Диссертация (1091498), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Поликруг радиуса r с радиусом a ∈ Cn определяетсякак множество точекU (a, r) = {z ∈ Cn : kz − ak < r} .Это шар с центром a в поликруговой метрике ρ1 . Он представляет собойпроизведение n плоских кругов радиуса r с центрами в точках aν .Определение 2.2. Функция f : U → C, где U -окрестность точки z ∈Cn ,называется C-дифференцируемой в этой точке, еслиf (z + h) = f (z) + l (h) + o (h) ,где l-некоторая C-линейная функция, а o (h)/|h| → 0 при h → 0.Определение 2.3.
Функция f называется голоморфной в точке z ∈ Cn ,если она C-дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.Теорема Хартогса [31](первая формулировка). Если функция f голоморфна в любой точке области D ⊂ Cn по каждому из переменных1Под поликруговой метрикой подразумевается метрика, в которой под расстоянием между точ-ками z и w понимается: kz − wk = max |zν − wν |.
([31])ν72zν , то она голоморфна в D. Также приведем еще одну формулировкутеоремы Хартогса.Будем говорить, что функция f голоморфна в точке a ∈ Cn в смыслеРимана, если f голоморфна по каждому переменному z в некоторомполикруге U (a, r).Будем говорить, что функция f голоморфна в точке a ∈ Cn в смыс-ле Вейерштрасса, если f разлагается в некотором поликруге U (a, r) встепенной ряд:f (z) =∞X|k|=0ck (z − a)k .Тогда теорему Хартогса можно сформулировать так:Теорема Хартогса [31](вторая формулировка). Понятия голоморфности в смысле Римана и в смысле Вейрштрасса эквивалентны.Используя теорему Хартогса, получаем следующую теорему.Теорема 2.1.
Функция G (h) голоморфная функция на Cn как функцияn комплексных переменных.Доказательство. Легко видеть, что∂Gk (h)∂εjсуществует и G (h) являетсяголоморфной функцией по переменной εj ∈ C, j, k = 1, . . . , n. Тогда потеореме Хартогса получаем утверждение теоремы.Сформулируем обратную задачу PεCj для n-секционной диафрагмыв следующей форме. Рассмотрим n различных частот Ω = (ω1 , . . . , ωn )и функции Gj (h) := G (h, ωj ), j = 1, . . .
, n. Необходимо найти решениенелинейной системы из n уравнений относительно неизвестных ε1 , . . . , εn :Gj (h) = Hj ,Hj = H (ωj ) ,j = 1, . . . , n.(2.12)Теорема 2.2. (Теорема существования и единственности решения обратной задачи PεCj ). Если (2.12) выполняется при h=h∗ ,73и если якобиан∂(G1 ,G2 ,...,Gn )∂(ε1 ,ε2 ,...,εn )6= 0 в точке h∗ , тогда функция G (h) ло-кально обратима в окрестности точки h∗ , и обратная задача имеетединственное решение для каждого h из этой окрестности.2Доказательство. По теореме о неявной функцииполучаем однознач-ную разрешимость системы уравнений (2.12).
Следовательно, получаемединственность решения обратной задачи.Рассмотрим уравнение (1.34). Оно может быть записано в следующейформе:G(B) (h) = H (B) ,гдеG(B) (h) =H (B) =γn (+)(n) pµ11 n+1γn (−)(n) pn+1µ11A,B+γ0 (+)µ0 qn+1+γ0 (−)µ0 qn+1(2.13)(2.14)и h := (ε1 , . . . , εn ).Будем рассматривать (2.14) как комплексную функцию n комплексных переменных. Из (2.9) следует, что:!! γ00p2cos α1 i sin α1 µ0=γ10 − (1)q2i sin α1 cos α1µ11pj+1qj+1!=cos αji sin αjp1q1!.!(j−1)0γj−1 µ11i sin αj.(j)cos αj0γj µ11pjqj!.(2.15)Здесь (j = 2, . .
. , n). Тогда pn+1 , qn+1 можно представить как произведение матриц. Проводя такие же рассуждения как и в случае обратнойзадачи PεCj , можно показать, что справедлива следующая теорема.Теорема 2.3. Функция G(B) (h) голоморфная функция на Cn как функция n комплексных переменных.2[31]74Сформулируем обратную задачу QCεj для n-секционной диафрагмыв следующей форме.
Рассмотрим n различных частот Ω = (ω1 , . . . , ωn )(B)и функции Gj(h) := G(B) (h, ωj ), j = 1, . . . , n. Необходимо найти ре-шение нелинейной системы из n уравнений относительно неизвестныхε1 , . . . , εn :(B)Gj(B)(h) = Hj ,(B)Hj= H (B) (ωj ) ,j = 1, . . . , n.(2.16)Теорема 2.4. (Теорема существования и единственности ре∗шения обратной задачи QCεj ). Если (2.16) выполняется при h=h , и(B)(B)(B)∂ (G1 ,G2 ,...,Gn )6= 0 в точке h∗ , тогда функция G(B) (h)если якобиан∂(ε1 ,ε2 ,...,εn )локально обратима в окрестности точки h∗ , и обратная задача имеетединственное решение для каждого h из этой окрестности.Замечание 2.1.
