Диссертация (1091292), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Модифицированные по Бергу оценки k-х коэффициентов корреляцииrˆ  k  T i  k ,ia i  k ,i1 / 2  a i ,i  a i  k ,i  k(3.36) 1, i  1, M  k , k  1, 2Для смеси (3.27) плотность распределения этих оценок равна [27]:p rˆ x, r, K 2K 1  x 1  x2K 3/21  r 2K2F 1 K , K  1 / 2 ; 1;  r x2(3.37)Параметрами этой плотности являются истинное значение = ∙ ККсмеси и объем К обучающей выборки. Среднее значение оценок (3.36) равноrˆ  r , K121 r2KKГ1/ 2KГ 13 3F2 , K , K  1 / 2 ; 1; K  1;  r 22,(3.38)а дисперсия2rˆ1K 1/ 21 r2K3F2 2, K , K 1 / 2 ; 1, K  3 / 2 ;  r2(3.39)30. Оценка Итакуры-Саито модулей k-х коэффициентов корреляции [51]M krˆ  k  T i  k ,i rˆ 3 a i  k ,ii 1M k 1,ˆ 1  ˆ 222ˆ 1 2Ma i , i , ˆ 2 2i 1a i ,i(3.40)i 1 k40.

Оценка Берга модулей этих коэффициентов [42]M krˆ  k  T rˆ 4 a i  k ,ii 11 / 2  ˆ 1  ˆ 222(3.41) 150. Оценки k-тых (ненормированных) корреляционных моментовrˆn , nkT rˆ 5  a i  k , i ,i  1,M  k,k  1, 260. Оценки усредненных k-тых корреляционных моментов [42](3.42)75ˆ a v  k  TM  k1M ka i  k ,i ,k  1, 2(3.43)i 1Отметим, что для оценок 3-6 плотности распределений неизвестны. Взависимости от способа оценки КК (1-6) для двух возможных значений k=1, 2рассмотрим пять групп оценок ШДСС. Варианты, подлежащие дальнейшемуанализу, будем обозначать по следующему принципу: первая цифра(римская) - № группы, вторая – способ оценки КК, третья – значение индексаk, которым соответствуют следующие формулы.

Все группы и вариантыоценок ШДСС сведены в таблицу 3.1.Для варианта, обозначенного как III.0.0 способ оценки КК и значениеиндекса k приняты нулями, так как здесь оценка ШДСС получается простымусреднением результатов оценок I-ой группы.В соответствии с данными таблицы 3.1 сравнительному анализуподвергаются 15 вариантов оценок ШДСС, статистические характеристикикоторых должны быть определены по единой методике.Варианты, для которых плотности распределений случайных ошибокаприори неизвестны, получим их эмпирически методом математическогомоделирования.

С этой целью в модели формируется N>>1 реализацийматрицы = ,(2.10), по которым строятся гистограммы и функции, =1распределения оценок = , ∈ 1, ШДСС. В зависимости от объема Кобучающей выборки, ОСШ η и истинной ширины W ДСС должны бытьопределены следующие статистические параметры оценок:N  N1i- среднее значение (СЗ)(3.44)i1NN1i 1( i   )2- среднеквадратическое отклонение (СКО)(3.45)76Таблица 3.1№группыIФормула оценки ШДСС, =II,Способ оценки ККс−2 (), ∈ 1, − 2()+1,= 3(2)+2,№ ККОбозначение вариантаПримечанияПолучена по одномуКК11I.1.121I.2.112I.1.222I.2.211, 2II.1.kПолучена по двум КК.21, 2II.2.kЗдесь: k=1 илиk=2.51, 2II.5.kТ1=Т0, Т2=2Т0__III.0.0Оценкаполученаусреднением оценокгруппы I31IV.3.141IV.4.1Получена по одномуКК32IV.3.242IV.4.231, 2V.3.k41, 2V.4.kПолучена по двумусредненным КК.61, 2V.6.kЗдесь: k=1 илиk=2.

