Диссертация (1091498), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. . , n) вычисляются по формулам (2.6).Будем приближенно решать систему нелинейных уравнений (3.1) (или(3.2)) посредством минимизации функции f (x), которая имеет вид:m1X 2r (~x),f (x) =2 j=1 jгде ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ) – вектор, а rj – функция отображения из Rn → R.Функция f представляется вектором невязки r : Rn → R вида:r(x) = (r1 (x), r2 (x), . . . , rm (x)).Функцию f можно записать как f (x) = 12 kr(x)k2 , а ее производные представить с помощью матрицы Якоби J(x) =Можно показать, что:∇f (x) =mX∂rj∂xi ,1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n.rj (x)∇rj (x) = J(x)T r(x),j=181(3.3)2T∇ f (x) = J(x) r(x) +mXrj (x)∇2 rj (x).(3.4)j=1В случае, если функции rj (x) или ∇2 rj (x) достаточно малы, тогда, имеяматрицу Якоби J, гессиан ∇2 f (x) можно вычислить следующим обра-зом:∇2 f (x) = J(x)T J(x)(3.5)Рассмотрим алгоритм Левенберга-Марквардта, который можно представить в виде следующей последовательности действий:1.
Задать λ и x0 .2. Выполнить вычисление по следующей формуле:xi+1 = xi − (H + λdiag[H])−1 ∇f (xi ),(3.6)где H – матрица Гессе, вычисленная в точке xi , diag[H] – диагональгессиана, λ – заданный параметр.3. Оценить невязку rj в новом векторе параметров. Если |f (xi )| < δ,то вычисления заканчиваются. Если нет, то переходим к следующемушагу.4. Если в результате вычисления параметра невязка увеличилась,вернуться на шаг назад и увеличить λ в 10 раз.
Затем повторить выполнение алгоритма, начиная с шага 1.Достаточные условия сходимости и обоснования метода ЛевенбергаМарквардта представлены в [57].3.2Выбор начального приближенияОдной из основных трудностей при решении систем нелинейных уравнений итерационным методом является выбор начального приближения.В диссертации разработаны два подхода по выбору начального приближения для исследуемых обратных задач:821) с помощью решения обратной задачи для тонких диафрагмах ( поформулам (1.81) или (1.83));2) с помощью решения задачи для односекционной диафрагмы ( поформулам (1.54) или (1.71)).В случае решения реальной задачи значения коэффициентов прохождения или отражения известны из эксперимента.Алгоритм решения обратной задачи для многосекционной диафрагмы.1.
На первом шаге мы предполагаем, что исходная многосекционнаядиафрагма представляет собой односекционную диафрагму.1.a Если ε ∈ C, то с помощью формул для тонких диафрагм (1.81) или(1.83) определяем диэлектрическую проницаемость ε всей диафрагмы.1.b Если ε ∈ R, то с помощью аналитических формул (1.54) или (1.71)определяем так называемую эффективную диэлектрическую проницаемость εef f всей диафрагмы.2. Значение диэлектрической проницаемости, полученное на первомшаге, используется в качестве начального приближения для каждой секции многосекционной диафрагмы, таким образом формируется векторначального приближения x0 решения исходной обратной задачи для многосекционной диафрагмы.3.
Далее решается нелинейное уравнение или система нелинейныхуравнений исходной обратной задачи для многосекционной диафрагмыметодом Левенберга-Марквардта по формулам (3.1)–(3.6).4. В результате решения уравнения или системы уравнений находимзначения неизвестных величин.В анизотропном случае выбор начального приближения осуществляется аналогично. Здесь в качестве начального приближения выбираетсядиагональный тензор с равными εef f ненулевыми компонентами.83Глава 4Комплекс программ и численныерезультатыВ данной главе представлены краткие описания комплексов программдля решения обратной задачи определения диэлектрической проницаемости и магнитной проницаемостей, а также представлены результатырасчетов.Результаты главы опубликованы в работах [7, 8, 9, 74]-[80].4.1Описание комплекса программЧисленный метод решения обратных задач, представленный в Главе3, реализован в виде комплекса программ (текст программ см.
