Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи (1996) (1092093), страница 39
Текст из файла (страница 39)
+А "(созх+А",соз2х+А",созЗх+А",соз4х+..., (7.1) где Ао — постоянная составляющая; А', — амплитуда синусной (изменяющейся по закону синуса) составляющей первой гармоники; А", — амплитуда косинусной составляющей первой гармоники; А' 2 — амплитуда синусной составляющей второй гармоники и т. д. Здесь 2л 1 А = — ~ ~(х)дх; о (7.2) (7.3) 2»» 2д А' = — 1((х(»»пйх»(х; А "» = — 1((х)со»йх»(х.
Л л о о Так как А'р1пИх+А",совках = А,з1пфх+ ф,), где и1р~, = А",/А',, 205 18 ян 4и ихле Все периодические функции, с которыми имеют дело в электротехнике ело и- 4 рикле удовлетворяют. Поэтому производить проверку на выполнение условий ирихле не требуется. то ряд Фурье (7.1) можно записать в другой форме: Д(х) = А,+А,з1п(х+~»)+А,з1п(2х+~»~)+... = (7.4) = А,+~~» А,з1п(йх+~,), где А„— амплитуда Й-гармоники ряда Фурье. Гармоники, для которых А — нечетное число, называют нечетными; для которых А — четное число, — четными. ф 7.3. Некоторые свойства периодических кривых, обладающих симметрией, На рис, 7.1 и 7.2 изображены три кривые, обладающие некоторыми специфическими свойствами. Кривая рис.
7.1, а удовлетворяет условию — Дх+л)=Дх). Кривые, для которых выполнимо это условие, называют симметричными относительно оси абсцисс. Если кривую рис. 7.1, а сместить по оси х на полпериода и зеркально отразить относительно оси х, то полученная кривая совпадает с кривой ~(х). При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т е. равны нулю коэффициенты А, =А',=А", =А', =А", =...=О. Поэтому кривые типа кривой рис.
7.1, а раскладывают в ряд Дх) = А',з1пх+А",созх+А "зз1пЗх+А "созЗх+... Рис. 7.2 Каждое слагаемое этого ряда удовлетворяет условию 1(х+~т) = 1(х), например — яп(х+л) = япх. Кривая, подобная кривой рис. 7.1, б, обладает симметрией отноительно оси ординат и удовлетворяет условию — 1( — х) = 1(х). Если кривую, лежащую левее оси ординат, зеркально отразить о носительно оси ординат, то полученная кривая совпадает с кривои, лежащей правее оси ординат.
При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют синусные (А', = А', = А', =... = 0) составляющие, т. е. присутствуют лишь косинусные и постоянная составляющие. Таким образом, кривые типа кривой рис. 7.1, б можно разложить в ряд И ) =А,+А", х+А", 2х+А", Зх+.... Кривые типа кривой рис. 7.2 удовлетворяют условию 1( — х) =1(х), их называют кривыми, симметричными относительно начала координат.
Разложение их в ряд Фурье имеет такой вид: 1(х) = А',в)пх+А'2Яп2х+А'зз1пЗх+.... ф 7.4. О разложении в ряд Фурье кривых геометрически правильной и неправильной форм. Встречающиеся в электротехнике периодические кривые можно подразделить на две группы: 1) кривые геометрически правильной формы, например трапецеидальной, треугольной, прямоугольной и т. п.; разложение их в ряд Фурье дано в табл. 7.1, где вместо х записано ю~; 2) кривые произвольной (геометрически неправильной) формы; чаще всего они заданы в виде графика; разложение их в ряд Фурье производят графически (графоаналитически).
я 7.5. Графический (графоаналитический) метод определения гармоник ряда Фурье. Графический метод определения гармоник ряда Фурье основан на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. С этой целью период 2п функции 1(х), равный 2п, разбивают на и равных частей Ьх = — и интегралы заменяют суммами. По определению, постоянная составляющая 2д р=р и ! 1 2л Ао = — ~1(х)дхж — ~~~ 1 (х)Лх = — ~~' 1р(х) —, р=1 или (7.5) и Ао = ~~' 1р(х) 1 р=! ""е Р— текущий индекс, принимающий значения от 1 дои;1 (х) — значение функции 1(х) при х=(р — 0,5)лх, т, е.
в середине р-го интервала. 207 'Т а б л и ц а 7. ! ~Ф ЬФ ~Ф~ 4а„, 1 ! !(в|)= — (япаяпв!+-а!пЗаяпЗв!+ — а!пбаяп5в1+„)~, ал ' 9 25~ 8а,, 1, 1 1 Дв!) = — (а!пв1=япЗв!+ — ь!пбв1=а!п7в!+...) л~ 9 25 49 4а„ 1 . 1 . 1 )(в!) = — (а!пЫ+ — а!пЗв|+ — япбЫ+ — а!п7в!+...) л 3 5 7 4а ал 1 . Зал ((в|) = — (яп — сочв!+-а!п — соьЗв! + и 2 3 2 1. 5ал + — я и — — соа5Ы+... ) 1 л 1 1 7(в!) = — (-+ — сочв!+ — соь2вр' — — соь4в! + л 2 4 13 ~ 35 1 + — сов бв| —...) 4а 1 1 1 1 7(Ы) = — ( — + — соь2в! — — соь4в!+ — соьбв| —...) л 2 !3 35 57 3~За 1 1 1 ~(в!) = ( — + — сои Зв! — — соя бв! + л 2 2-4 5-7 1 + — сои 9в! —...) З~Ь 2соьбЫ 2соа12в| 2соь!8в! л 5 ° 7 11 ° 13 17 ° 19 Амплитуда сииусной составляющей Й-гармоники ряда 2л а 1, 2 2л, А'р — — — ~ Дх)япйхдх~ — ! 7' (х) — яп лх, о р=! или I 2 А',„= — ~ )„(х)а!и М, р=! амплитуда косинусной составляющей Й-гармоники (7.6) А "р — — ~ ~„(х)сов йх, р=! (7.7) 208 Рис.
