Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Оригиналом левой части является ф). Оригинал правой части равен сумме оригиналов ее Слагаемых. Учтем, что множители Ж(р,)/М'(р„) у слагаемых суммы правой части (8.60) есть постоянные числа (не функции р(). Кроме того, функциями р в правой части являются только множители 1/(р — р,); им соответствуют функции времени вида е М [см. формулу (8.28)]. Поэтому 2. Если начальные условия не нулевые, то в состав Й(р) войдут внутренние ЭДС. 3. Если уравнение М(р) =О имеет комплексно-сопряженные корни, то слагаемые, соответствующие им в формуле (8,61), оказы ваются также комплексно-сопряженными и в сумме дают действи тельное слагаемое.
4. Если воздействующая на схему ЭДС синусоидальна. 1 Е яп(о>1 + >~) и изображение ЭДС взято в виде Е,„,, где комп р — >о> лексная амплитуда Е = Е е",то при использовании формулы разложения из правой части ее для перехода от комплекса к мгновен ному значению следует взять коэффициент при ~ (взять мнимую часть)'. В соответствии с этим внутренние ЭДС, которые появляют ся в правой части формулы разложения при ненулевых начальных условиях в цепях с синусоидальной ЭДС должны быть умножены на коэффициент ~. Умножить внутренние ЭДС на у необходимо потому, что только в этом случае наличие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой части от правой части формулы разложения.
В цепях с постоянной ЭДС внутренние ЭДС умножать на ~ не нужно. 5. Если воздействующее на схему напряжение синусоидально, то принужденная составляющая решения входит в число слагае- И(>>х) мых ~, е>~' и определяется корнем р =р».
Вычисление прие >и '(р~) нужденной составляющей в виде члена этой суммы, соответствующего корню р = ~о», для сложных схем в большинстве случаев более громоздко, чем непосредственное вычисление ее с помощью символического метода. Поэтому для сложных схем переменного тока принужденную составляющую рекомендуется вычислять символическим методом. С помощью формулы, подобной формуле (8.61), можно определять не только токи и напряжения, но и многие другие функци() времени: заряд конденсатора, скорость перемещения какого-либо тела механической системы и т. п.
Пример 94. Определить >ок йЩ н схеме рис. 8.>Ус >н>мо>цьк> формулы разло ке ния и сравни> ь с резуль1 атом решения классическим ме>одом (см. пример 80), если Е = ! 50 В; Я = Р>' = Рз = 50 Ом; С = ! 00 м кФ; ис(0) = 50 13. Р е ш е н и е. Составим послеком муз ационнук> онераторнук> схему (рис. 8.З2) имея в виду, что начальные условия ненулевые.
Бну>ренняя ЭДС ис(0)/р позноляе" учесть, что до коммутации конденсатор был заряжен до напряжения ис(0) ~оком Я поз1ому она направлена нстречно току/я(р). узел Осхемы заземлим. Ио1енциал уз>>" ! обозначим Ч >(р) и определим е> о по мс>оду узловых по>снциалоьч 'Мнимук>, а не действи>ельпук> час>ь из формулы разложения беру> попому "то заданная ЭДС Е а>п(Ы + >(>) есчь мнимая часть комплекса Е е >"п(см. гл.з)- 280 АМ Е 1 ис(о) — — + — ср Р~1 Р Ч~1(Р) = 1 1 — + ср+— %1 и' и 1~з По закону Ома для участка цепи с ЭДС, Π— ~,(р) + Е7р 71(р) = й1 После преобразований Рис.
8.32 1Š— ис(ОЯ~КзСР + Е р~(р) 71(Р)— р(~1~зСР + 1~1+ ~з) Ч(Р) 1Уравнение М(р) = 0 имеет корни ~1+ ~З Р1= Ои р = — 400 с ~РзС 18 йоэтому Я(Р1) = Е = 150; Ф(РЯ) = (150 — 50).50 100( — 400).10 ~+ 150 — 50. (Р) — и1~зср+ л1 + яз; и'(р,)=100;М(р,)= 100 Так как действующая в схеме ЭДС синусоидальна и изображение ее взято в виде 1 ьим . (Š— комплексная амплитуда), то в дальнейшем от правой части форму- Р /Ь1 Рл ль1 разложения следует взять коэффициент при мнимой части (см.
