Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Четырехполюсник для амплитудной коррекции. Схема четырехполюсника„осуществляющая амплитудную коррекцию, изображена на рис. 10.11. Корректор нагружен на резистор сопротивлением Я, входное сопротивление его также равно Р. Сопротивления 2, и 7 взаимно обратны (7,7 =тг~). Постоянную передачу ~=а+уЬ (см. $ 4.10) в этом случае определяют по формуле еа = еа+и 1+~ ур Так как ~е~ь~= 1, то е' = ~1+7, /Р~.
Последняя формула связывает параметры схемы рис. 10.11 н частоту а с затуханием а. В зависимости от того, что представляет собой сопротивление Х,, характер зависимости и = ~(со) оказывается различным. В качестве примера на рис. 10.!2, а — а изображены четыре схемы с различными 2, и Х, и графики соответствующих им зависимостей.. Схему амплитудного корректора выбирают в соответствии с той зависимостью а = фо), которую необходимо реализовать. Параметры схемы корректора (например, сопротивление И,, емкость конденсатора С, для схемы рис. 4.12, а) определяют путем совместного решения системы уравнений„полученных приравниванием модуля величины~1+Я, / Язначение е" при фиксированных значениях частоты ь.
Уравнений составляют столько, сколько в У, неизвест"ых параметров. Уравнения имеют вид ) 1+7, / Я ~ = е'"~1; ~ 1+7, / Я ~ „, = е'"2', ... 345 1 х а/ Рис. 1ОЛ 3 Частоты го,, оэ2, ... выбирают дли характерных точек зависимости а = ~(го) либо через равные интервалы. ф 10.10. Аппроксимация частотных характеристик. Аппроксимация — это приближенная замена заданной частотной зависимости другой частотной зависимостью, которая точно совпадает с заданной в ограниченном числе точек, отклоняется от нее в допустимых пределах вне этих точек, давая в то же время физически реализуемую функцию. Например, кривая ~ К(/о>)~ рис.
10.13, а — это частотная характеристика идеального фильтра НЧ ~ К(1х) ~ = 1(х), где К(/х) — передаточная функция; х = ы / ~ос, где ыс — безразмерная величина, равная частоте среза. В диапазоне изменения х от О до ! ~К(ух)]= 1; прн х~1~КЦх)~ = О. Пунктирная кривая 1 рнс. 10.13, б повторяет кривую рис.!0.13, а, кривая 2 характеризует гладкую аппроксимацию, при которой отклонение от кривой 1 неодинаково в диапазоне аппроксимации. Кривая 8 иллюстрирует равноволновую аппроксимацию, прн которой абсолютные значения максимальных отклонений от средней линии зобе стороны одинаковы.
Гладкую аппроксимацию осуществляют обычно пблиномами Баттерворта, равноволновую — полиномами Чебышева. Известны и другие способы аппроксимации !9, 17], у каждого из них имеются свои достоинства и недостатки. Гладкая аппроксимация. Применительно к фильтру НЧ аппроксимацию квадрата модуля передаточной функции четырехполюсника осуществляют так: ~К( ° )~ 2 1+ тх2п Принимают„что при х=1 ~К(/х) ~ = 1/1~2, откуда гп = 1. Полагая р =/х, найдем полюсы ~ К(1х) Г: 1 К(1х)К( — /х) = /7.)2а ' '2 У (К(1х)) = При нечетных п р = 1 72" = е1~ 7" Й =0,1,...,п; при четных и р~ — ( — 1)'/!" = у(2А + 1)л = е 2", я = 0,1,...,п.
Полюсы расположены симметрично по окружности единичного радиуса. Поли- номы (р — р1)...(р — р„) образуют знаменатель К(/х) и называются полипом ами Баттерворта. При составлении их используют значения р, находящиеся только в левой полуплоскости. Это обеспечивает физическую осуществимость К(р). Запишем пол" номы при и = 1(р+ 1); при п=2р + !/2р+ 1; при п =3 р +2р + 2р+ 1.
