Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 72
Текст из файла (страница 72)
—,' = АххЯ„+А„; !!х хох ' гх с учетом соотношения (7.3-39), 1/Ам($АА +УАА )~ — 1ГАп (УАохАхо+УАх1А ) ' г, !' Ахх Рассматривая передачу в обратном направлении, сог- ласно уравнениям (7-3-35а) получаем: а с учетом соотношения (7-3-39) 1l" (ахх ох„х ), —.' =1/ — "" Ь А А, — УА А„). гх ах Ан Постоянную распространения в прямом направлении йоо целесообразно выразить в следующем виде: е + =(УА,~А +УА„А„) ' г е =1УАмАи + УА„Амч ) (7.3.45) а постоянную распространения в обратном направлении йо в виде -!о е ' = УА„А„— у'А„Аьо (7-3-46) йа+ = — 71п !УАххАао+ УА А ); йо — = ))п(УАпАоо УА А ) = — 574 = Разность между постоянными распространения в прямом и обратном направлении й„— !ао = — ! 1п(АмАхх — А, А„) = — ! 1п!А!.
Таким образом, различие между постоянными распрост. ранения в прямом и обратном направлениях определяется логарифмом определителя матрицы передачи. Если четырехполюсник взаимен, то согласно выражению (7-3-14а) !А! = АмАхх — АххАхх = 1,' в данном случае постоянные распространения в прямом н обратном направлениях равны и определяются выражением йо.~. — — Йр — — йа= — ! !п (~ АмАхх + 1 Ахх Ахх) йо — — — !!п ( АмА,х+ У4мАхо — 1) Определяя сумму и разность соотношений (7-3-45) и (7-3-46), получаем: 1Яйо - !1 о 1 АпА С учетом формул (7-3-40) и (7-3-40а) получим: Мйо=- — !1Г "' Ф' ххх.х или с учетом выражений (7-3-41) Напряжение и ток на входе взаимного четырехполюсника на основе уравнений (7-3-35) с учетом соотношений оо гг $1 то ! К (1 ю)! = е ", ср=б. (7-3-5 1) -с5 о тюг=твг (7-3-48) (7-3-47а) (7-3-52) (7-3-49) К (1 ) = -,'- = —,' = е д, 7', =е е " .е или — 576— 37 — 552 — 577— (7-3-47) можно выразить через ток и напряжение на вы- ходе следующим образом: Учитывая соотношения (7-3-38) и (7-3-39), последние два уравнения можно записать в виде (), = 1 —" фвсозйо+ 11',Яовз(пй',); лоо 1! ( 1всо5йо+1 5!и йо хо! (,' ' Кое В случае взаимного и симметричного четырехполюсника (Ан=Атл, 3оо=Яы) согласносоотношениям (7-3-47) со5 Йо — А„; 5'пйо 11 Ан — ! = 1 1 Ац = = — 1~'1 — Ач и уравнения (7-3-48) будут иметь вид: О! = 0в соэ йо + 11вЯов 51п й„.
Оо 1, = 1и соз й, + 1 — ' ейп й,, лоо В случае симметричного четырехполюсника, как следует из выражений (7-3-44) и (7-3-46), коэффициент передачи по напряжению К(1ю) равен коэффициенту передачи по току: й, = 1'1пК(1в) =11п — ' =11п 7 и т. е. постоянная передачи взаимного симметричного четырехполюсника при согласованном включении опреде- ляется как натуральный логарифм коэффициента передачи по току или напряжению.
Так как К(1ю) =!К()со)е "= е " е '", (7-3-50) Рис. 7-44. Согласованное включение цепочки четырехполюс- ников. Следовательно, требования, которые накладываются на коэффициент передачи по напряжению, можно перевести на требования, накладываемые на постоянную передачи йо. Постоянная передачи цепочки п каскадно соединенных симметричных или несимметричных четырехполюсников при согласованном включении (рис. 7-44) определяется соотношением Ко — — - йо У'ч г=! т.
е. постоянная передачи цепочки равна суаглге постоянных передачи составляюгцих цепочку четырехполюсников. Действительно, составляя отношение напряжения на выходе к напряжению на входе цепочки, получаем: д ач! — !х до до ~ Гн а+! д — =е и, 0 и„ да Если четырехполюсннки одинаковы, то Ко=-пйо = и(! — уч (7-3-52а) т.
