Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Г1ереходную проводимость можно определить расчетным либо опытным путем. При расчете д„(1) классическим или операторным методом ток А-ветви находят при включении источника постоянного напряжения в й-ветвь; дд(1) ток Й-ветви вычисляют при включении источника постоянного напряжения !/в т-ветвь. Далее, в полученных формулах полагают У = 1 В. При опытном определении переходной проводимости ток ~(1) соответствующей ветви находят путем осциллографирования.
В э 2.!б было доказано, что йда —— д~л. Это свойство вытекает из симметрии определителя относительно главной диагонали. Аналогично можно доказать, что операторное изображение проводимости д~ (р) равно операторному изображению д ~(р). Но если равны изображения двух переходных проводимостей, то равны и сами переходные проводимости, т. еа~ Р)=а ~(~) Данное равенство свидетельствует о том, что на переходные процессы распро страняется теорема взаимности. Для переходных процессов теорема взаимности формулируется следующим образом (см. «скелетные» схемы рис.
8.33): в любои линейной электрической цепи ток переходного процесса я-ветви г (1), вызываемый включением источника ЭДС е (~) в т-ветвь (рис. 8.33, а), равен току переходного процесса ~ (1) в т-ветви, вызываемому включением источника ЭДС е~ (1) в й-ве™ (рис. 8.33, б), при условии, что е, (1) = е,„(1). ф 8.52. Понятие о переходной функции. При подключении линейной электрической цепи с нулевыми начальными условиями к источнику постоянного напряжения У между какими-то двумя точками а и в схемы возникает напряжение и., (1), являющееся функцией времени и пропорциональное воздействующему напряжению У: и„(1) = УЙ(1), (8.62а) где ИЯ вЂ” переходная функция.
Это безразмерная величина, чис- ленно равная напряжению между точками а и в схемы, если на ее вход подать постоянное напряжение в 1 В; Ь(1), так же как и дЩ можно определить расчетным либо опытным путем. Пример 97. Определить переходную проводимость схемы рнс. 8.2. Е Р е ш е н н е. При замыкании ключа 1(!) = — (1 — е 7 ). й По определению, переходная проводимость равна току в цепи при Е = 1 В. й Следовательно, д(1) = — (1 — е ь ).
Я Пример 98. Найти собственную переходную проводимость первой ветви д11(!), взаимную и переходную проводимость между третьей и первой ветвями дз1(!) и переходную функцию напряжения на конденсаторе й„с (~) для схемы рис. 8.34. Па- раметры схемы: й1 —— 1000 Ом; Р2 — — 2000 Ом; С = 50 м кФ.
Р е ш е н и е . По определению, 11 = ЕИ1 1(!)' 'з = ЕЮз1(!); нс = Е11иа Я. С помощью классического метода определим: 1~2, %1 + !~2 +й Я!гС Полагая в этих формулах Е = 1 В, найдем: ! Я1 + Я2 ~11() р +р + о (о +о) 911!2 аз1 (!) = р '., й„с(!) =, „, (1 — е'). 1 2 Подстановка числовых значений дает: я д11(!) = О,ОООЗЗ + 0,00067е ~~См; 2 дз1(1) = 0,001 е ' См; Ь„с —— — (1 — е ). Пример 99.
Определить взаимную переходную проводимость между первой и ретьей ветвями схемы рис. 8А, а при включении источника ЭДС в первую ветвь и следующих значениях параметров: К! — — К2 — — ! 00 Ом; Е1 — — 1 Гн; С = 100 мкФ. Р е ш е н и е . Изображение тока третьей ветви И~2С й (р) 1з (Р) р' ц Е1 с+ р р! г2С+ Е1) + к1 + л2 М (р) 285 Рис. 8.34 Рис. 8.35 Корни~равнения М(р)=0(см.прнмер76):р! — — 100+!'1ООс ',р2= — 100— — 7 100 с Полагая Е = 1 В, в соответствии с формулой разложения найдем Й2 Сер~ й СеР2' !3 (г)— + 2р, Л2 1.1С+ (г! Л2С+ 7.1) 2р, К2 г.1С+ Рр20+ ~1)' ° После подстановки значений параметров, корней р! и р2 н использования формулы (е!' — е 1~)/27' = 3!пх получим дз1(1) = 0,01 е ~00!8!п1001 См.