Задаваясь требуемым затуханием фильтра в децибелах (обычно при х = 2) а=10!ц(У,/(/2) определим и: Рис. 10.14 Например, при а = 18 дБ л = 18/(20 1д 2) = 2,98 ж 3. В рассматриваемом примере 1 К(р) = ~'3+ 282+ 2Р+ ! функцию К(р) реализуют известными методами. Ривноволноаая аппроксимация. Полиномы Чебышева порядка и записывают в тригонометрической форме: Т„(х) = созп агссоз х. Поп ав г свах=а ~ю пу, тосе. Р=шв Р— — сов Р 1о 6.1-..., л л(п 1) — 2 . 2 1 ° 2 а з1пО = "у'1 — Р, получим алгебраическую форму записи полиномов: у (.) и+ ~2 а — 2( 2 !)+ ~4ХН вЂ” 4( 2 !)2+ Например, при и = 5 Тз(х) = 16х~ — 20хз + 5х. В интервале х= 0 —:1Т„(х) колеблется от ! до — 1 (рис. 10.14, а).
При х:у 1 Т„(х) монотонно возрастает. Квадрат модуля нормированной передаточной функции фильтра НЧ с помощью полнномов Чебышева аппроксимируют так: ~ К(гх) ~ 1+ у Т„(х) Максимальное отклонение ( К(гх)~ от 1 равно у /2 1 — м 1 — (1 — — ) =Ору. 1+т' ,Нр х) 1, .е. Охает» ту а фа тра НЧ, 2 1 1 7 Т.(х) 1 "! К0')! — Т (х) — СЬ(ДА-Ьх) Примерный вид аппроксимирующей кривой ~ К(гх) ~ показан на рис. 10.14, б.
Для заданного отклонения у и затухания а в децибелах при х = 2 а = 2018! 0~/0~ = 201д ~ 1~К(у2)~ порядок полинома Чебышева определяют по формуле 1 10а/20 и = — Агсй, где1,32 = АгсЬ2. Например, для у = 0,4 и а = 30 дБ при х = 2 [К(/х) ~ =0,0318 1О" 5,06 п = — Агсй — = — ' = 3,84. Принимаем п = 4. 1,32 0,4 1,32 Для составления КЦх) следует определить полюсы ~ К(/х)~, находящиеся в 2 левой полуплоскости. Подставим в[ К(!х) ! х = Р»/у и приравняем нулю знаменатель ,'К(ухф. 1 + у~Т~~(р /у) = 0 или Т„(р /у) = ~- у/у.
Р» Р» При 0 ~~ х ( 1 Т„(х) = ҄—. = созл[агссоз —.] = ~ !/у. ! ! Прн х !Та(х) = Тп(р»/!) = сЬпАгсЬ(р»/!). Так как р» — комплексное число, то агссоз Р»/! — тоже комплексное число, которое положим равным а» + !(!». Тогда Т„(р /!) = сов(па» + /пр ) = созпа»сдпр» — уз!пп а»зЬп(!» — — ~ !/у. Отсюда сов и а» сЬ и р = О, з!и и а» зЬ и (!» — — ~ 1/у.
ТаккаксЬпр»ФО,то л сов п ໠— — 0 и ໠— — (2я + 1) —, а = 0 1,...,и. 2л' При этом 1 з!пи а»= ~ 1; зй п р =!/у; р» — — АгзЬ(1/у). и Так как агс сов(Р»/!) = а»+ !~», то р» — — а» + !Ь» = /соз(а + !Ц). Действительные и мнимые части полюсов Р», лежащих в левой полуплоскости: (2й + 1)л ໠— — — зЬ р» з!и (2й + 1) —; р» —— сй !!» соз 2л' 2п , и =0,1,...,а. Из последней строчки следует, что а»/зЬ р»+ Ь»/сЬ р»= 1, т.
е. полюсы р» 2 2 2 2 расположены на эллипсе, одна полуось которого равна зй[!», другая — сЬЦ. В рассматриваемом примере при и = 4 и у = 0,4 р = 0,412; зЬЦ» —— 0,421; а Ь р»=1,08. Для построения эллипса чертим две окружности одну радиусом зЬЦ», другую радиусом сЬф (рис. 10.15) и через начало координат проводим прямые до пересечения с окружностями под углами а = (2я + 1)(п/2а), где й = 0,1,..., и.
В примере а» ж 22,3; 67; 111; 156'. Из точек пересечения лучей с окружностью меньшего радиуса и роводим вертиа кали, а из точек пересечения с окружностью большего радиуса — горизонтали. 1 очки пересечения соответствующих горизонталей и вертикалей на левой полуплоскости дают искомые полюсы. В примере Роз — — — 0,164 ~ !099~' Р~ а — — — 0,388 ~ !0,416. Нормированная передаточная функция К()— 1 (Р РО) (Р Рз) (Р Р1) (Р Р2) [(Р+ 0,164) + 0,995~
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
