Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Последний используется, в частности, в квантовых генераторах оптического диапазона. Резонансная частота и соответствующая ей резонансная длина волны объемного резонатора ы,== — ' — =-0Н;, Р, 77! (3-6-1) — 27В— Здесь 7т',(.я — ') — множитель, определяемый геоь!етричесюй форчой объемного резонатора и типом колебании в нем; и е, — параметры заполняющей об.ьемный резонатор среды.
Объемный резонатор обладает весьма малыми потеря!нп поэтому его резонансная частота (резонансная длина волны) практически равна собственной частоте (собственной длине волны). В седьмой и восьмой главах, посвященных теории линейных цепей, мы рассмотрим электрические резонаторы другого, «необъемного» типа, состоящие из отрезков .тиний с распределенными постоянными либо из сосредоточенных нндуктивностей и емкостей. Полый металлический прямоугольный резонатор состоит из отрезка прямоугольного волновода с метал:шческими стенками на концах. Выражения, описывающие поле в таком резонаторе, могут быть нандены из решения уравнений (2-1-10) и (2-1-5), записанных в декартовых координатах, прн условии, что на внутренней поверхности всех стенок Е =0 и Н =- — У„„а.
Пользуясь обозначениями, аналогичными (3-5-6) и (3-5-4а), имеем и! лч р! (3-6-!а) Х Х!+Хзз+Уз ~ 1!а а а где т, и, р — целые числа, соответствующие полуволновым вариациям поля вдоль соответствующих ребер а, Ь и й Аналогично (3-5-7) получим следующие выражения, описывающие поле Н а„в прямоугольном резонаторе: Н„„=Н соз(у, х,) сох(у,хз) 5!и (Х х,); Н,„= — Х'Х вЂ” 'Н 5!П(Х! Х!) С05(ХЗХ) С05(Ха ХЗ); Х айа,з= — " " Н с05 (Х! Х1) 5!п (Уз хз) с05 (Уз хз); уа (3-6-2) Е,!0 =/ Н с05 (Х! х!) 51п (Хз хз) 51п (Хз хз)' у! Еам= — 7 ' 'Н5!П(Х,Х,)С05(Х,Х,)51П(Хзхз). Х Е з=Е 5!и (Х, 1!) 51п (Хз хз) с05 (Хз хз)' ! Е,„, = — х' х' Е со5 (Х, х,) 5!п (Х, х,) 510 (Хз хз)' Х' Еа„= — х' У' Е згп (Х, х,) соз (Х, хз) мп (Хз хз)' Х' Н ! —— 7' а Е 5!п (у! х!) с05 (уз хз) с05 (Хз хз); Х! На,а= — / ' " Е С05 (Х, Х,) ЫП (Х«Хз) С05(Ха Хз).
Ха (3-6-2а) Здесь 01=1, 2, 3 ..и и=1, 2, 3 ...; р=О, 1, 2, 3 ... Из выражений (3-6-2) и (3-6-2а) следует, что фазы полей в пространстве не изменяются. Поле такого вида представляет стоячую волну. На стенках резонатора касательные составляющие электрического и нормальные составляющие магнитного полей равны нулю, а нормальные составляющие электрического и касательные состав- — 279— Здесь т=О, 1, 2, 3 ...; П=О, 1, 2, 3 ...; р=1, 2, 3 ...; причем кч и и одновременно не могут равняться нулю.
Лля поля Еа,ар аналогично выражениям (3-5-16) получим: ляющие магнитного полей достигают максимума. Этим и объясняется, что величины ть тх и тз могут принимать лишь значения, определяемые выражениями (3-6-1а); следовательно, и величина 7 может иметь только определенные образующие бесконечный ряд значения, называемые собственными волновыми числами резонатора. Соответствующие им напряженности полей Е и Н называются собственными фу и кци ям и резона тор о в; они обладают свойством ортогональности (см. формулы (Д-6-74)), т. е. !' Е, Е„г('г'=-0 у ( Н,Н„с(г'=О Г Здесь интегрирование производится по внутреннему объему резонатора, поля Ео Н; и Еы Нь соответствуют 1-му и й-му типам колебаний.
