Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В остальной области частот 5(в) = О. Определите энергию, выделившуюся в резисторе? (Ответ: 400 Дж). 8. Что понимают под полосой пропускания реального четырехполюсиика? 9. Определите полосу часьтот, занимаемую прямоугольным импульсом длительностью 1 мкс. (Ответ: 6,28.10 рад/с.) 1О. Чем руководствуются прн составлении укороченных схем четырехполюсннка при исследовании деформации фронта и вершины проходящего через него короткого импульса? 11. Определите влекущий спектр 5,(ув) функции у(у) = е ~, полагая, что у(у) = 0 при у(О. (Ответ: — (я+ уех 1 .))а Помер м р е ~ю~~ ф,а~у~в а)1)= — 1ш~~нЮ.)Р.П.
а+ ув 2п ' кажите, что спектр б-функции равен 1. 14. Покажите, что если функция у(У) имеет спектр 5(ув), то спектр функции ау(аУ) равен Я(у — ).15. Покажите, что если сига нал з(1) представляет собой амплитудно-модулированное колебание (У(1 + + тз!пЖ)з!пву, то при в ~~0 сопряженный сигнал в (у) м !у(1 + упз!пйу)савву.
16.0прелелл а~~окорреланно у функп~~~ра~оу~оле огос г~алаХ1).р с.р.!бв. !Ответ: й(т)=А ~У„(1 — Ц И Глава десятая СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ $10.1. Характеристика синтеза. Синтезом линейной электрической укрепи называют определение структуры цепи и числовых значений составляющих ее элементов й, Е, С по известным операторным или ('аременнйм характеристикам этой цепи при воздействии на вход напряжения определенной формы.
Одному и тому же операторному выражению, принятому в качестве исходного при синтезе, может соответствовать несколько различных схем разной структуры. По,этому, после того как получено несколько решений, выбирают из „,них наиболее подходящее. Чаще всего критериями при окончатель- ном выборе схемы являются стоимость, габариты и масса устройства, а также чувствительность при изменении того или иного параметра схемы. Задачи синтеза ставят и решают в теории сложных фильтров, в теории корректирующих контуров в автоматике, связи, радиотехнике, а также в кибернетике при создании предсказывающих и сглаживающих устройств. Синтез развивался главным образом по двум направлениям: 1) известным операторным функциям (по Х(р) для двухполюсников и передаточной функции для четырехполюсников]; 2) временнйм хаРактеристикам, т. е.
по известному временно'му отклику системы "Ри воздействии единичного напряжения. Эти два направления взаимно дополняют и развивают друг дру га. В настоящее время наибольшие результаты достигнуты на пер вом из упомянутых направлений. В ф 10.2 — 10.9 даны основные сведения о синтезе цепей по за данной операторной функции (более полно об этом см., например 131). Методика синтеза цепей по заданным временнйм функциям здесь не рассматривается (для ознакомления с ней следует обра титься к специальным руководствам).
В теории автоматического регулирования распространен синтез основанный на использовании логарифмических частотных характеристик, в импульсной технике подбор параметров электронных и по лупроводниковых схем, т. е. в известном смысле синтез этих схем, производят„используя спектральный метод, рассмотренный в гл. 9. ф 10.2. Условия, которым должны удовлетворять входные сопротивления двухполюсников. Если представить входное сопротивление двухполюсника в виде отношения двух полиномов, расположенных по убывающим степеням оператора р, щ) а„р"+а„~р" + ... + а1р+ а Ир) = —— ® ~~тр + ~~пу — ~р + "' + ~!р + ~~0 то должны выполняться следующие пять условий: 1) все коэффициенты а и 0 в числителе и знаменателе должны быть неотрицательны (в дальнейшем будет ясно, что условие 1 вытекает из условия 3); 2) наивысшая (наименьшая) степень полинома числителя (п) не может отличаться от наивысшей (наименьшей) степени полинома знаменателя (и) более чем на единицу; 3) если условиться значения р, при которых Х(р) = О, называть нулями функции Е(р), а значения р, при которых 2(р) = о, — полюсами Х(р), то нули и полюсы должны быть расположены только в левой части плоскости р; 4) нули и полюсы, расположенные на мнимой оси плоскости р, должны быть только простые, не кратные; 5) если вместо р в выражение Х(р) подставить |ь, то при любом значении о должно быть Ке2(~ь):.:О.
