Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 56
Текст из файла (страница 56)
8.43, б). В полученной резистивной схеме один из узлов заземлим. Составим уравнения по методу узловых потенциалов и определим потенциалы незаземленных узлов. В рассматриваемом примере не заземлен всего один узел а. Поэтому (~, + У) + (и /Я) ~Р 1/Я вЂ” (~~ + 1)Я+ ис. По известным потенциалам узлов рассчитаем напряжения на источниках тока А~Й„/Й, эквивалентирующих индуктивные элементы Е„, и токи ~ = С бис /Й через источники ЭДС, эквивалентирующие емкостные элементы емкостью С Для первой ветви схемы рнс.
8.43, б Й~ Ч> =('~+ 1)й+ ис= Е с1К ь а ! с— Отсюда Й1 2Й . "с Е И вЂ” — — — — + — — — 1 Й Ь ' Ток второй ветви ~, можно определить по первому закону Кирхгофа или по закону Ома для участка цепи с источником ЭДС: бис ~р ис ('~ + ~)~ + ис — ис =С Й Я И (, + Х. Следовательно, ди /Ж =[г1/(.") +(У/С). Таким образом, уравнения переменных состояния для послекоммутационной схемы рис. 8 43, а таковы: 2Я.
1 1 — = — — ! — — и + — Š— — 7 б7 1.! Ьс 1!ис 1 . ! — = — ! +О и +О.Е+ — 7, а С1 'с С' или [х) = [М][х]+ [У][а), где[х]= 1х1= [ 1 — 0 С [Ф] = 3 Составим уравнение для определения характеристических чисел Х: де1([М] — Ц1) ) = = О. — 4 — А — 1 1 — Х Таким образом, Х + 4Х+ 1 = 0; Х! = — 0,27; Х2 = — 3,73 с 1. По формуле (8.72), — 4 — 1 10 + 3,73 [М) — Я1) — 0,078 — 0,2891 А1)- Х 3,46 0,289 1,077~ ' [М] — Ч1) [ 1.077 0 289] Х вЂ” Х! ~ — 0,289 — 0,078! По формуле (8.69), "1 [,-оп~1А ~+,— з,тз~1А 1)[~б1 +![е-'™-1 И,1+ а-"8~'-*~ 1А,!),' Выполнив подсчеты, получим 1+ 076е — од71+076е-з7з1А.
2 8 — 0,271 0 2 — 3,731 В 303 1 !т 1. Ь 1 0 С 4ц 1И бис Ю Если за выходную величину у принять напряжение и,»» между точками д и», то [ии»] =[ — й — 1) + [10! (8.75) [х) = [М) [х) для» % т, где т — постоянная величина, найдем по аналогии с решением скалярного диффе ренциального уравнения х тх, х = е [ х(т), в виде [х„(»И = е[ [[ '1 [х„(тИ. (8.?6) Подставив (8.76) в (8.75), убедимся в справедливости решения однородного уравнения(8.75).
Функцию е[ [ обозначим [~р(»И, а е[ [[ '1 = [~р(» — тИ. Так как [М)2»2 е[з»1» = [1) + [М)» + + ..., то [ср(ОИ = [1). В соответствии с методом вариации произвольных постоянных частное решение неоднородного уравнения представим в виде [хч(»И = [<р(» — тИ [и(»И [х(тИ. Общее решение [х(»И = [ч(» — тИ [х(тИ+ Ь(» — тИ [и(»)! [х(тИ = Ь(» — тИ [11+ [и(»)] [х(тИ = = [р(» — т)ПФ»И. где»»(») нужно определить. Подставим (8.?7) [ (»И =[р(» — тИРФИ в уравнение (8.67): [[р(» — тИ вЂ” [М) [р(» — тИ) [й(»И+ [ р(» — тИ [Ю] = [й»1 [х]. (8.?8) Поскольку[~р(» — тИ есть матрица, столбцы которой являются решением уравнения (8.75), то первый член выражения (8.78) — нулевая матрица.