∈ 1, − −III = ср = ( − )−1,=1IVV =с−2 () 2()= 3(2)Т1=Т0, Т2=2Т077Корректность результатов моделирования может быть проверена путем ихсравнения с точными результатами формул (3.33)-(3.39), т.е. при оценке ККстандартным методом (3.32) и модифицированным методом Берга (3.36).Заметим, что подобный статистический анализ оценок КК и ШДСС визвестных источниках отсутствует.3.3 Статистический анализ оценок коэффициентов корреляции припостоянных интервалах зондированияСравнение начнем с оценок КК, для которых известны плотностираспределения оценок, т.е. с I-ой и II-ой групп.На рис. 3.2 показаны плотности распределения стандартной оценки приедином КК отражений от МО, равном 0.9.

сплошными кривыми показаны оценкиrˆ ( T ), а штриховыми – оценкиrˆ ( 2 T )при различных ОСШ. Параметром графиковслужат значения объема обучающей выборки К.Рисунок3.2 Плотности распределения стандартной оценке ККНа графиках также указаны истинные значениясемейства для более низкого КК отражений МО при rˆ ( T ) 0, 6и  0,9rˆ ( 2 T ).. Аналогичныепоказаны на графикахрис 3.3Рисунок 3.3 Плотности распределения стандартной оценке КК  0, 678Как видно из приведенных рисунков, плотности распределений оценокиrˆ ( T )смещены вправо относительно истинных значений и это смещение темrˆ ( 2 T )меньше чем больше параметры  (ОСШ) и K. Причем по мере роста K плотностисимметрируются, а их максимумы уже при Kr1иr2 20близки к истинным значениям.На рис.3.4 и рис.3.5 показаны расчетные семейства зависимостей смещенияоценок групп I и II от объема выборки K при различных ОСШ:(3.46)  ( K )   ( k  T )  rˆ ( r ( k  T ) , K ) , k  1, 2Параметром семейств, здесь служат значения первого коэффициентакорреляции   (T )отражений от МО, сплошные кривые характеризуютсмещение оценки первого( k  1), а штриховые – второго(k  2)коэффициентовкорреляции.Рисунок 3.4 Зависимость смещения оценок от объема обучающей выборки (группа I)Рисунок 3.5 Зависимость смещения оценок от объема обучающей выборки (группа II)Как видно из этих рисунков, при малых ОСШоценкиrˆ ( T )(  5дБ) и «больших» Kпервых КК (сплошные кривые) смещены больше, чем оценки 20rˆ ( 2 T )79соответствующих вторых коэффициентов (штриховые кривые).

Это связано сменьшим отличием в этих условиях значений r(2T) от (2 T ), чем r(T) от (T ).Однако, при «больших» ОСШ оценки первых коэффициентов корреляции прилюбыхсвязиK  2ссмещены меньше оценок вторых коэффициентов корреляции. Втакойнеопределенностьюцелесообразнодополнительнопроанализировать СКО этих оценок.Зависимости СКО от объема выборкиKдля тех же условий, что и на рис.3.4 и рис. 3.5 показаны на рис. 3.6 и рис. 3.7.Рисунок 3.6 Зависимость СКО оценок I-ой группы от объема обучающей выборкиРисунок 3.7 Зависимость СКО оценок II-ой группы от объема обучающей выборкиВидно, что в большинстве случаев СКО оценок первого КК меньше СКОоценок второго КК. Незначительное преимущество оценок второго коэффициентакорреляции наблюдается только при малых значениях  5дБ (рис. 3.6а и 3.7а). (T )  0 , 6и малом ОСШ803.4 Сравнительный анализ статистических характеристик оценок ШДСС3.4.1 Анализ ошибок оценки ШДСС при постоянных интервалахзондирования (точные результаты)Отмеченные свойства статистических характеристик оценок КК I и II групп,длякоторыхизвестнызаконыраспределений,определяютсвойстваанализируемых на их основе оценок ШДСС.На основе известных из [55] методов можно получить плотностьраспределения случайных относительных ошибок I.1 и оценок ШДСС поалгоритму на основе оценок КК стандартным методом и МОБ:p ˆ ( x ,  , r , K )  | j a k ( x ,  |  p rˆ (  ( x ,  ) , r , K ) ,j a k ( x ,  )  2  (1  x )  l n    ( x ,  ) ,   ( k  T ), (x,  )  (1  x )2(3.47)Рисунок 3.8 – Плотности распределения оценок I.1.1 (сплошные кривые) и I.1.2 (штриховыекривые) (  ( T )  0 , 9 )Рисунок 3.9 – Плотности распределения оценок I.1.1 (сплошные кривые) и I.1.2 (штриховыекривые) (  ( T )  0 , 6 )На рис.