У.З Р... - ...... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 »(х) .. 7 !1 13,5 15,4 17,420,525„432,527,7 19,2 1О 5 Р е ш е н и е. Так как кривая симметрична относительно оси абсцисс, то А=О и Ряд будет состоять только из нечетных гармоник. Амплитуда синусной составляющей первой гармоники и и/з 2 . 4 А ! — ~~ »р(х)з!прх — / »р(х)з1п~х, ~! р=! 4 А = — (?з!п?'30'+11з!п22 30'+13,5з!п37 30'+ 24 + 15,4з ! п52 30'+! 7,4з ! п67'30'+20,5з ! п82'30'+ +25,4з!п97'30'+32,5з!п112 30'+27,?з!п127'30'+ +! 9,2з ! и !42'30'+ 10з ! и !57 30'+5з ! и 172'30') = 25,3.
209 где з!пр Йх и сов„йх — соответственно значения функций а!пйх и совках при х=(р— — 0,5)Ьх, т. е. в середине р-го интервала. При расчетах по(7.5) — (7.7) обычно достаточно разделить период на п=24 или 18 частей, а в некоторых случаях и на меньшее число. Перед тем как производить графическое разложение в ряд, необходимо выяснить, не обладает ли раскладываемая функция симметрией относительно осей координат (см. ф?.3). Наличие того или иного вида симметрии позволяет до проведения разложения предсказать, какие гармоники следует ожидать. Так, если кривая»(х) симметрична относительно оси абсцисс, то постоянная составляющая Ао и все четные гармоники отсутствуют, а вычисляя А'~ и А "~ при нечетных А, следует учесть, что ~» (х)з!п„йх за первый полупериод равна сумме ~ » (х)з!п йх за второй полупериод.
Знак углов ~» в формуле (7.4) зависит от знаков А'~ и А"~. При построении гармоник на общем графике необходимо учитывать, что масштаб по оси абсцисс для к-гармоники должен быть взят в я раз большим, чем для первой гармоники. Так, например„если некоторый отрезок на оси абсцисс для первой гармоники выражает собой угол л / 3, то тот же отрезок для третьей гармоники выражает собой угол, в 3 раза больший, т. е. 3(п/3)=п. Пример 64.
Найти первую и третью гармоники функции»(х), изображенной на рис. 7.3, а. Значения ординат функции»(х) за первый полупериод при разбивке периода на и=24 части следующие: Амплитуда первой и/г 4 А '! = — 1' ! Р(х)созрхж — 5,23. пк р=1 Ам пл итуда синусной составляющей 1г 4 А'з = — ~ !~р(х)а!прЗхж3,47. Р=1 А мил итуда косинус ной третьей 1г 1 А "з = — ~~ ~р(х)созрЗхж5,1. 6 Р=1 Лмнд туда ар ангар он а д~=~1Щ+1А~)г=уд,н.та ноугда умна «о. торый начало первой гармоники смещено относительно начала кривой 7(х), !Р~! — — А", /А'! —— — 5,23 /25,3 = — 0,206; ф! = — 11 40'. составляющей гармоники третьей гармоники составляющей Амплитуда третьей гармоники 6 !р!уз=А 3/А з= 1,47'* '!уз=55 50.
ф 7.6. Расчет токов и напряжений при несинусоидальных источниках питания. До проведения расчета вынуждающие силы (ток источника тока или ЭДС источника ЭДС) должны быть представлены рядами Фурье. Согласно принципу наложения, мгновенное значение тока любой ветви схемы равно сумме мгновенных значений токов отдельных гармоник. Аналогично, мгновенное значение напряжения на любом участке схемы равно сумме мгновенных значений напряжений отдельных гармоник на этом участке.
Расчет производят для каждой из гармоник в отдельности с помощью уже известных приемов. Сначала рассчитывают токи и напряжения, возникающие от действия постоянной составляющей ЭДС или источника тока, затем — токи и напряжения от действия первой гармоники, после чего от второй, третьей и т. д. При расчете токов и напряжений, возникающих от действия постоянной составляющей ЭДС, необходимо иметь в виду, что падение напряжения на Е при постоянном токе равно нулю, а также что постоянный ток через конденсатор С не проходит.
При расчете следует учитывать, что индуктивное сопротивление Хе растет прямо пропорционально частоте. Поэтому для й-гармоники Х „в А раз больше, чем для первой гармоники Хе1. Х,„= Аозт = АХе1; р.8) Хе 1 'о ~" 210 Следовательно, если ограничиться !(ь|) = 25,9з!п(ы! — ! ! 40')+6з!п(Зго!+55'50'). На рис. 7.3, б изображены первая и третья гармоники полученного ряда, а также результирующая (сум марная) кривая. Ее можно сопоставить с кривой на рис. 7.3, а. Рис. 7А Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты, поэтому для Й-гармоники Х в Й раз меньше, чем для первой гармоники Хс» = 1 Л ~4о С) = Хс1 Ф (7.9) Воспользуемся принципом наложения и найдем составляющие тока 1з от каждо о источника в отдельности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
