Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Так как стенки волновода выполняются из хорошо проводящего металла (медь, алюминий), для которого глубина проникновения поля весьма мала [см. формулу (2-7-25)], то стенки волновода можно считать идеальна проводящими и условие (3-3-!1) удовлетворяется. Для определения структуры поля Н-волны в прямоугольном волноводе волновое уравнение (2-1-10) для — 253— комплексных амплитуд Н напишем в декартовой системе координат ""т+ д'!'т+д'Н +, дхзз Учцтывая необходимость выполнения граничных условий (3-3-1!) на металлических стенках волновода и распространение волны в направлении оси хз, решение этого уравнения можно представить в виде Н =Н„(х„х,)е "~'. (3-5-1 а) Здесь — постоянная распространения в волноводе, определяемая выражением (3-4-9).
Векторное волновое уравнение (3-5-!) эквивалентно трем скалярным (см. ф Д-6). Для составляющей комплексной амплитуды по оси хз с учетом решения (3-5-1а) имеем скалярное волновое уравнение дз зН з ~В Н~~ з + Хз Н,з —— О. (3-5-2) Здесь Хз = ( ~;-„ — ). (3-5-3) Решая уравнение (3-5-2) методом Фурье (см. выражение (Д-6-17)), найдем значение Н з в общем виде; Ц„„=(Асозх,х,+Вз!их, х,)(Ссозх,хз+(7з!пхзхз), (3-5-4) причем Х!+ Хз = Х' (3-5-4а) Остальные составляющее поля: Н„ь Нтз, Еап и Етз можно найти, выразив их через Н з с помощью уравнений (2-1-5): го! Н„=)саа„Е,„; го! Е = — )ьзр„Н .
Учитывая, что в случае Н-волны Е,=О, из этих уравнений можно найти: Ь, дН ° . мааз дН» . Н = — ! — — Ез=! «а дЙ» ' Жид Нз Хз дх, Хз дхз (3-5-5) (3-5-6) где лз и л — целые числа. Отсюда »= )/( —.)»- ( —,). (3-5-ба) Обозначив АС=Н и подставляя выраженис, - -, ,3-5-4, в (3-5-5), с четом (3-5-6) получим нижеследующие формулы, описывающие поле волны ,су угольном волноводе: ц , =Ц соз ! — х ) соз 1- хз! е та слл с лл — сь,», Ха с, а Хз тл ! .
лл ! — сь.»,, Н, — (/г — ' Н соз ! — х,, з!и ! — ' хз) е Х' Хз тл 1 ~лл С -сь,»,. 7„р„.' Нз;и! — х,)соз( — х,) е " *. пл — " Х» (3-5-7) — 255— П явные интегрирования в выражении (3-5-4) найдем из удовлетворения граничному усло и остояннь вию Е =О, которое сводится к следующим условиям: Е, =О при х,=о и при хз=Ь; Е,=О при хс=о и при ха=а. Подставляя в эти условия значения Ез и Ез нз уравнений (3-5-5), получим: дНа ( дН»~ — =О; — 1 =О; дх, !»,=а ' дхз !»,=ь Из этих уравнений следует: тл лл В=О; ()=О, Х,= — '; Х,= —, а Условием распространения поля является вещественное значение постоянной распространения, которая согласно выражению (3-4-9) равна = 1Г-О'= ~-~Ы Вместе с тем на основании рзвенства (3-5-3) имеем: «л-«м,)«««-(,«); вследствие этого можно написать: Х /нр 7« „>= 7 =Л.р На основании этого соотношения, учитывая равенство (3-5-6а), находим выражения, определяющие критическую частоту и длину критической волны прямоугольного вол новода: Р'(-".)' ( — ".
