Диссертация (1091498), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Из (1.96) следует, что (в области определения всехфункций) верно следующее соотношение:(ζ (j) )2(ρ ) + 2 (j) = 1,h (τ )(j) 2h(τ ) > 0 (j = 1, 2, 3).Из (1.96) и (1.97) имеем:2h (τ(j) (j) ρ < 1 (j = 1, 2, 3).(ζ (j) )2)=,1 − (ρ(j) )2(1.101)С другой стороны h(τ (j) ) (j = 1, 2, 3) определяются по формулам(1.87), (1.91) и (1.95).

Тогда получаем: (j) ζ h(τ (j) ) = Q(j) , Q(j) := p> 0, (j = 1, 2, 3).1 − (ρ(j) )2(1.102)Из уравнений (1.102) получаем соответствующие квадратные уравне-ния:µ11µ11 (j)τ + (γ0 l1 )2 ( )2 = 0, (j = 1, 3),µ0µ0µ22 (2)µ22(τ (2) )2 − 2γ0 l1 Q(2)τ + (γ0 l1 )2 ( )2 = 0,µ0µ0(τ (j) )2 − 2γ0 l1 Q(j)(1.103)(j)которые имеют следующие корни (1.99) и (1.100), причем τ1,2 (j = 1, 2, 3)- действительные, если Q(j) ≥ 1(j = 1, 2, 3). Поэтому:(ρ(j) )2 + (ζ (j) )2 ≥ 1, (j = 1, 2, 3).(1.104)Неравенства (1.104) представляют собой условия существования решения уравнений (1.103).При выполнении условия: τ (j) /(γ0 l1 µµ110 ) > 1 (j = 1, 3) и τ (2) /(γ0 l1 µµ220 ) >(j)1 , справедливо τ (j) = τ1 (j = 1, 3).57При выполнении условия: τ (j) /(γ0 l1 µµ110 ) < 1 (j = 1, 3) и τ (2) /(γ0 l1 µµ220 ) <(j)1 , справедливо τ (j) = τ2 (j = 1, 3).Следует отметить, что сведение к квадратным уравнениям (1.103)– не эквивалентное преобразование.

Необходимо дополнить уравнение(1.103) уравнениями системы (1.97), принимая во внимание знаки ρ(j) иζ (j) (j = 1, 2, 3). В результате система (1.97) эквивалентна системе:(cos τ (j) = ρ(j) , sign ζ (j) = sign sin τ (j) ,(1.105)(j) 2(ρ(j) )2 + h(ζ2 (τ (j)) ) = 1, (j = 1, 2, 3).Таким образом, получены явные формулы восстановления всех трехкомпонент диагонального тензора диэлектрической проницаемости εb.1.4.2Восстановление тензора магнитной проницаемостиПункт 1.7 посвящен задачам восстановления диагонального тензорамагнитной проницаемости по коэффициенту прохождения F/A (задачаPµbR1 ) или коэффициенту отражения B/A (задача QRµb1 ).Рассмотрим обратную задачу PµbR1 .Будем предполагать, что магнитная проницаемость вне диафагмыµ0 = 1.

Тензоры магнитной и диэлектрической проницаемостей являются диагональными. Тензор диэлектрической проницаемости известен. Вслучае односекционной диафрагмы справедливы формулы (1.41), (1.43)зависимости коэффициента прохождения F/A от компонент диэлектрического и магнитного тензоров, а именно от компоненты ε22 диэлектрического тензора и от компонент µ11 и µ33 .Так как тензор диэлектрической проницаемости известен, то тогдаимеем одно комплексное уравнение (1.41) с двумя неизвестными компонентами µ11 и µ33 тензора µb магнитной проницаемости. Для того, чтобынайти все три компоненты µ11 , µ22 и µ33 , воспользуемся методом поворо-та диафррагмы, изложенным в предыдущем пункте для восстановлениядиагонального тензора диэлектрической проницаемости.581 0 0Пусть A1 - тождественное преобразование A1 =  0 1 0 .0 0 1Очевидно, что εb(1) = A−1b1 A1 .