Приложении 2). Работа программного комплекса состоит из 4 этапов.1 этап. Тип решаемой задачи - осуществляется выбор решаемойзадачи из 3 классов обратных задач: класса I, класса A и класса M.2 этап. Входные параметры задачи - передаются входные параметры. Набор входных параметров различный для разных типов задач.1. Входные параметры задач класса I.R1.1 Для задач PεR1 , Pε1 , PεR1 (l1 ≪ 1), (QRε1 , Qε1 , Qε1 (l1 ≪ 1)):• ширина волновода a ([cм], тип: вещественный),84• высота волновода b ([cм], тип: вещественный),• толщина диафрагмы l1 ([cм], тип:вещественный),• частота f ([ГГц], тип: вещественный),• коэфициент прохождения F/A (тип: комплексный) (или коэфициентотражения B/A (тип: комплексный)).1.2 Для задач PεR1 ,l1 (QRε1 , l1 ):• ширина волновода a ([cм], тип: вещественный),• высота волновода b ([cм], тип: вещественный),• частота f ([ГГц], тип: вещественный),• коэфициент прохождения F/A (тип: комплексный) (или коэфициентотражения B/A (тип: комплексный)).2.
Входные параметры задачи класса A.2.1 Для задачи PεbR1 :• ширина волновода a ([cм], тип: вещественный),• высота волновода b ([cм], тип: вещественный),• тензор магнитной проницаемости µb1 (тип: вещественный),• толщина диафрагмы l1 ([cм], тип:вещественный),• частота f ([ГГц], тип: вещественный),• коэфициент прохождения F/A (тип: комплексный).2.2 Для задач PµbR1 , (QRµb1 ):• ширина волновода a ([cм], тип: вещественный),• высота волновода b ([cм], тип: вещественный),85• тензор диэлектрической проницаемости εb1 (тип: вещественный),• толщина диафрагмы l1 ([cм], тип:вещественный),• частота f ([ГГц], тип: вещественный),• коэфициент прохождения F/A (тип: комплексный) (или коэфициентотражения B/A (тип: комплексный)).2.3 Для задачи PεbR1 ,bµ1 :• ширина волновода a ([cм], тип: вещественный),• высота волновода b ([cм], тип: вещественный),• компонента тензора магнитной проницаемости µ33 (тип: вещественный),• толщина диафрагмы l1 ([cм], тип:вещественный),• частота f ([ГГц], тип: вещественный),• коэфициент прохождения F/A (тип: комплексный).3.
Входные параметры задачи класса M.R3.1 Для задач PεRj , Pεj , PεRj (l1 ≪ 1), (QRεj , Qεj , Qεj (l1 ≪ 1)):• n-количество секций диафрагмы,• ширина волновода a ([cм], тип: вещественный),• высота волновода b ([cм], тип: вещественный),• толщина каждой секции диафрагмы lj (j = 1; n) ([cм], тип:вещественный),• вектор частот fj (j = 1; k) (k = n во всех задачах, кроме PεRj и QRεj ,в которых k = n2 ) ([ГГц], тип: вещественный),86• коэфициент прохождения Fj /A (тип: комплексный) (или коэфициент отражения Bj /A (тип: комплексный))(j = 1; k) на соответству-ющих частотах fj .3.2 Для задач PεRj ,lj (QRεj ,lj ):• n-количество секций диафрагмы,• ширина волновода a ([cм], тип: вещественный),• высота волновода b ([cм], тип: вещественный),• вектор частот fj (j = 1; k) (k = n во всех задачах, кроме PεRj и QRεj ,в которых k = n2 ) ([ГГц], тип: вещественный),• коэфициент прохождения Fj /A (тип: комплексный) (или коэфициент отражения Bj /A (тип: комплексный))(j = 1; k) на соответствующих частотах fj .3.3 Для задачи PεbRj :• n-количество секций диафрагмы,• ширина волновода a ([cм], тип: вещественный),• высота волновода b ([cм], тип: вещественный),• тензор магнитной проницаемости µbj (тип: вещественный) каждой секции многосекционной диафрагмы,(j)• компонента тензора диэлектрческой проницаемости ε33 (j = 1; n)(тип:вещественный) каждой секции многосекционной диафрагмы,• толщина каждой секции диафрагмы lj (j = 1; n) ([cм], тип:вещественный),• вектор частот fj (j = 1; n)([ГГц], тип: вещественный),• коэфициент прохождения Fj /A (тип: комплексный) (j = 1; n) насоответствующих частотах fj .873 этап.
