Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 43
Текст из файла (страница 43)
ф 8.3. Принужденные и свободные составляющие токов и напря. жений. Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения плюс общее решение однородного уравнения. Частное решение уравнения (8.1) равно Е/й (Š— постоянная ЭДС).
Однородное уравнение получаем из исходного, если в нем возьмем правую часть равной нулю. В нашем случае д~ (8.2) Š— +0~=0. И Решением однородного уравнения является показательная функция вида Ае~'. Для всех переходных процессов условимся, что момент 1 = 0 соответствует моменту коммутации. Постоянные А и р не зависят от времени. Без вывода дадим нх значения для рассматриваемого примера: А = — Е/Й и р = — Й/Е. Следовательно, решение уравнения (8.1) запишется так: Е Е=г (8.3) ~= — — — е Я Я где Е/Й вЂ” частное решение неоднородного уравнения (8.1); Š— — е с — общее решение однородного уравнения (8.2). Подстав новка (8.3) в (8.1) дает тождество Е й й = — 1.— ( — — )р Ь +Š— Ер.
й Следовательно, (8.3) действительно является решением уравнения (8.1). Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем называть принужденной составляющей тока (напряжения), а полное решение однородного уравнения — свободной составляющей. Применительно к рассмотренному примеру принужденная составляющая тока ~„, = Е/й, а свободная состав- Š— -с ляющая ~„= — — е с. Полный ток1= г„р+ 1„.
228 Кроме индексов «пр» (принужденный) и «св» (свободный) токи и напряжения могут иметь и дополнительные индексы, соответст„ющие номерам ветвей на схеме. Принужденная составляющая тока (напряжения) физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частоои что и действующая в схеме принуждающая ЭДС. Если в схеме ействует принуждающая синусоидальная ЭДС частоты ь, то при„ужденная составляющая любого тока и любого напряжения в хеме является соответственно синусоидальным током (синусоидальным напряжением) частоты ь. Определяются принужденные составляющие в цепи синусоидального тока с помощью символического метода (см.
гл. 3). Если в схеме действует источник постоянной ЭДС (как, например, в схеме рис. 8.2), то принужденный ток есть постоянный ток и находят его с помощью методов, рассмотренных в гл. 2. Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая тока через него в цепях с источниками постоянной ЭДС равна нулю. Кроме того, напомним, что падение напряжения на индуктивной катушке от неизменного во времени тока равно нулю.
В линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону Е й е". Гак, в рассмотренном примере ~„= — — е ~ . С увеличением =с времени 1 множитель е ~ быстро уменьшается. Название "свободная" объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, свободного от вынуждающей силы (однородного уравнения без правой части). Из трех токов (полного, принужденного и свободного) и трех напряжений (полного, принужденного и свободного) основное значение имеют полный ток и полное напряжение.
Полный ток является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, полное напряжение — это напряжение, которое в действительности имеется между некоторыми точками электрической цепи при пеРеходном процессе. Его также можно измерить и записать на осцилл огра м ме. ПРинужденные и свободные составляющие токов и напряжений во время переходного процесса играют вспомогательную роль; они "вляются теми расчетными компонентами, сумма которых дает действительные величины.
Здесь следует еще раз обратить внимание на тот факт, что "Ри любых переходных и установившихся процессах соблюда- ют два основных положения: ток через индуктивную кат~шку и напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком . ф 8.4. Обоснование невозможности скачка тока через индуктив. ную катушку и скачка напряжения на конденсаторе. Доказатель ство того, что ток через индуктивную катушку не может изменяться скачком, проведем на примере схемы рис, 8.2.
По второму закону Кирхгофа Ж Ь вЂ” + % = Е. Ф Ток ~ и ЗДС Е могут принимать конечные (не бесконечно боль шие) значения. Допустим, что ток г может измениться скачком. Скачок тока означает, что за бесконечно малый интервал времени М вЂ” О ток изменится на конечное значение Лс, При этом Л~ /А1 — оо. Если вме й сто Š— в уравнение (8.1) подставить оо, то его левая часть не будет Ж равна правой части и не будет выполнен второй закон Кирхгофа. Следовательно, допущение о возможности скачкообразного изменения тока через индуктивную катушку противоречит второму закону Кирхгофа.
Ток через А не может изменяться скачком„но напряжение на 1., й равное ~ —, скачком измениться может. Зто не противоречит Ж второму закону Кирхгофа. Доказательство того, что напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком, проводится аналогично. Обратимся к простейшей цепи с конденсатором (рис. 8.3, а). Составим для нее уравнение по второму закону Кирхгофа: ~~+ис =Е где Š— ЗДС источника, конечная величина; ис — напряжение на конденсаторе. а) Рис. В.З 1 Иногда зти положения формулируются так: потокосцепление индуктивнои ка тушки и заряд конденсатора могут изменяться только плавно, без скачков.
Дальне" шее обобщение законов коммутации дано в э 8.28. 230 ~мс Так как с = С вЂ”, то Ф' (8А) ~"с йС вЂ” + ис —— Е. Ж ф 8.5. Первый закон (правило) коммутации. Ток через индуктивный элемент ~ непосредственно до коммутации ЦО ) равен току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации КДО+): Кс(0 ) =кь(0+). Время 1 = О представляет собой время непосредственно до коммутации, 1 = О+ — после коммутации (рис. 8.3, 6). Равенство (8.5) выражает собой первый закон коммутации. .( $8.6.
Второй закон (правило) коммутации. Обозначим напряжение на конденсаторе непосредственно до коммутации и (О ), а напряжение на нем непосредственно после коммутации ис(О+). В соответствии с невозможностью скачка напряжения на кон'денсаторе и(0 )=и(0 ).
(8.6) Равенство (8.6) выражает собой второй закон коммутации. Перед тем как приступить к изучению методов расчета переходных процессов, необходимо условиться о некоторых дополнительных определениях. 58.7. Начальные значения величин. Под начальными значенияли величин(в литературе их называют еще начальными условиями) понимают значения токов и напряжений в схеме при 1=0. Как уже отмечалось, токи через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах непосредственно после коммутации равны кх значениям непосредственно до коммутации.
Остальные величи"ьп напряжения на индуктивных элементах, напряжения на резисторах, токи через конденсаторы, токи через резисторы могут 231 Если допустить, что напряжение и может измениться скачком, ~~с ~"с т — — и левая часть (8.4) не будет равна правой части. Отсюда следует, что допущение о возможности скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе противоречит второму за"ис кону Кирхгофа.
Однако ток через конденсатор, равный с — ', может д~' ;изменяться скачком; это не противоречит второму закону Кирхгофа. Из указанных двух основных положений следуют два закона -(правила) коммутации. изменяться скачком, и поэтому их значения после коммутации чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутации Поэтому следует различатьдокоммутационные и послекоммутаци онные начальные значения.
Докоммутачионными начальными значениями называют значе ния токов и напряжений непосредственно до коммутации(при 1=0 ). послекоммутаиионными начальными значениями — значения токов и напряжений непосредственно после коммутации (при 1=0 ). ф 8.8. Независимые и зависимые (послекоммутационные) иа. чальиые значения. Для любой схемы после коммутации в ней мож но записать уравнения по законам Кирхгофа и из этих уравнений определить значения токов во всех ветвях и напряжений на любых участках схемы в послекоммутационном режиме (при 1=0 ). С этой целью значения токов в ветвях, содержащих индуктивные элементы, и значения напряжений на конденсаторах берут равными тем значениям, которые они имели до коммутации при 1=0, а остальные токи и напряжения после коммутации при 1=0 находят из уравнений Кирхгофа, поскольку часть слагаемых в них известна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