е. постоянная затухания и сдвиг фаз цепочки, состоя- щей из и одинаковых четырехполюсников, в и раз боль- ше, чем у одного четырехполюсника. г г б) б) в) — 579— 37' Топологический анализ цепей — это связь между электрическими свойствами и структурой, или «топологией», цепей. Электрические свойства цепи полноотью определяются параметрами и схемой соединения ее элементов. При топологическом исследовании каждую ветвь цепи заменяют отрезком, направление которого совпадает с направ- Рис. 7.45.
3 ыктрпвсскаи схема (а), ее орвсптвроваивый граф (б) и левсво (в!. пением тока. Пои этом идеальный источник тока заменяют разомкнутой ветвью, а источник напряжения — замкнутой. Полученная структура называется линейны и графом. Так, например, схеме, приведенной на рпс. 7-45, а, соответствует граф, показанный на рис. 7-45, б. В теории графов применяются следующие термины: Д е р е в о — совокупность разомкнутых ветвей, связывающих все узлы, но не образующих ни одного контура (рис. 7-45, в). Ветвь дерева — ветвь схемы, входящая в состав дерева. Если схема имеет и узлов, то дерево содержит и — 1 ветвей.
Главная ветвь дерева — ветвь, не входящая в дерево и образующая замкнутый контур с его ветвями. П у т ь — непрерывная, непересекающаяся последовательность ветвей (в указанном направлении), соединяющая два заданных узла. Узлы, через которые проходит путь, встречаются не более одного раза. 3 а м к н у т а я с и с т е и а — совокупность ветвей, образующих замкнутый контур. Замкнутая система содер— 573— жит одну главную ветвь, остальные ветви являются ветвями дерева (рис.
7-46). О т с е к а ю щ а я с и с т е м а — совокупность ветвей, при удалении которых граф разделяется на две несвязанные части. Отдельная часть может быть и узлом. Отсекающая система содержит одну ветвь дерева, остальные ветви являются главными его ветвями (рнс. 7-47). Рпс. 7-46. Замкнутые системы электрической схемы, при- велеивой иа рис. 7-45, а. Для описания графа цепи применяют матрицы нескольких видов; наиболее важные из них — матрицы замкнутых н отсекающих систем.
Матрица замкнутых систем составляется из чисел О, +1 и — 1. Строки этой матрицы соответствуют выбранным независимым контурам, а столбцы — ветвям схемы. Элемент матрицы тм равен .+1, если (-й контур содержит и-ую ветвь; при этом плюс ставят в случае, если направление обхода по контуру совпадает с направлением ветви, а минус — если направления ве совпадают.
Если йй контур не содержит й-й ветви, то элемент птах равен нулю. Матрица замкнутых систем называется также матрицей «контур — ветвь» или М-матрицей. Прн составлении матрицы контуры прону- меровывают так, что их индексы соответствуют индексам главных ветвей. Направления контурных токов выбирают в соответствии с направлениями токов в главных ветвях. М-матрица графа, показанного на рис.
7-45,б, дана в табл. 7-4. Таблица 7-4 дг-матрица цли графя, показанного на рнс. 7-45, б тевв в ветвях в. в в да 21 гя !$ я и вв о и -!-! О +! — ! О О О О О О +! ΠΠ— 1 О О -1-! — 1 О О О О О +! О О О +1 О О О О О О +! О О О О О О О +1 О О О О О О -)-! ΠΠΠ— ! +! О 7, 72 lв 7в ΠΠΠΠ— 1 +! +1 ΠΠΠΠΠΠ— 1 О +! ΠΠ— ! О О О н я ежа а ег аа ив е Я Сз 100000 0 0 0 0 1 0 1 010000 0 0 0 0 0 — 1 — 1 001000 0 0 1 1 — 1 0 0 000100 0 — 1 0 — 1 0 1 0 000010 — ! 1 0 0 0 0 0 000001 ! 0 — 1 0 0 0 0 !)М)] = Токи в ветвях определяют через контурные токи пу- тем чтения матрицы по столбцам: 22 ~2 гт ~6 ~з ггз ~4 !в=72! Гз=тв тз! Ггз=тг тз. гз= — 7я! !в=та та !в ~2 Г!В ~3 ~4 Связь между токами в ветвях и контурными токами может быть выражена следующим матричным уравне- нием: ~~!.]]=)~М'~~ ]А)[, где !!Мг!! — транспонированная матрица ПМ!! [сх!. форму- лу (Д-1-1а)], Эти соотношения могут быть выражены с помощью мат- ричного уравнения внда !!и„',с, = !!Ят!!1)е !1, где !1Щ! — транспонированная матрица 119!1, 11)„!! = !1)л!! = ))а !1(;)1! = и, е, 11 и„1! =- !!е„1! = и)а бой систему а а.