Условия неравества нулю якобиана в Теоремах 2.3 и 2.4можно проверить численно. Таким образом, Теорема 2.3 и Теорема 2.4показывают возможность корректного решения рассматриваемых задач.2.1.4Восстановление комплексной диэлектрической проницаемости тонкой многосекционной диафрагмыВ данном пункте рассмотрены обратные задачи восстановления комплексной диэлектрической проницаемости тонкой многосекционной диафрагмы по коэффициенту прохождения (задача PεCj (lj ≪ 1)) или по ко-эффициенту отражения B/A (QCεj (lj ≪ 1)). Под "тонкой"многосекционнойдиафрагмой понимается диафрагма, у которой толщина lj ≪ 1, j = 1, n,т.е толщина каждой секции диафрагмы во много раз меньше высоты иширины диафрагмы.
Рассмотрим обратную задачу PεCj (lj ≪ 1).Коэффициент прохождения F/A известен из эксперимента.Рассмотрим задачу PεCj (lj ≪ 1. Решение данной задачи так же, каки решение задачи Pεj , рассмотренной в предыдущем пункте, сводится крешению системы нелинейных уравнений (2.4). Отличие состоит в том,75(+)(+)что рекуррентые соотношения (2.2) для pj ,qjимеют следующий видпри малых значениях толщин каждой секции диафрагмы (lj ≪ 1, j =1, n):limlj →0limlj →0(+)pj+1(+)qj+1= limlj →0= limlj →0(+)γj−1 pj cos αj(+)γj−1 pj i sin αj++(+)γj qj i sin αj(+)γj qj cos αj(+)= γj−1 pj(+)+ γj qj iαj ,(+)Таким образом, в случае тонкой многосекционной диафрагмы, решениеобратной задачи сводится к решению следующей системы уравнений:nQ2γj (ωk )Fj=0 , (2.17)(ωk ) =(+) (+)(+) (+)A−iγ(ω)l0jneγn (ωk ) p̃n+1 (ωk ) + γ0 (ωk ) q̃n+1 (ωk )где(+)(+)(+)p̃j+1 = γj−1 p̃j + iγj2 (lj − lj−1 )q̃j ,r(+)(+)(+)(+)q̃j+1 = iγj−1 γj (lj − lj−1 )p̃j + γj q̃j ,(2.18)r2π22 − π (j = 1, n)=kja2a2Решая полученную систему методом Левенберга-Марквардта, находимγj =ω 2 εj µ0 −искомые комплексные диэлектрические проницаемости каждой секциимногосекционной диафрагмы.Решение обратной задачи QCεj (lj ≪ 1 сводится к решению системыуравнений (2.7).
Отличие состоит в том, что рекуррентые соотношения(±)(±)(2.6) для pj ,qjимеют следующий вид при малых значениях толщинкаждой секции диафрагмы (lj ≪ 1, j = 1, n):(±)p̃1(±)= 1; p̃2(±)(±)= γ0 , q̃1(+)p̃j+1 = γj−1 p̃j(±)q̃j+1(±)= 1, q̃2= iγ0 γ1 l1 ± γ1 ;(+)+ iγj2 (lj − lj−1 )q̃j ;= iγj−1 γj (lj −(+)lj−1 )p̃j+(+)γj q̃j ;j = 2, n.(2.19)Тогда система (2.7) в случае обратной задачи QCεj , lj имеет вид:(−)(−)γn (ωk ) p̃n+1 (ωk ) + γ0 (ωk ) q̃n+1 (ωk )B(ωk ) =, j = 2, n(+)(+)Aγn (ωj ) p̃n+1 (ωk ) + γ0 (ωk ) q̃n+1 (ωk )76(+)= γj−1 γj (lj − lj−1 ) ipj +γj qj ,(2.20)Решая систему (2.20) методом Левенберга-Марквардта, находим искомые комплексные диэлектрические проницаемости каждой секции многосекционной диафрагмы.2.1.5Восстановление тензора диэлектрической проницаемостиВ данном пункте представлена задача PεbRj .Будем предполагать, что диафрагма Q разделена на n секций, каждая из которых представляет собой анизотропную среду с известнымдиагональным тензором магнитной проницаемости (1.1) и с диагональным тензором диэлектрической проницаемости в каждой секции диафрагмы:(j)ε11 (ω)00(j).ε̂(j) (ω) = (2.21)0ε(ω)02200ε0.(j)(j)(j)Здесь εkk (ω) = εkk +iσk ω, k = 1, ..., n.
Обратная задача PεCj состо-ит в том, чтобы найти все компоненты диагонального диэлектрического тензора ε̂(j) каждой секции диафрагмы по известному коэффициентупрохождения F/A.Для тензоров (2.21) справедлива следующая формула зависимостикоэффициента F/A от компонент диэлектрических и магнитных тензоров:F=A2nQγj(j)j=0 µ11eiγ 0 ln ,γ0 (+)γn (+)(n) pn+1 + µ qn+10µ(2.22)11гдеpj+1 =γj−1p cos αj +(j−1) jµ11γjq i sin αj ,(j) jµ11αj = γj (lj − lj−1 ) ,77qj+1 =γj−1p i sin αj +(j−1) jµ11j = 0, 1, . .