Таким образом, взаимная переходная проводимость между третьей и первой ветвями схемы рис. 8.4, а при данных значениях параметров как функция времени представляет собой затухающую синусоиду. Пример 100. В схеме рис. 8 35 и(1) = 170яп(3141+ 30')В; Я! — — 100м; !т = 5 Ом; 1гз — — 15 Ом; Е! — 30 м Гн; 1.2 — — 50 м Гн; М = 25 м Гн. Найти !! Щ с помощью !рормулы разложения. Р е ш е н и е . Составим уравнения по методу контурных токов: » 1 (Р) !'» 1 + 1~2 + Р (~1 + Ц + 2М)!»2 (Р) И2 + Р (7 2 + М)1 ИР)» 1 (Р) 1»»2 + Р (» 2 + М)1 +»2 (Р)!»»2 + 1~3 + Р7 2) Совместное нх решение дает- и (20+ 0,05р) й!(Р) 7!(Р)— (р — 1!0)(0,000875Р2 + 2,6р + 275) М(Р) Корни уравнения М ( р ) = 0: н р, =3!4 1, р2 — — — 2860 и рз — — — 114 с М'(р) = 0,000875 р + 2,6р+ 275+ (р — у01)(0,00!75р+ 2,6); И(р1) = 4301 е!! ~; !т(р2) = 123 170е!!ю; !т(рз) = 14,29 170е1; М'(р1)=838е'; М'(р2)=6930е' '; М'(РЗ)=806е Ток ЙР1) !»'»(Р2)»»(рз) 1Я = 1гп —, ер!' +, ер2' + —,ерз' М (Р1) М (Р2) М (Рз) !го~5 !Зебр(ь! — 8'40'1 + 3 03е77203 44' е — 2860! + + 3,0!еуню е ' 4 = 5,13 8!п(Ы вЂ” 8 40')— — 2860! + ! 97 — 114!А~ ф 8.53.
Интеграл Дюамеля. Познакомимся с третьим методом расчета переходных процессов в линейных электрических цепях— расчетом с помощью интеграла Дюамеля. При использовании интеграла Дюамеля переменную, по которой производится интегрирование, обозначим т, а под 1 по-прежнему будем понимать тот момент времени, в который требуется найти ток в цепи. Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями в момент времени 1 = 0 подключается напряжение и (т) (рис. 8.36). Для того чтобы найти ток в цепи в момент времени 1, заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения и (0) и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени.
Напряжение и (О) в момент времени 1 вызовет в цепи ток и (0)Х Хд («), где д (1) — переходная проводимость. В момент времени т + Лт (рис. 8.36) возникает скачок напряжения Йи Ли Лт =и'(т) Лт. дт Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени 1, вызываемую этим скачком напряжения Ли, необходимо и'(т) Лт умножить на значение переходной проводимости с учетом времени действия скачка до момента времени 1.
Из рис. 8.36 видно, что это время равно 1 — т — Лт. Следовательно, приращение тока от этого скачка составляет и'(т) д (« — т — Лт) Лт. Полный момент времени ~ получим, если просуммируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току и ( 0 ) д ( ~ ): «И) =и(0)д(«) +Хи'(т) д (« — т — Лт) Лт. Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени Лт на бесконечно малый дт и перейдем от суммы к интегралу: «И) =и(0)а(«) + и'(т) а(« — т) ~ .
о (8.63) Формулу (8.63) называют интегралом Дюамеля. С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, но и любую другую физическую величину, например напряжение. В этом случае в формуле вместо переходной проводимости д( 1 ) будет входить переходная функция 6 ( 1 ), если на входе цепи действует источник ЭДС (напряжения), и переходное сопротивление й ( ~ ) если на входе цепи действует источник тока. ф 8.54.
Последовательность расчета с помощью интеграла Дюа меля. Расчет с помощью интеграла Дюамеля проводят в четыре этапа: 1) определение переходной проводимости д ( 1 ) 1переходной функции Ь( 1 )]для исследуемой цепи; 2) нахождение Р(~ — т) 16(~ — т)]. С этой целью в формуле для д()ЦЬ(1)] заменяют 1 на () — т); 3) определение и'(т). Для этого находят производную от заданного напряжения и ( 1 ) по времени 1 и в полученном выражении заменяют 1 на т; 4) подстановка найденных на этапах 1, 2, 3 функций в формулу (8.63), интегрирование по переменной т и подстановка пределов.