Преобразование A1 соответствует ис1 εходному положению диафрагмы.(1)Выражение γ1определяется по формуле (1.85). Уравнение (1.41)примет вид (1.86).Рассмотрим преобразование A2 .0 0 −1.A2 = 0101 00(1.106)После поворота исходный тензор преобразуется в µb(2) = A−1b1 A2 .2 µФормулы преобразования компонент тензора при повороте пространстваотносительно оси Oz имеют вид:0 0 1µ11 00µb(2) = µ22 0 0 1 0  0−1 0 000µ330 0 −1 0 11 0µ33 00  0 µ22 0 =0 00 0µ11Преобразование (1.106) есть не что иное, как поворот диафрагмы наугол ϕ =π2относительно оси Oy.

Такое преобразование можно выпол-нить на практике, используя образец с геометрическими параметрами a,b, l1 =a.Тензор диэлектрической проницаемости преобразуется как и тензормагнитной проницаемости, т.е. εb(2) = A−1b1 A2 :2 εε33 0 0εb(2) =  0 ε22 0  .0 0 ε11Выражение для γ1 в случае тензоров εb(2) и µb(2) примет вид:sπ 2 µ33(2).γ1 = ω 2 ε22 µ33 − 2a µ1159(1.107)Тогда уравнение (1.41) для тензоров εb(2) и µb(2) имеет вид:eiγ0 l1F (2),=Ag(τ (2) )(1.108)g(τ (2) ) = cos τ (2) + ih(τ (2) ) sin τ (2) ,гдеτ (2) µ0γ0 l1 µ33+ (2),2γ0 l1 µ33 2τ µ0sπ 2 µ33(2).= γ1 l1 = l1 ω 2 ε22 µ33 − 2a µ11h(τ (2) ) =τ (2)(1.109)Рассмотрим преобразование A3 , выраженное формулой (1.92).После поворота исходный тензор преобразуется в µb(3) = A−1b1 A3 .3 µПреобразование (1.92) есть не что иное, как поворот диафрагмы наугол ϕ =π2относительно оси Ox.

Такое преобразование можно выпол-нить на практике, имея образец с геометрическими параметрами a, b,l1 =b.Тензор магнитной проницаемости преобразуется как и тензор диэлектрической проницаемости, т.е. µb(3) = A−1b1 A3 :3 µµ11 00(3)µb =  0 µ33 0 .0 0µ22Выражение для γ1 в случае тензоров εb(3) и µb(3) примет вид (1.93).Тогда уравнение (1.41) для тензоров εb(3) и µb(3) имеет вид (1.94).Уравнения (1.86), (1.94), (1.106) образуют следующую систему урав-нений:F (1)AF (2)AF (3)A===eiγ0 l1,g(τ (1) )iγ0 l1e,g(τ (2) )iγ0 l1e,g(τ (3) )g(τ (j) ) = cos τ (j) + ih(τ (j) ) sin τ (j) , j = (1; 3)60(1.110)гдеh(τ(1)γ0 l1 µ11τ (1) µ0+ (1),)=2γ0 l1 µ11 2τ µ0h(τ(2)γ0 l1 µ33τ (2) µ0+ (2),)=2γ0 l1 µ33 2τ µ0(1.111)γ0 l1 µ11τ (3) µ0+ (3),2γ0 l1 µ11 2τ µ0sπ 2 µ11(1)= γ1 l1 = l1 ω 2 ε22 µ11 − 2,a µ33sπ 2 µ33(2)2= γ1 l1 = l1 ω ε22 µ33 − 2,a µ11sπ 2 µ11(3)2.= γ1 l1 = l1 ω ε33 µ11 − 2a µ22h(τ (3) ) =τ (1)τ (2)τ (3)Таким образом, получена система (1.111) из трех нелинейных уравнений для определения всех компонентов тензора.Для того, чтобы составить систему (1.111), потребуются измеренияF (1) , F (2) , F (3) .