а в а ааа и и Так как линейный граф представляет со линейных алгебраических уравнений, записанных графически с помощью узлов, ветвей и направлений (стрелок), то уравнения (7-3-9), (7-3-11), (7-3-13) и (7-3-15) для взаимных четырехполюсников также могут быть выражены с помощью графов (рис. 7-48). При этом расположение коэффициентов уравнений определяется той связью, которую они осуществляют между входными и выходными токами и напряжениями. Если два или большее число четырехполюсников включены каскадно, то граф полной системы находят путем соединения графов отдельных четырехполюсников (рис. 7-49). Элементы матрицы передачи, характеризующие каскадное соединение четырехполюсников, определяются как сумма произведений участков всех возможных путей между соответствующими узлами графов.
Так, например, в с.чучае соединения двух четырехпо- люсников Наири:нанн» на»аан са» а»анан н„ нс на 0 0 О 0 0 0 +! — 1 — ! 0 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 +1 0 0 +1 — 1 0 0 0 — 1 О 0 0 О +! — ! +! 0 0 0 — 1 — ! 0 О 0 0 +1 — ! 0 0 0 0 0 0 -1-! 0 0 0 0 0 О О +! 0 0 О 0 — . '! 0 0 О О е, е» еа еа еа еа е, О'+! О( О О! 0 о! О 4)! 0 и,= — (е,+е,); и,=е,+еа, и,=-е,— е,; и» еа и„=е.,; и„=ее! и)а е). А„= А;, А, +А„А;,; А„= А'„А"„+А'„А;.,; А) = А А +АттА)т' Ае, = А;а А"„+ А)) А.,".,; и,=е,— е,— е,; иа=е,— е,+е,; и,= — (е,+еа); иа еа па=ел! и)е=е„; (7-3-53) — 883— — 882— Матрица отсекающих систем также составляется пз чисел О, +1 и — 1, но строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы — ветвям.
Элемент матрицы с)са равен ~1, если к )-му узлу подсосдинена й-я ветвь; при этом если стрелка в ветви направлена к узлу, то с))а=1, а если стрелка направлена от узла, то с),н= — 1. Элемент дм=О, если и-я ветвь не присоединена к узлу.
Такая матрица называется матрицей кузел — ветвь» или (,)-))атрипей. Для электрической цепи, показанной на рнс. 7-45, а, ()-матрица дана в табл. 7-5. Таблица 7-8 )7-матрица дли алентричеснай цени ао схеме иа рис. 7-4а,а Соотношения между напряжениями на зажимах ветвей и разностями потенциалов узловых пар находят путем чтения матрицы по столбцам. — 1 1 — 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 — 1 0 0 0 0 1 0 — 1 — 1 0 00000001 0 00000100 0 10010000 — 1 — 1 1 0 0 0 0 0 0 — 1 00100000 0 00000010 0 00001000 в случае соединения трех четырехполюсников элемент А„для всей системы определится выражением $ аа Г ! 1 "гг гг а а — о Д а,а я ц (1 сп)аа с)е г), Ао а а. А" = — А; =— 1 . 2е 2 гг с 12 12 — 585— а Ю Х о а а н а а.
З е Ю а а а а о а а а л а о а. о а й а. * о ,е, а а а о 1 он а а а" а о н .е 1 с, о. 1 а е аа а аа ч с я Ч' П Если какой-либо из элементов матриц равен нулю, то соответствуюцгая ему ветвь в графе отсутствует и вычисления упроцгаются. н /» я,г, Яо яи Рпс. 7-52. Граф схемы, нрнееденной на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