Пример 101. Найти ц = ~(1) и и~ = 1(1) при замыкании ключа из схеме рис. 8.37, а. Напряжение источника ЭДС и(1) = 100(1 — е ~)В; а = 0,25 с; Я = 0,5 Ом; 1.~ = =1Гн;М=О5Гн. Р е ш е н и е . Переходная проводимость цепи, состоящей из последовательно 1 включенных )г и Г., д(1) = — (1 — е ~~), где Р 1 — ьр — 1] Первое слагаемое в формуле (8.63) выпадает, так как и(0) = О. При этом д и' (1) = — 1ОО (1 — е ' ) = 100ае "; и' (т) = 100а е д1 а) Рис. 8.37 288 1ООа (' 1~(1)=( и'(т)д(~ — т)с$т= С е ~~(1 — е а1~ ~11с$т.
"о й .4 Г1ри интегрировании учитываем, что е от т не зависит: — И (~) 2ОО (1 +. — о,ы 2 — о2ы) А г1апряжение на зажимах вторичной обмотки Й1 И = М вЂ” = бо(е 0251 е 051) В Ж ф 8.55. Применение интеграла Дюамеля при сложной форме напряжения. Пусть напряжение и(~) изменяется во времени по сложному закону, например в соответствии с рис.
8.37, б. Начальное напряжение равно и (О). В интервале от 1 = О до 1 = 1, напряжение плавно растет, и закон его изменения и, (1). В момент 1 =1, оно меняется скачком от и„до и„а затем снова плавно растет, но уже по другому закону и,(1) во времени. При 1 = 1, напряжение скачком уменьшается от и, до нуля. Требуется найти ток в каждом из трех интервалов времени. Под первым интервалом будем понимать интервал времени от 1 = О до ~ = 1, (не включая скачка напряжения от и, до и,); под вторым — от ~, до 1„включая скачок от и„до и„, но не включая скачок от и, до О; под третьим при 1-Аз, включая скачок от и, до О.
Интегрирование по-прежнему проводим по т, понимая под 1 фиксированный момент времени, в который требуется найти ток. На основании принципа наложения ток в любой момент времени 1 определится как сумма токов от всех напряжений, воздействовавших на цепь до момента 1. В первый интервал времени г(1) =и(0)д(1) + и', (т) ~(1 — г) дт. О Во второй интервал времени 1(1) =и(0)д(~) + и', (т) д(1 — т) с1т+ О +(и и ) а(~ ~1) + и 2(т) Д (~ т) дт а, "де слагаемое (и — и,) д(~ — ~,) обусловлено скачком напряжения от и, и и, в момент времени 1,. 1О за«. газ 289 В третий интервал времени ((о = и(0)д(о+ [ и', (т)у о — т) ж + о 8з + (и, — и.) иИ вЂ” ~,) + [ и', ( ) и (~ — ~) а~ + и + (Π— и,) а(~ — ~,). — ы 1 дЯ= — (1 — е '); Ь=Й/Е=0,5с ', д(1 — т)= — [1 — е (' ')[. В первый интервал времени и'(т) = 100 ае ". Поэтому с ю')(1) = и(0)д(1) + ~ й (т) д~ (1 — т) бт = о = — (1 — е )+ — )е "[1 — е Р ')[бт= и(0) -ы 100а, „-ь (— й 100 (1 е — о,а() + 200 (1 + е — од( 2е — о,ж() При У = 2 с ц = 100 (1 — е ') + 200 (1 + е ~ — 2 е ц~) = 94,9 А.
Я Во второй интервал времени (включая скачок иа — и, = 36,9 В) о сф)=и(0)д(1)+ $ и') (т) и (Ю вЂ” т) бт +К иа) К (1 М+ $ и 2 (т) К (~ т) бт' о (Э (и )К й2(т) = — 100се ~ е' (; е — цы)+200(0 832 1 718е — о,а()+ ° [1 е оЖ г()[ 0,5 100с Ь „ Ь вЂ” с [ — е-" + — е-"( + е-'(( е-Ф-')) [е-и( (Ь вЂ” сф с с При 1 = 5 с 1) — — 204,32 А. Пример 102. В электрической цепи рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