Поясним эти требования. Из ~ 8.11 известно, что свободные процессы описываются слагаемыми вида А~е~к' и обязательно дол жны затухать во времени; р, — корни уравнения 7(р) = О. Но зату хать свободные процессы (слагаемые вида А,е'к') могут только в том случае, когда действительная часть р„отрицательна. Отсюда сле дует, что нули уравнения Х(р) = О должны обязательно находиться в левой части плоскости р. Поскольку каждому планарному двухполюснику соответствует дуальный, а входная проводимость дуального двухполюсника у(Р)= = 2(р)/К где й — некоторый коэффициент, имеющий размерност~ 328 рм в квадрате (см.
ф 3.43), то входное сопротивление дуального двухполюсника равно Й/Х(р). Нули дуального двухполюсника, являющиеся полюсами исходного, также должны быть расположены в левой части плоскости р. Из курса математики известно, что если имеются два кратных корня уравнения М(р) = О, то соответствующие им слагаемые в решении берут в виде (С, + С21)ер'.
Если допустить, что на мнимой оси могут быть два кратных корня р = у~), то соответствующая им свободная составляющая (С, + С 1)е ~Р нарастала бы до бесконечности, чего физически быть не может. Коэффициенты а и Ь в числителе и заменателе Е(р) должны быть положительны. Если бы это условие нарушилось, то на основании леммы„вытекающей из теоремы Гурвица (см. $ 17.2), среди корней уравнения Е(р) = О появились бы корни с положительной действительной частью. Поясним, почему степень и не может отличаться от степени более чем на единицу.
Допустим, что степень т больше степени и на два. Тогда р-+-оо является нулем второй кратности для 2(р), а то, что происходит при р — 4-оо, можно считать происходящим на мнимой оси плоскости р (мнимая ось простирается в бесконечность). Но тогда на мнимой оси получается кратный корень„ чего быть не может. Проведя такое же рассуждение для дуального двухполюсника, убедимся, что степень п не может быть больше степени т более чем на единицу. Если в Х(р) вместо р подставить у4о, то К(уь) будет представлять собой комплексное сопротивление двухполюсника в установившемся синусоидальном режиме при частоте ь, а КеУ(~4о) — действительную часть входного сопротивления.
В том случае, когда двух' полюсник содержит резистивные сопротивления, его КеХЦсо).- О(он потребляет активную мощность 12КеЕ(/со)]. Если же двухполюсник ' чисто реактивный, то КеХ((ь) = О. В общем случае для пассивного двухполюсника всегда должно быть Ке7(у4о)~О. В литературе по синтезу цепей иногда пользуются термином «положительная действительная (вещественная) функ1(ияъ. Под ней понимают функцию: 1) действительная часть которой положительна, если положительна действительная часть р; 2) действительная при действительном (не комплексном) р.
Поскольку Х(р) этим свойствам удовлетворяет, оно является положительной действительной функцией. Пример 11!. Задано несколько выражений вида Ф(р)/М(р). Выяснить, могут ли ови представлять собой входные сопротивления некоторьи двухполвсников: Бр — 6 20р + 12р + 6 2+12„+2' 12 4+6 3+12 2 329 Зр'+ р+1 Р~+Р +Р+1 .4) (Р + 1) (Р2+ 1) Р е ш е н и е. Первое выражение не может представлять собой Х(р), так как один из коэффициентов в числителе отрицателен.