1' 2 нр (3-5-9) Л«н! еа« Из этих выражений следует, что Лнр определяется лишь геометрическими размерами волновода, тогда как )нр зависит не только от этих размеров, но и от параметров заполняющей волновод среды. Длина волны, фазовая и групповая скорость в металлическом волноводе, а также его волновое сопротивление определяются выражениями (3-4-10) — (3-4-13), из которых следует, что фазовая скорость в волноводе больше, а групповая — меньше скорости распространения в неограниченной среде. Числа т и и в уравнениях (3-5-7) и (3-5-9), обозначающие тип волны, определяют число полуволновых изменений (вариаций) поля соответственно по осям х, и хл,. этими числами однозначно определяется критическая длина волны, соответствующая данным размерам волновода, причем согласно второму выражению — 256— (3-5-9) с увеличением т и и критическая длина волны уменьшается.
Основным или низшим типом волны называется такой тип, которому соответствует наибольшая длина критической волны при данных поперечных размерах волновода Поперечные размеры волновода, рассчитанного на основной тип волны, для заданной частоты оказываются наименьшими. Волна низшего типа обладает меньшей дисперсией, т е.
для такой волны волновод оказывается более широкополосной линией связи. Действительно, нз выражения « «Ьф «р«р 4 Ь.~ ( 1 "1«) (3-5-10) Н,=Исоа~-" — ") е "'*; л 'ла/ . 2«« Е = — 1'=301нз!П(п — ') е н«л (3-5-1 1) которые получаются из выражений (3-5-7) при подстановке в них т= 1 и и =0 с учетом формул (3-5-8) и (3-5-9). 17 — 552 1' Л„Л', полученного на основе формул (3-4-10) (3-4-11) и «1рф 1 «1ргр 1 (3-5-9). видно, что производные — ~ и ~ —,— ~ убыва«от лЛ,~ (Н., ~ с уменьшением чисел т н и т.
е. с увеличением Л«р. Если одно из чисел т нлн и равно нулю, то, как это следует из выражений (3-5-7), поле будет существовать. Поэтому низшим типом волны Н в прямоугольном волноводе при а)Ь является волна Ньь для которой Лнр= = 2а. Прямоугольный волновод с волной Нш имеет большое практическое значение в технике сверхвысоких частот. Структура поля волны Н,р описывается формулами: Отсюда (3-5- 13) Нз=Н соз (о>! — йо.тз)' Н,=О; (3-5-!2) О в плоскости х,=— 2 — 259— — 258— Структура поля волны Нм представлена графически на рис.
3-46. В направлении хз электрическое поле однородно, т. е. электрические линии параллельны оси ха, распределение электрического поля по оси хт имеет вид стоячей волны, причем вдоль стороны а укладывается одна полуволна, вдоль оси хз поле имеет вид бегущей волны. Рпе 3-45 Структура поля волям Н>е в пряпоутольяоч возвовохе. Важно отметить, что согласно формулам (3-5-1!) магнитное поле имеет две составляющие, амплитуды которых зависят от координат рассматриваемой точки.
Составляющие эти сдвинуты в пространстве на 90' н во времени на Т~4. Таким образом, магнитное поле имеет эллиптическую поляризацию, которая вырождается в линейную в точках плоскостей, соответствующих х,=О, х>=а/2 и х>=а, В плоскостях х,=О и х,з а Н, =- — ~ ° ! — ~ — ~ Н сйп (о>! — йе хз)' (3-5-12а) Н,=О. Магнитное поле имеет круговую поляризацию в точках, где амплитуды составляющих Н, и Нз равны, Точки зти лежат в плоскостях, называемых плоскостямн круговой поляризации.
Таких плоскостей две; они параллельны боковым стенкам волновода и находятся на одинаковых расстояниях от них. Вращение вектора Н в точках, лежащих на различных плоскостях круговой поляризации, имеет противоположное направление. Положение плоскостей находится из условия равенства амплитуд составляющих магнитного поля в точках этих плоскостей ~соз~ — )~ = —. 1, ! — ( — ~ 5>п( — )р где х> — расстояние плоскости круговой поляризации от соотвстствующей боковой стенки, Из этой формулы видно, что положение плоскости круговой поляризации с изменением частоты изменяется.