Выражения (3-6-3) используются при определении амплитуды возбужденного поля в резонаторе. Выражения (3-6-2) и (3-6-2а) можно получить, если поле в резонаторе рассматривать как сумму двух волн, бегущих в противоположных направлениях. Складывая соответствующие компоненты этих двух волн, описываемых формулами (3-5-7) или (3-5-16), и удовлетворяя граничным условиям при хз=О и хз=(, получим выражения (3-6-2) или (3-6-2а).
Учитывая, что т, и, р — целые числа, из выражений (3-6-1а) находим, что резонансные частоты и соответствующие им резонансные длины волн образуют бесконечный дискретный спектр 2и Г Гм за ˄— 2 (3-6-5) О а О \ О О О й О в О О ,О О н я О и О х н — 28! Таким образом, резонансные длины волн зависят от геометрических размеров резонатора и типа колебания, характеризуемого пелыми числами и, п, р.
Наименьшая длина волны имеет место при комбинациях тир — 01!, !О! или 110; значение, равное нулю, соответствует наименьшему ребру прямоугольного резонатора. н. ай о О О н ОНИ ( О. 22ч 1 )'Ьо о зп (3-6-8) (3-6-6) ! и для поля Еп„„ 2п ! ю =- )г яо со Здесь р=1, 2, 3, ... (3-6-9) (3-6-?) — 282— — 283— Структуру полей в прямоугольном полом резонаторе для колебаний нескольких типов иллюстрирует табл. 3-2. Полым металлический круглый цилиндрический резонатор. Поле в таком резонаторе образуется волнами, бегущими в противоположном направлении и описываемых выражениями (3-5-19) или (3-5-20). Составляющие поля Нпг л Н вЂ” НУ (Хг) ~ ~ (пес) мп(Х г) Н,„,= — ' Нг „'(у Г);;.,', ~ (п а) соз (Хс г); Х Н,„„= ' Н/п(ХГ) "' ~(па)соз(Хса); сг Е„,,= — !" 'и'Нуп(Х ) — "')(и )я~(Х,а) Хчг Е .=у м'Н' НУ' (Хг)соо) (па) 5)п(Х х Ропп Х= — Хс=р— п Сосгавляющне поля Еоогв Е,.=Е,)„(Х г).",,, ~> (и а) соз (Х, г); Х Е = ЕУп (Х Г) соо~ (П а) 5!и (Хс Г) Н?гго(ХГ)о|о~(пес)С05(Хсо)' Х г Н = — ? — 'о Е.г" (Х г)"." ~ (и а) соз у, г, Здесь Р=О, 1, 2, .; Х ' ° Хс=р Выражения (3-6-6) и (3-6-7), являющиеся собственными функциями круглых цилиндрических резонаторов, обладают также свойством ортогональности (см.
формулы (3-6-3)). Из выражений (3-6-6) и (3-6-7) видно, что электромагнитное поле как для Н-, так и для Е-колебаний прелставляет собой систему стоячих волн с узлами Е„, Е н Н, на основаниях цилиндра и узлами Е„Е„ и Н„ на боковой поверхности. Резонансные частоты и длины волн цилиндрического резонатора для поля Н„„„ В этих выражениях В„„, — корень уравнения l„'(Ха) =О (см. табл. Д-4), соответствующего граничному условию Е, =О, а А„(см.