. , n.γjq(j) jµ11cos αj ,(2.23)Таким образом, (2.22) представляет собой комплексное уравнение с n(j)комплексными неизвестными ε22 (ω) или с 2n действительными неиз(j)(j)вестными ε22 , σ2 . Из уравнения (2.22) при n различных частотах ωs(s = 1, . . . , 2n), получаем следующую систему уравнений:2F(ωs ) =AnQγj (ωs )(j)j=0 µ11γn (ωs ) (+)(n) pn+1 (ωs )µ11+γ0 (ωs ) (+)µ0 qn+1 (ωs )eiγ 0 (ωs )ln , s = 1, .
. . , 2n,(2.24)решая которую методом Левенберга-Макрвардта, находим все неизвест(j)(j)ные ε22 , σ2 (j = 1, . . . , n).Для того, чтобы найти остальные компоненты диагонального тензораε̂(j) , рассмотрим поворот диафрагмы на угол ϕ = π/2 относительно осиOz, которому соответствует матрица:0 1 0.A1 = −1000 0 1В результате поворота тензор диэлектрической проницаемости будетиметь вид:ε̃(j)(j)= A−1ε̂A,ε̃=11εj22 (ω)000εj11 (ω)000εj33 (ω).(2.25)Тензор магнитной проницаемости преобразуется также. Тогда для новых тензоров мы получим следующую формулу зависимости коэффициента прохождения F/A от γ̃j :гдеF=A2nQγ̃j(j)j=0 µ22γ̃n (+)(n) p̃µ11 n+1+γ̃0 (+)µ0 q̃n+1 eiγ0 ln ,p̃j+1 = γ̃j−1 p̃j cos(α̃j ) + γ̃j q̃j i sin(α̃j ),78(2.26)(2.27)q̃j+1 = γ̃j−1 p̃j i sin(α̃j ) + γ̃j q̃j cos(α̃j ),α̃j = γ̃j (lj − lj−1 ),π 2 (j) (j)(j) (j)2(2.28)γ̃j =ω ε11 µ33 − 2 µ22 /µ33 , j = 1, .
. . , n.aПри n различных частотах ωs , (s = 1, . . . , 2n) окончательно получимrследующую систему уравнений:2nQγj (ωs )(j)Fj=0 µ22 eiγ0 (ωj )ln ,(ωs ) = (+)(+)γ(ω)γ(ω)ns0sA(n) pn+1 (ωs ) +µ0 qn+1 (ωs )µ22s = 1, . . . , 2n,(2.29)решая которую методом Левенберга-Марквардта, мы находим все неиз(j)(j)вестные ε11 , σ1 (j = 1, . .
. , n).На практике данный поворот можно осуществить, при этом будетизменяться ширина и высота образца. Полученные результаты можноиспользовать при решении задач, в которых предполагается, что электромагнитные параметры образца не зависят от его геометрических размеров.79Глава 3Численные методыВ данной главе представлен численный метод решения систем нелинейных уравнений, которые соответствуют рассматриваемым в диссертации обратным задачам. Разработанный метод представляет собой модифицированный метод Левенберга-Марквардта. Новизна заключаетсяв выборе начального приближения. Выбор начального приближения осуществляется двумя способами:1) с помощью решения обратной задачи для тонких диафрагмах ( поформулам (1.81) или (1.83));2) с помощью решения задачи для односекционной диафрагмы ( поформулам (1.54) или (1.71)).Результаты опубликованы в [7, 8, 9],[74]-[80].3.1Алгоритм Левенберга-МарквардтаВ данном пункте будет рассмотрен алгоритм метода решения нелинейных систем уравнений – метод Левенберга-Марквардта (МЛМ).Алгоритм Левенберга-Марквардта является одним из наиболее распространенных алгоритмов решения задачи минимизации.При описании алгоритма МЛМ используются обозначения, принятыев книге [57].80Во второй главе были рассмотрены обратные задачи дифракции PεRj иRQRεj .
Было показано, что решение задачи Pεj сводится к решению системынелинейных уравнений (2.4):(3.1)rj (x) = 0, j = 1, . . . , n,гдеnQγj (ωj )Fj=0.rj (x) = (ωj ) −(+)(+)A−iγle 0 n γn (ωj ) p̃n+1 (ωj ) + γ0 (ωj ) q̃n+1 (ωj )2Было показано, что решение задачи QRεj сводится к решению системынелинейных уравнений (2.7):(3.2)rj (x) = 0, j = 1, . . . , n,(−)(−)γn (ωj ) pn+1 (ωj ) + γ0 qn+1 (ωj )Bj = 1, . . . , n,rj (x) = (ωj ) −(+)(+)Aγn (ωj ) pn+1 (ωj ) + γ0 qn+1 (ωj )(±)(±)где pj , qj (j = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