На основании третьей формулы (3-5-11) плотность тока смещения в прямоугольном волноводе 3,в==-з„— = е, —" —.' Н з!и /"— "'~ соя(о>! — йз х,). (3-5-14) д> х, х> уа> По внутренней поверхности стенок волновода текут токи проводимости; их плотность может быть определена на основе формулы (З-З-!1а) при соответствующей подстановке значений Н, и Н, из формулы (3-5-!1). Иа вертикальных стенках (рис. 3-45) Я„,,= '-езН соя(п>! — Аохз) (3-5-15) и на горизонтальных стенках Х з>н (о>! — Ла хз)' =+ Н соз( — ' соз(п>! — йзхз). > и/ (3-5-!8) (3-5.16) глр (3-5-19) (3-5-!7) — 26!— Картина поверхностных токов и токов смещения дана на рис.
3-47. Из этого рисунка видно„что токи проводимости н токи смещения образуют замкнутые линни полного тока. Поле волны Е в прямоугольном волноводе находится аналогично случаю Н-волны: решается скалярное волновое уравнение для Ея, аналогичное (3-5-2), а остальные составляющие находятся из уравнений Максвелла (2-1-5). В результате получаем: (, а Хт ггпп т, ! ап Е, = — )а — Е соз ~ — х ) ейп ~ — ' хе) е т я Х ~ а Е„,=- — (йе — Е31п ( — хт) соз~ — 'хв) е т,а ) 1Ь ) Ц„„= !шея, — Е згн (' — х,) соз ( — х, ! Е успп У .
тлп ! — тееч Ц„„= — /ятем — Е соз (~ — х,) Вп ( — хя) е (а ) (ь ! Здесь Х, Х, и Х определяются выражениями (3-5-6) и (3-5-6а). Рис. 3-47. Токи проводимости и токи смещеяия вопим Нтт. В уравнениях (3-5-16) ни пт, ни н не могут равняться нулю, так как при этом все составляющие поля обращаются в нуль. Поэтому низшим типом волны Е в прямоугольном волноводе является вотна Еы, которая существует при т=п= 1; структура ее поля показана на рис. 3-48.
На основании второго выражения (3-5-9) критическая длина волны этого типа 2аЬ Хк кя )го —,- Ьт — 200— Металлический волновод круглого сечения, Скалярное волновое уравнение, аналогичное (3-5-2) в цилиндрических координатах 1см. формулу (Д-6-22)) имеет следующий вид: тгтлт 1 дАе 1 дтАт т — + — — *+ — — +, А,=б. дг' г дг Гт да' Здесь под А, подразумевается Н, или Е„а Х вЂ” опреде. ляется тем же выражением (3-5-3), как и в случае пря- Рпс. 3-43.
Структуре поля волиы Н„ в прямоугольном вопяоволе, моугольного волновода. Решение уравнен! я ( - - ) (3-5-18) 28 редставляет-я в аиде провзведепня тригонометрических функций (Л-6-26б) н фтнкштй Бесселя (Д-6- ) А,=-А,1а (Хг),',.'„"~ (па) е т~'. (3-5-18а) В круглом волповоде, как и в прямоугольном, могут распространяться волны Н„,„и Е„„,. С помощью уравнений (2-1-5) подобно тому, как это делалось прн выводе формул (3-5-7) и (3-5-16), получим, что структура поля волн Нп„, в круглом волноводе описывается выражениями Н цу (Хг)сет) (и сх) е Н = — 7' ~ НУ'(Хг)',",,',1(па)е ''; Х Ц 7 Я Ц г (Хг) т!и) (и!х) Х е (3-5-19) и!! © (3-5-20) ( ! Иа !гг)) (;,Д 1)(()414 (6 й )141 Н„ Ряс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