и. 4 $8.49), поэтому умножим внутреннюю ЭДС Ег(0) на !'. После небольших преобразований найдем Е +17-'(0)(р — 1 ) М(р) 7(р)— (Р— 1е )(й~+РЕ) М(р) 281 Ток в схеме рис. 8.18 87 150 ( — 50)е что совпадает с результатом примера 80. Пример 95. Найти 1(1) в схеме рис. 8.19 путем применения формулы разложения сравнить рузультат с результатом решения той же задачи классическим методом См. пример 81)- Р е ш е н н е. Изображение синусоидальной ЭДС 127 з1п (3141 — 50 ) Е(Р)=Е ., где Е =127е 1 В. 1 Р— !~в н,, В схеме ненулевые начальные условия: 7(р)(Кд+р!.)=Е(р)+И(0) 1(0 )= — 25,35 А. Следовательно, МЙ=Е +1И(0)(р — М; М(р)=(р — 1о4К~+рЦ. Уравнение М (р)=0 имеет корни р,=уьс ~ и р~ — — — й~/Е= — 210с ~, поэтому М'(р)=К +рЕ(р — 7ш)' М'(р,)=2+31'=3,61е) М'(р )= — 36!е1~ ®=3,6!е П~ ~; И(р!)=!27е И(р2)=127е ) +у( — 210 — 1314) — ( — 25,35)=5,4 — у46,4=47,1е Ток 127 !!Он — ВО') 47 1е — !83'24' е 3,61е~"в ~о 3,61е ! эз 4о 1(!)=1тп =35,2з!п(ь| — 106'20')+13,1з!п40'16'е ~®' А; 13,1в!п40'16'=8,45 Результат совпадает с результатом примера 81, Функция Е(р) аналитична в области Ке р > ч и стремится к нулю при ~ р ~-+ оо.
При практическом использовании этой формулы интеграл по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюсы функции Цр): (6) 1(!)= —. $ Е (Р)ер'дР Полюсами называют значения р, при которых Е(р) обращается в бесконечность. В том случае, когда Е(р)=й(р)/М(р), полюсами являются корни уравнения М(р)=0. В теории функций комплеин ного переменного доказывается, что правая часть формулы (б) равэ на сумме вычетов (Кез) подынтегральной функции во всех ее полюсах, т. е. ~Л вЂ”,ф Р(р)ер др=~~~ Кеэл(р)ер. 1 р1 зи 2л/ Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, 4 которую уменьшается разделенный на 2щ контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот по А!(р) Йрь) р, люс. Но вычет функции — ел' в простом полюсе р, равен —, е".
М(р) М'(рь) ф 8.50. Дополнения к операторному методу. 1. Для перехода от изображения Е(р) к функции времени Д1) может быть использовано обратное преобразование Лапласа: ~+М (а) П1) = —. ~ Р(р)еР')р 2л) Поэтому Ф(М д1)= 1 — ерш!. Е М(р) )а — ! Р=рр Ж(р)(р — р,)'ер' М(р) й(р) .,', й(Р,) М(р) ° ~ М~(р (г 1)! 1 г — ! й=! Л!(Р)(р — р,)'ер' М(р) й(р) ! Пример 96. Найти оригинал М(р) Р (р+а)' !1'(Р) р! ! — а! Р е ш е н и е.
Корню р= — а соответствует оригинал, е = — е М (Р)р= — а а корню р=о второй кратности — оригинал Рйр! ] 1 еР! г!Р Р+ а р=о р=о Р'(Р+ а) р о а а 2 1-еа1 1 следовательно, —.' ° + р2» + а) а~ а а2 5 8.51. Переходная проводимость. В $2.15 указывалось, что ток ьвлюбой ветви схемы может быть представлен в виде произведения напряжения У на входе схемы на собственную или взаимную проводимостью. 1= уд. При переходных процессах это соотношение также имеет силу.
~сли на вход какой-либо цепи в момент 1 = 0 включается постоянное напряжение У (ЗДС Е), то ток!(1) в любой ветви этой схемы Равен произведению постоянного напряжения У на проводимость Ф): Ц) = Уд(1). (8.62) При переходном процессе проводимость является функцией ~ремени, поэтому в скобках указывается время 1; д(() называют Таким образом, используя обратное преобразование Лапласа, вывели формулу разложения (8.61).
2. Запишем формулу разложения при наличии кратных корней. Положим, что уравнение М(р) =0 имеет д простых корней (р„р„..., )у ), корень р, кратности г и корень р, кратности з. Тогда 4 Рис. 8.33 переходной проводимостью. Она измеряется в тех же единицах (См), что и обычная проводимость. Если в формуле (8.62) принять У = 1 В, то ~® = д(~), т. е. переходная проводимость какой-либо ветви схемы численно равна току ф) в этой ветви при подключении цепи к источнику постоянного напряжения в 1 В.
Индексы у д(1) указывают на то, какую именно переходную проводимость имеют в виду. Если индексы одинаковы, то имеют в виду собственную переходную проводимость ветви, номер которой соответствует цифре, указанной в индексе; если индексы разные, то — проводимость между теми ветвями, номера которых указаны в индексе. Например, если источник постоянного напряжения У при нулевых начальных условиях включают в первую ветвь, то ток первой ветви ~, (1) = (/дп (1), а ток третьей ветви Кз ( К) = (/аз! (К).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