Для этого на практике достаточно будет иметь образецс геометрическими параметрами (a, b, l1 = a). Для такого образца измеряем сначала F (1) , F (2) , выполнив повороты образца в соответствии сописанными преобразованиями A1 , A2 .Далее, изменив геометрические параметры образца на a, b, l1 = a2 ипространственную ориентацию образца в соответствии с преобразованием A3 , измеряем F (3) .Предполагается, что образец выполнен из композитного материала,для которого такое изменение геометрических параметров образца невлияет на компоненты µ11 , µ22 , µ33 , ε11 , ε22 и ε33 .Рассмотрим обратную задачу восстановления диагонального тензора магнитной проницаемости по коэффициенту отражения B/A (задачаRRQRµb1 ). Метод решения задачи Qµb1 аналогичен методу решения задачи Pµb1 .Отличие состоит лишь в том, что в задаче QRµb1 известен коэффициент61отражения B/A и поэтому используется уравнение (1.42) зависимостикоэффициента отражения B/A от компонент тензоров диэлектрическойи магнитной проницаемостей, а именно от компонент ε22 , µ11 и µ33 .Используя метод поворота диафрагмы, представленный выше для решения обратной задачи PµbR1 , получим следующую систему уравнений вслучае задачи QRµb1 :B (1)A=B (2)A=B (3)A=γ0 l1 µ11i 2τ(1) µ0γ0 l1 µ33i 2τ (2) µ0γ0 l1 µ11i 2τ(3) µ0−−−τ (1) µ02γ0 l1 µ11 τ (2) µ02γ0 l1 µ33 τ (3) µ02γ0 l1 µ11g(τ (j) ) = cos τ (j) + ih(τ (j) ) sin τ (j) ,гдеh(τ(1)sin τ,g(τ (1) )sin τ (2),g(τ (2) )sin τ (3),g(τ (3) )(1.112)j = (1; 3)τ (1) µ0γ0 l1 µ11)=+ (1),2γ0 l1 µ11 2τ µ0h(τ (2) ) =τ (2) µ0γ0 l1 µ33+ (2),2γ0 l1 µ33 2τ µ0(1.113)γ0 l1 µ11τ (3) µ0+ (3),h(τ ) =2γ0 l1 µ11 2τ µ0sπ 2 µ11(1)τ (1) = γ1 l1 = l1 ω 2 ε22 µ11 − 2,a µ33sπ 2 µ33(2)(2)2,τ = γ1 l1 = l1 ω ε22 µ33 − 2a µ11sπ 2 µ11(3)τ (3) = γ1 l1 = l1 ω 2 ε33 µ11 − 2.a µ22(3)Решая систему (1.112) численным методом решения системы нелинейных уравнений, определим все три компоненты магнитного тензора.Также, как и в случае задачи PµbR1 , для того, чтобы составить систему(1.112) потребуются измерения коэффициентов B (1) , B (2) ,B (3) .

Для этогона практике достаточно будет иметь образец с геометрическими параметрами (a, b, l1 = a) и известной диэлектрической проницаемостью ε(1) .62Для такого образца измеряем сначала B (1) , B (2) , выполнив повороты образца в соответствии с преобразованиями A1 , A2 .Далее изменив геометрические параметры образца на a, b, l1 =a2ипространственную ориентацию образца в соответствии с преобразованием A3 , измеряем B (3) .Предполагается, что образец выполнен из композитного материала,для которого такое изменение геометрических параметров образца невлияет на µ11 , µ22 , µ33 , εb(1) .1.4.3Восстановление тензоров диэлектрической и магнитнойпроницаемостиПункт 1.8 посвящен задачам восстановления диагонального тензора диэлектрической проницаемости и диагонального тензора магнитнойпроницаемости по коэффициенту прохождения F/A (задача PεbR1 ,bµ1 ).

Характеристики

Список файлов диссертации