Второе и третье выражения также не могут представлять собой Е(р): второе потому, что максимальная степень р в знаме нателе больше максимальной степени р числителя на два, третье потому, что 2)(1 2 2) ар+1+ ) 2)2(1 + 2) з+ а+ +1 ф 10.3. Реализация двухполюсников лестничной (цепной) схемой. Познакомимся с понятием непрерывной дроби. Непрерывной называют дробь вида 1 о+ Ь+ с+— Ы+... Входное сопротивление или входная проводимость лестничной (цепной) схемы по типу рис. 10.1, а, в которой продольные сопротив- при значениях ь от 0,707 до 1 отрицательно. Четвертое выражение всем требованиям удовлетворяет и потому может представлять собой Х(р) некоторого двухполюсника Кроме названных общих свойств перечислим свойства Я(р) двухполюс ников, состоящих только из й и С, только из й и Е и только из Е и С. Двухполюсники типа ЯС и йЕ имеют чередующиеся простые нули и полюсы на отрицательной вещественной оси плоскости р.
Для йС-двухполюсников ближайшей особой точкой к началу координат является полюс, в бесконечности полюс отсутствует. Для двухполюсников типа й1 ближайшей к началу координат особой точкой является нуль, при р = 0 полюс отсутствует. Двухполюсники типа ЬС имеют чередующиеся простые нули и полюсы на мнимой оси.
Степени полиномов числителя и знаменателя отличаются на единицу. Нули и полюсы 7(р) можно изобразить условными значками из комплексной плоскости, скажем, нули кружками, полюсы крестиками. Полученную картину называют картой нулей и полюсов. Эта карта наглядно характеризует частотные свойства двухполюсника и реакцию его при воздействии единичного напряжения. По расположению и количеству нулей на ней можно определить число апериодических и колебательных компонент, которое содержит свободная составляющая, и быстроту затухания той или иной из них во времени. Чем ближе к мнимой оси расположены нули, тем медленнее затухает соответствующая им свободная составляющая.
Существует несколько способов реализации двухполюсников по заданной Х(р), удовлетворяющей перечисленным в ф 10.2 условиям. Три основных способа реализации рассмотрены в ф 10.3 — 10.5. Рис. 10.1 ления названы Х„Е,, 7,, ..., а поперечные проводимости — У2, У„У6, ..., могут быть представлены непрерывной дробью Для того чтобы убедиться в этом, проделаем небольшие выкладки. Найдем входную проводимость правой части схемы по отноше- 1 нию к зажимам тп. Она равна . Суммарная проводимость 2~+1/ 1'6' правой части схемы по отношению к зажимам тп с учетом ветви с 1 проводимостью У4 равна У4+, .Входное сопротивление по от- 5+ 6 ношению к тем же зажимам 1 4 У +1/У (10.2) 331 Входное сопротивление всей схемы равно 1 Х)+ У2+ ~з+ У+ 7~+1/Уб Таким образом, возникает задача о переходе от (10.1) к (10.2), т е.
задача о последовательном упорядоченном определении элементов лестничной схемы (Я„Х,, ...,; У2, У4, Ув, ...) по выражению (10 1). С этой целью: 1) располагаем полиномы И(р) и М(р) по убывающим либо по возрастающим степеням р; 2) делим многочлен на многочлен, следя за тем„чтобы в процессе деления получались положительные (не отрицательные) слагаемые и чтобы они не содержали р в степени больше 1 и меньше — 1; 3) учитываем, что если в процессе деления возникнет необходи мость перейти от расположения полиномов по убывающим степе ням к расположению их по возрастающим степеням, то эта опера ция вполне допустима.
При делении полинома Ф на полином М будет получено частное Е, и остаток О,/М, т. е. М 01 1 г= — =к,+ — =к,+ —. и и и/о,' При делении М/О будет получено частное У, и остаток Оз 1 01 6з . Но — = Я + — = Яз+ —. Поэтому О, О,/Оз Оз Оз Оз/Оз М 1 — = Уз+ 01 02/ ОЗ На основании изложенного процесс последовательного определения элементов можно представить следующей схемой: Оз 7504 Пример 112. Определить параметры лестничных схем, для которых р4+9р +8 Я(Р) = з, РасполагаЯ сначала пРи делении полиномы по Убывающим, а рз+зр затем (для реализации второй схемы) по возрастающим степеням р. Как будет видно из дальнейшего, в процессе деления в обоих случаях не возникнет необходимости в переходе от расположения по убывающим к расположению по возрастающим степе ням р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
