(ЯС) = 12,5 с Рис. 8.31 Сш-ласно соотношении> 8 $8.39, 1 - ! ! = — — — (1 — е "), р~(р+ и) а и !!(!) = 2,5(! — 0,08(1 — е '2'~~)( А.
0(р) 100 !ОО 1 4р) (р + а)(р~- + 1~) ~(р + )(р + Ь)' 100 1 — = 2Ь А/с; Г = Р / 1. = 05 — а: 1(р) = 25 — — -. (р+ а)~ По соотношению 5 $ 8.39 = е ' . Поэтому !(!) = 25!е (р+ а)' Напряжение на 1.: и! —— ~= = 100е ' (1 — 0,51). — 0,5~ й При1= !с 1=25.1е ' = 15,15А;иа =100е 'а(1 — 0,5) =30,ЗВ.
ф 8.48. Разложение сложной дроби на простые. Из курса математики известно, что дробь А!(х) а„х" + а„,х" '+ ... + и,х+ ио М(х) Ь„х +Ь, '+... +Ьх+Ьо (8.5! ) .! при условии, что и ~ и и полипом М(х) = О не имеет кратных корней, может быть представлена в виде суммы простых дробей: й(х) 1 ! 1 — =А) + '!2 +... +А М(х) 'х — х, ах — х ~х — х ' (8.52) или В(х) ! — =~А М(х) ~- ~х — х„' Ф=! где ха — коР ни УРавнениЯ М(х) = О. 4ля определения коэффициента А, умножим обе части уравне- "иЯ (8.52) на (х — х,). В результате получим И(х) 1 — (х — х,) = А, + (х — х,)~'А„ (8.53) 277 Пример 92. В схеме рис. 8 31, в и(!) = 100е "~ В, где и = 0 5с ', й =. 2 Ом; А = =4 Гн. Найти ! = Д!) и и! — — Д1), а также значения ! и и, нри ! = 1 с.
Р е ш е н и е. Согласно соотношению 2 $8.39, функции е ш соответствует изображение 1/(р + а). Следовательно, и и(р) =; Я(р)=г+ р7.; !00 р + а Рассмотрим выражение (8.53) при х- х,. Правая часть уравне ния равна А„а левая представляет собой неопределенность, так как множитель (х — х,) при х-+-х, равен нулю и знаменатель М(х) при х = х, также равен нулю [х, есть корень уравнения М(х) = 0$. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой. целью производную от числителя разделим на производную от зна менателя и найдем предел дроби: (х — х,)Ж(х) аГ(х) + (х — х )Ф'(х) Ф(х1) где М'(х) — производная от М(х) по х М'(х) — значение М'(х) при х= = х,; М(х,) — значение Ф(х) при х = х,.
Следовательно, из (8.53) при х- х, получаем уравнение ' г Ф(х,)/М'(х,) = А „ (8.54) или А, = Ж(х,)/М'(х,). (8.55) 1 Аналогично, Аа = И(х )/М'(х ). Таким образом, у(х) йг(х,) 1 йг(хэ) 1 м(х~) 1 (8.57) М(х) М'(х|) х — х1 М'(х2) х — х2 М'(х,п) х — х,„ или М(х) Х М'(х,) х — х, Пример 93.
Найти коэффициенты разложения дроби 1/(х'+ 5х+ б). Р е ш е н и е. Корни уравнения М(х) = О: х, = — 2, хд — — — О М'(х) = 2х + 5; М (х1) = — 2-2 + 5 = + 1; М'(х2) = — 1; М(х~)=лГ(х2) = 1. По формуле (8.56), которую называют формулой разложения. А1 — — Ф(х1)/М'(х,) = 1/(+ 1) = + 1; А, = ж(х,)/М'(х,) = — 1. ф 8.49. Формула разложения. Переход от изображения Ж(р)/М~Р) к функции времени часто производят с помощью формулы — еМ, Ь~~р) ., йФх) (8.59) М(р) = ~,М(р,) Девая часть формулы является функцией р, правая часть— соответствующей ей функцией времени 1.
вывод формулы можно осуществить следующим образом. 11усть изображение какой-либо функции времени, например тока, др) = Ф(р)/М(р). Для получения тока как функции времени г(1) представим сначала М(р)/М(р) в виде суммы простых дробей — разложим !о(р)/М(р). С этой целью в формуле (8.58) заменим х на р: и(,) ~(р„) М(р) Е М'(р~) р — р~ й=! (8.60) с(1) = ~ —; — е Р!!'.
Е (8.61) М'(р,) Переход от изображения (функции р) к оригиналу (функции ~) с помощью формулы разложения (8.61) основан на том, что изобраМрд жение представлено в виде суммы простых дробей —,, а М'(р) р — р ' !~(р~) ригиналами их являются показательные функции —; — е М М'(р~) л!(р~) Число слагаемых , еМ равно числу корней уравнения М'(р ) М(р) =О.
Коэффициенты И(р,)/М'(р„) можно сопоставить с постоянными интегрирования дифференциального уравнения (уравнений) цепи в классическом методе расчета. Если среди корней уравнения М(р) =0 есть нулевой корень (Р = 0), то ему в правой части уравнения (8 61) соответствует слагаи о „м(о) м'(о) м'(о) емое, е"'=, . Слагаемое И(0)/М'(0) представляет собой составляющую искомого тока (напряжения), обусловленную постоянными вынуждающими силами.
Если постоянных вынуждающих ДИл в схеме нет, то й!(0) /М'(О) = О. Важно сделать некоторые замечания к формуле (8.61). 1. Формула разложения применима при любых начальных услов"ях и при любых практически встречающихся формах напряже"ия источника ЗДС или тока, воздействующего на схему. 279 Перейдем от изображения к оригиналу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