Следовательно, И(»И =[р(» — тИ '[Ч[4. (8.79) Проинтегрируем (8.79) от т до»: И(»И — Ю(тИ = ') [ р() — тИ '[»[[И !Ю. т (8.8О) Из уравнений (8.77) и (8.80) следует Ь(» — т)Г! [х(»И =! р(ОИ ! [х(тИ + У р(К вЂ” тИ 'М [4ХИ Ю, (8.8[) но [<р(ОИ = [! ). Умножая (8.81) слева на [~р(» — тИ н учитывая, что [ч(» — тИ[(рЄ— тИ вЂ” [ = с[~[[с — т[е — [~[[~ — т) = е[ ](У вЂ” Ч = [,р(» Ц) получим [х(»И=[Ф вЂ” И[х( И+~ М вЂ” ЧМ[Ф)ИХ. (8.82) Поясним переход от (8.67) к (8.69).
Решение неоднородного уравнения (8.67) можно получить в виде суммы полного решения однородного уравнения н частного решения неоднородного. Полное реше ние однородного уравнения Полагая н (8.82) т = О и заменяя затем переменную Х на т, получим формулу (8.69). ф 8.64. Дополняющие двухполюсники. Два двухполюсника, содержащие элементы й, Е, С, называют дополняющими, если входное сопротивление при их последовательном (параллельном) соединении оказывается чисто активным, не зависящим от комплексной частоты р.
Так, двухполюсник из параллельно соединенных Е и й~ и двухполюсник из параллельно соединенных С и й, (рис. 8.44, а) являются дополняющими при их последовательном соединении и выполнении условия й, = й =й =~/Х/С. Двухполюсники Р,, С и й,, ~. при их параллельном соединении (рис. 8.44, б) являются дополняющими при том же условии. Элементы двух дополняющих двухполюсников взаимно дуальны. Элементам Е,, С,, Я, одного соответствуют такие дуальные элементы С, Л~, Я дополняющего, что произведение сопротивлений двух взаимно дуальных элементов должно быть равно Й2, где Я— произвольное активное сопротивление.
Последовательное соединение Е, и С, в исходном двухполюснике заменяют на параллельное соединение С, =~,/й' и А,=С,Р' в дополняющем. Параллельное соединение С, и Е, в исходном двухполюснике заменяют на последовательное соединение Е, = С,й~ и С, = Е,/й' в дополняющем. $8.65. Системные функции и понятие о видах чувствительности. Системные функции Н(р) — это обобщенное название функций, характеризующих четырехполюсник. Ими могут быть, например, пеРедаточная функция напряжения ~,(р)/У,(р), передаточная функция тока У (р)/Чр) и т.
и. Если какой-либо параметр (й, Е, С) в схеме четырехполюсника изменяется, то изменяются модуль и аргумент системной функции и можно говорить о чувствительности системной функции к изменению этого параметра. Под классической чувствительностью понимают отношение относительного изменения функции ЛН(р)/Н(р) к относительному "зменению параметра лх/х 5„~Р~ =!пн —:— ях х дИ(р) О ' х Ц(р) дх 305 Из(б) ип1 (|) = Е, из(г) ис|(0+) = С~Е/(С1+ Сз); далее решаем (в) классическим или операторным методом, имея в виду, что ив+(|) = и~~+(|).
В результате получаем тот же ответ, что и в примере 86 $8 67. Интеграл Дюамеля для огибающей. Положим, что на вход четырехполюсника, имеющего переходную функцию Ь(|), воздействует сннусоидальное напряжение единичной амплитуды и1(|) = 1з1пы| = 1гпе|" . Тогда, используя формулу интеграла Дюамеля, определим: напряжение на выходе четырехполюсника: (а) Здесь а(о), |) = 6(0) + $ й'(т) е | ~дт = т(гв, |) + |п(ь, 1) = д(|в, |) е|т<"'~>, (б) о где а(ь, 1) — огибающая выходного напряжения при воздействии синусоидального н1(|).
Воздействуем на вход четырехполюсника амплитудно-модулированным сину- соидальным напряжением и1(|) = 1гпфУ~(|) е~~~) и определим (В) где А(в, |) = а(е, 0)(l,„(|) + )и'(а, т) ~l„,(| — т)дт; о А(м м. |) — огибающая выходного напряжения.
Формулу (г) называют интегралом '|(юцнеля для огибающей, она позволяет, не вдаваясь в мелкие детали, выявить "а"Роструктуру переходного процесса. (Г) 307 нс1 = нс| — (|) 1( — |) + исч (|)1 (|) + б(|Инс1(0+) — нс~(0-И иса = исз — (|)!( — |) + «си+(|)1(|) + Ь(|Ии~фО+) — ис2(0 В Е = Е1( — |) + Е1(|). Коэффициенты при 1( — |), 1 (|) и б(|) дают три уравнения: Р(с,ис,+(|)+ С2исз (|)1+ ио (|) = Е; й (С|ис1+(|) + Сзйсд+(|)1+ ис,+(|) = Е; иДО+)(С1+ Сз) = С1ис|(0 )+ Саис2(О ). и (|) = 1гп ~(6(0) + $ й'(т)е ~"' дт) е~"'~ = !го~а(оз, |) е~"|~.