табл. Д-З), корень уравнения У„(Ха) =О, также соответствующего граничному условию Е =О. Из выражений (3-6-8) и (3-6-9) видно, что в случае пнлнндрического резонатора, как и для прямоугольного, резонансные длины волн зависят от геометрических размеров и типа колебания, характеризуемого цельыш числами: п=О, 1, 2, ,; Гп= 1, 2, 3 ...; Р=О, 1, 2, ..., причем и — — число волновых вариаций поля по углу ен гп н р определяют число полуволновых вариаций поля соответственно по радиусу г и оси г; наибольшая длина волны для колебаний Н соответствует типу Ннь для колебаний Š— типу Емо. На рис.
3-59 показана структура полей в цилиндрическом полом резонаторе для этих типов колебаний. Полый металлический сферический резонатор. Структура поля в таком резонаторе определяется выражения- (3-6-1 1) !и (1-7-24) или (1-7-25) прн условии, если выполняются граничные условия (3-3-1!) на поверхности сферы (г=а). В этом случае функция Чт является решением не- волнового уравнения (Д-б-39а) и с учетом конечного Н = — Суег)'„(йг) Р"„'(соз О)' ) та; л(л+ !) Н = — С вЂ” (йг)' (йг)1 — !Р'" (созб))соа) та; ! д . д Н = =С вЂ” (гйг)' (йг)' Р"'(созб) агп) та; та!п м дг сон Е = — ( '~ Сйг!' (йг)Рпг (созб) — а!п! та; лт и ага соа! Е = / ""' Сйгу„(йг) — ~Р'"(сон б)~с«е! ти.
га Гме Х 42 сгтт Рцс 3-Вгл Полый юганпл!тгжескнц круглый резонатор. Пуиптпротг и«натаны магнитные силоаые лпнии, «смешными липипыи — алектри ыские; ! — продольный флаиец; ! — поперся ный флаиец. Зпацющя Поля В цтгт(тс: СфврЫ СОГЛЯСНО (Д-6-55) Ий!СЕГ внл: тр=)г Ьг /, (иг)Р,'(созб):;,'! та, илп с учетом (Д-6-62а) е-)гг — 'г«! попо! ° ог-) !ап~ ° ! Подстанляя последнее выражение в формулы (1-7-25), получим определяющие поле Н„рп, собственные функции сферического резонатора — 284— в котором а„р — корень уравнения !'„(Ьг) ),, = О, получаемого из условия Е, =О при г=а.
Собственные функции полого сфернческого резонато- ра, определяющие поле Е„р„м могут быть получены из выражений (3-6-11) при замене Ны,'Е,„и — р, -е-е,. В этом случае Й=Ьир/а, где Ь„р — корень уравнения ), (йг) (,, = О, получаемого также из условия Е, =О при г=а. Для сферического резонатора числа и, т и Р, от ко- торых зависит структура поля, могут принимать следую- гцие значения: и= 1, 2, 3, ..., т=О, 1, 2, ..., р= 1, 2, 3 ..., причем всегда т(и. Резонансная длина волны для ко- лебаний Н 2ла )., =— опр (3-6-12) и для колебаний Е 2ла Х,= —. Ьпр Основными колебаниями в сферическом резонаторе являются колебания Ецй и Нцо. Резонансная длина волны типа Нцр определяется из формулы (3-6-12). Прн этом ац— - 4,51 и )р=!,4 а. Для колебаний ЕцеЬц — — 2,75 (3-6-13) — 285— Здесь постоянная С имеет размерность (а л), а й — определяется соотношением а= — ", а Рнс.
3-61. Мзлуоагошее отверстие на поверхности полото резонатора. Стрелки итоараиают линии тока иа анутреииея ооаертностн ггтгт Гаго х„=г,гуа х„= г,вю Роне =- — ~ Ке ~Е,„Й;„1сЗ; ть (3-6-16) где (' ЕлЕ Г ртом 2 2 т у — 287— и согласно формуле (3-6-13) Х,=2,29 а. Структура электромагнитных полей этих типов показана на рис, 3-60. Фланцы, соединяющие половины сферы, в обоих случаях располагаются так, чтобы линия разъема не прерывала линий тока, текущего по внутренней поверхности сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