3.8, а – в показаны рассчитанные на основе (3.47) семействаплотностей распределения относительных ошибок оценок I.1.1 (сплошныекривые) и I.1.2 (штриховые кривые) при коэффициенте корреляции (T )  0 , 9отражений от МО и различных ОСШ. Параметр семейств – значения объема81обучающей выборкиK. Аналогичные семейства, но для  ( T ) 0, 6, приведены нарис.3.9 а-в.Из рисунков видно, что расположение мод(смещение) анализируемыхошибок измерения ширины в точности соответствует смещению оценок КК,показанному на рис.

3.2. Например, при (T )  0 , 9,  10дБ (рис.3.8,б) иK  20(положительное) смещение оценки I.1.2 меньше, чем оценки I.1.1, что согласуетсяс результатами рис. 3.2,б. при тех же условиях, а при (T )  0 , 6(рис.3.3,б) -наоборот.Однако соотношения дисперсий относительных ошибок измерения ширинымогут быть противоположны соотношению дисперсий оценок КК. Так, врассмотренном примере рис.3.8,б моды плотностей распределения оценки I.1.2при всехK  5,1 0 , 2 0 , 4 0превосходят соответствующие максимумы оценки I.1.1.Следовательно, дисперсия последней больше, чем первой. В то же времясоотношение дисперсий определяющих их коэффициентов корреляции обратное.В условиях рис.3.8,в практически совпадают плотности распределения ошибокобеих оценок и, следовательно, их дисперсии.3.4.2 Анализ ошибок оценки ШДСС при постоянных интервалахзондирования(результаты моделирования)Как отмечалось выше, для других видов оценок КК аналитическиеисследования невозможны из-за неизвестности их законов распределения.Поэтому ниже они сравниваются по результатам моделирования.Тестирование математических моделей проводилось путем сравнениярезультатов оценки средних значений и СКО оценок модулей КК по точнымформулам3.11б,(модифицированные3.11в(стандартныеоценкиБерга)иоценки),аполученнымитакже3.13б,3.13вобработкой25000математических экспериментов.На рис.

3.10 показаны плотности (а) и функции (б) распределенияотносительной ошибки измерения ШДСС на основе оценок I.1.1 и I.1.2,82рассчитанные по точной формуле (сплошные кривые) и полученные в серии из25000 экспериментов (штриховые кривые).Рисунок 3.10 – Плотности (а) и функции (б) распределения ошибокПрактическим совпадением результатов было доказано, что использованнаямодельобеспечиваетвысокуюстепеньсоответствиятеоретическихиэкспериментальных результатов, и поэтому пригодна для сравнительныхисследований всех видов оценок табл. 3.1.На ниже приведенных рисунках показаны экспериментальные функциираспределения относительных ошибок для групп I и II (рис.3.11), группы III(рис.3.12) и групп IV и V (рис.3.13) соответственно при коэффициентекорреляции отражений от МОK  5 (T )  0 , 9, но различных ОСШ при объеме выборки.Рисунок 3.11 – Функции распределения относительных ошибок измерения ШДСС групп I и II.Рисунок 3.12 - Функции распределения относительных ошибок измерения ШДСС на основеоценок группы III.83Рисунок 3.13 - Функции распределения относительных ошибок измерения ШДСС на основеоценок групп IV и V таблицы 3.1.Такая же подборка функций распределения для каждой группы оценок, нопри  ( T ) 0, 6, показана на рис.

Характеристики

Список файлов диссертации