о и2(|) = 1гп ( [й(0)1/ (|) + ) |г'(т)1|„(| — т) е |"'г!т1 е| '). о ° Учтем, что ' = Ь'(т)е '"" = а'(и, т) и Ь(0) = а(ь, 0). Тогда да(о), |) б| из (|) = 1гп (А(в, |) е|" ~, (б) (в) (Г) Пример 108. Определнм огибающую тока в цепи, когда на вход последователыю соединенных Р н Е воздействует напряжение и1(1) = Из! псо1. Вместо Ь(1) нспользуе„, 1 Я д(1) = — (1 — е ~ ). В соответствии с формулой (б) й 1 а(ь, г) = д(0) + ~ д'(т) е '"'дт =, !1 — е ч'1; д = — + уы. 1? + уют о — дт Учтем, что д(0) = О, а'(о, т) = — е ~', 13 ~(1 — т) = я(1 — т). Огнбающая тока в цени по формуле (г): И.
„И. А(ь, г) = — (1 — т)е — ~'дт . + . 2 (е ~~ — 1) = э Х + уыил„(!? + ° ц2 1?2+ ( ц)2 Ю )- И Ф Х вЂ” + е ь соз(Ы+2гр) — соз2~р + ~Ы+е ~- з!п(Ы +2~р) — з1п2ц~ е Й"4. Н ь| + е яп(со!+ 2гр) — яп2~р <д~ р(ы, |) = агс1ц Я~ — Ю ; ~р = агс16 —. — + е ~.
сов(ь| + 2~р) — соз2~р Вопросы дпя самопроверки 1. Дайте определение переходному процессу. 2. Что понимают под принужденными н свободными токами н напряженнями? 3. Сформулируйте законы (правила) коммутации.4. Дайте определение зависимым н независимым начальным условиям. 5.
Какие вы знаете способы составления характеристического уравнення. 6. Объясннте„почему прн составлении характеристического уравнения путем прнравннвання нулю входного сопротивления 2(р) = И(р)/М(р) в общем случае нельзя сокращать числитель и знаменатель дроби на общий множитель. 7. Чем определяется число корней характеристического уравнения? 8. Изложите сущность классического метода расчета и принцип составлення уравнений для определения постоянных ннтегрнровання. 9.
Переходный процесс в некоторой цепи сопровождается биениямн. О чем это может свндетельствовать? 1О. Дайте обоснование обобщенным законам коммутации. 11. Запишите известные вам соотношения между Д1) и Р(р), а также теоремы операторного метода н предельные соотношения. 12. Почему р называют комплексной частотой? 13. Охарактеризуйте этапы расчета операторным методом- 14. В чем особенности расчета переходных процессов операторным методом прн сннусондальном источнике н ненулевых начальных условиях? 15. Охарактеризуйте свойства единичной функции 1(1) н свойства дельта-функции б(1). 16. Определите переходную н импульсную переходную проводимости (сопротнвлення) н функцнн. Укажите, с какой целью они используются.
17. Охарактеризуйте идею расчета с помощью интеграла Дюамеля. 18. Прокомментируйте известные вам формы записи интеграла Дюамеля. 19. Какими способами можно определить отзвук системы когда на нее воздействует импульс напряжения нлн тока? 20. Поясните прннцн" работы интегрирующих и днфференцнрующнх цепей. Запишите условия, прн кото рых этн цепи выполняют свои функции. 21. Чем следует руководствоваться пря формировании дополняющих двухполюсннков? 22. Поясните идею расчета переход ных процессов с помощью обобщенных функций. 23. Перечислите основные этапы расчета методом переменных состояния. 24.
Как составляют уравнения переменны" состояния путем сведения послекоммутацнонной схемы к чисто резнстнвной? 25. Охарактеризуйте сильные н относительно слабые стороны известных вам методов н? расчета переходных процессов. 26. Что понимают под снстемнымн функциям". Рнс. 8.45 Рис. 8.46 — + Какие виды чувствительности системных функций вы знаете? 27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