Неизвестные величины. Указываются неизвестные величины решаемой обратной задачи и их тип.1. В задаче PεR1 – ε1 (безразмерная, тип: вещественный).2. В задаче QRε1 – ε1 (безразмерная, тип: вещественный).3. В задаче PεC1 – ε1 (безразмерная, тип: комплексный).4. В задаче QCε1 – ε1 (безразмерная, тип: комплексный).5. В задаче PεR1 ,l1 – ε1 (безразмерная, тип: вещественный) и толщинадиафрамгы l1 ([см], тип: вещественный).6.
В задаче QRε1 ,l1 – ε1 (безразмерная, тип: вещественный) и толщинадиафрамгы l1 ([см], тип: вещественный).7. В задаче PεC1 (l1 ≪ 1) – ε1 (безразмерная, тип: комплексный).8. В задаче QCε1 (l1 ≪ 1) – ε1 (безразмерная, тип: комплексный).9. В задаче PεbR1 – ε11 , ε22 ,ε33 (безразмерная, тип: вещественный).10. В задаче PµbR1 – µ11 , µ22 , µ33 (безразмерная, тип: вещественный).11.
В задаче QRµb1 – µ11 , µ22 , µ33 (безразмерная, тип: вещественный).12. В задаче PεbR1 ,bµ1 – µ22 , µ33 и ε11 , ε22 , ε33 (безразмерная, тип: веще-ственный).13. В задаче PεRj – относительные диэлектрические проницаемостикаждой секции многосекционной диафрагмы εj , j = 1, n (безразмерная,тип: вещественный).14. В задаче QRεj – относительные диэлектрические проницаемостикаждой секции многосекционной диафрагмы εj , j = 1, n (безразмерная,тип: вещественный).15. В задаче PεCj – относительные диэлектрические проницаемостикаждой секции многосекционной диафрагмы εj , j = 1, n, (безразмерная,тип: комплексный).16. В задаче QCεj – относительные диэлектрические проницаемостикаждой секции многосекционной диафрагмы εj , j = 1, n, (безразмерная,тип: комплексный).8817.
В задаче PεRj ,lj – относительные диэлектрические проницаемостиεj (безразмерная, тип: вещественный) и толщины lj , j = 1, n ([см], тип:вещественный) каждой секции многосекционной диафрагмы.18. В задаче QRεj ,lj – относительные диэлектрические проницаемостиεj (безразмерная, тип: вещественный) и толщины lj , j = 1, n ([см], тип:вещественный) каждой секции многосекционной диафрагмы.19. В задаче PεCj (lj ≪ 1) – относительные диэлектрические прони-цаемости εj , j = 1, n (безразмерная, тип: комплексный) каждой секциимногосекционной диафрагмы.20. В задаче QCεj (lj ≪ 1) – относительные диэлектрические прони-цаемости εj , j = 1, n (безразмерная, тип: комплексный) каждой секциимногосекционной диафрагмы.21.
В задаче PεbRj являются компоненты тензора относительной ди(j)(j)(j)электрической проницаемости – ε11 , ε22 , ε33 , j = 1, n (безразмерная, тип:вещественный) каждой секции многосекционной диафрагмы.4 этап. Вычисление неизвестных обратной задачиВ данной части программы осуществляется нахождение неизвестныхзадачи. В зависимости от типа задач вычисление неизвестных осуществяется либо с помощью аналитических формул, либо с использованием метода Левенберга-Марквардта с выбором начального приближения(либо по формулам (1.54)–(1.56),(1.71), либо по формулам (1.81), (1.83)).1. В обратной задаче PεR1 вычисление неизвестных осуществляетсяаналитически по формулам (1.54)-(1.56).2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
