Модельные представления процесса хрупкого разрушения полимеров в механических и температурных полях (1090785), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Эта теорияявляется наименее разработанной областью в физике нрочности твердых тел.Экспериментальные данные [144] показывают, что при установившемся тепловомпотокевтвердомтемпературныхтелестрещинойнапряжений, вьвванноепроисходитлокальнымзначительноевозрастаниемувеличениеабсолютнойвеличины температурного градиента в окрестности трещины. Можно нолагать, чтотемпературные поля расширепия (как и их механические аналоги) увеличиваютинтенсивность напряжений в вершине трещины, вызывая ее рост. Экспериментынодтверждают это предположениевнутреннимвырезом,[144]. Пластину из полимерного материала срасположенным в центре, растягивалидонапряжения95О" =8 МПа, не вызьшающего разрушения.
Плоское температурное ноле наводилиортогоналыю трещине с помощью снецнального управляемого пагревателя. По меренагреванапряженное состояние образца изменялось: увеличивалась концентрациянапряжений в верщине трещины, и через некоторое время образец разрущался. Так какво время оныга механическая нагрузка оставалась неизменной, то фактором,онределяющим разрушение, бьшо термоупругое поле. Аналогичные экснериментыбьши проведены и на цилиндрическом нпабике с внутренней дискообразной трепщной,когда градиент температуры направлялся вдоль оси симметрии штабика ортогональнотрепщне, и спустя некоторое время образец разрушался. Таким образом, случаиустановившегося теплового состоянияТ{^^^)в твердых телах с трепщнойпредставляют особый интерес для теории неизотермического разрушения с позицийкинетической, термофлуктуацион1юй концепции: необходимо описать рост трещипыразрушения, вычислить соответствуюшую долговечность.
С этой целью рассмотримкраевую задачу стационарной тенлопроводности в твердом теле с внутренней круговойтрещиной.3.3 Температурное поле в теле с впутреппей дискообразпой трещппой.Наряду с прямолинейными краевыми и внутренними субмикротрещинами вполимерах обнаружены и внутренние дискообразные субмикротрещины. Регистрациятаких трещин прямыми физическими методами в реальных полимерпых волокнахпозволилаустановитьихформу,расположениевнутриобъемаобразцаоперпендикулярно оси нагружения и весьма малые размеры микротрещин (90- 3000 А)при диаметре образца2Л* в песколько миллиметров.
Так же была установленанезависимость критической длины трещины Rk от поперечного сечения образца. Такимобразом, для характеристики трещины имеет место весьма важное соотношение:X«Ro<R(t)<Rk«R\0<t< т.(26.3)96где Rcr начальный радиус трещины, R(t)- текущее значение радиуса, г - время жизниобразца. Л- флуктуационное нродвижение трещины. На основании (26.3) образеццилиндрического тина (волокно) интерпретируется как упругое пространство (x^,z) свнутренней круговой осесимметричной трещиной 0<r<R (г^=Х^+у^) в нлоскости z=O.Втелевращениясосесимметричнойнагрузкойтемпературном поле возникает также осесимметричноеприосесимметричномнапряженное состояние, такчто во всех плоскостях, проходящих через ось вращения возникают одипаковыенапряжения и деформации, не зависящие от полярного угла (р. Вцилиндрическойсистеме координат (г, (р, z) в условиях симметрии относительно нлоскости z=0термоупругую задачу можно сформулировать для полупространства z > 0 .
Состояниетела описывается уравнениямиравновесия:дасг„-сгдадгдаdzдадгdz99 _,г>0,(27.3)геометрическими:и\(dUe = 2[dz + drdW,' dz''(28.3)физическими:аrre—£а1+VV= 2G= 2G ezz+-{\-2v)(29.3)-eV+^^ (l-2v)1+Ve«„•(1-2и) ^97Здесь:а^ =ay{r,z),Су =£y(r,z)-компоненты,соответственно,тензоранапряжения и деформации (/, у =г,(р^), U=U(r, z), W=W(r, z) - компоненты вектораперемещения, соответственно, в радиальном и осевом направлениях, Т-Т{г, z) темнературная функция,v - коэффициент Пуассона, G - модуль сдвига, а?—коэффициент линейного теплового расширения.Объемное расширение равно:, . дииeir,z)^-—+—+-—or,-^„dWг(30.3).azГраничные условия при наличии внешнего нанряжения, направленного вдоль осиобразца принимают вид:0^^<^'г>0,(31-3)(32.3)(33.3)r>R,^,r>0,z>0.(34.3)Входящая в (29.3) температурная функция Т=Т(г, z) является решением тепловойзадачи:Г дгdT{r,z)d^= j-qT,,z)| ' = 0 ,dT{r,z)dz= 0,0<r<R,r>R,r>0,(36.3)(37.3)(38.3)z-coгде Лт - тенлопровод1юсть материала, qr - величина теплового потока, поступающегов образец через единицу площади за единицу времени.
В исходной ностшювке,соответствующей экснерименту, относительно температурной функции Т(г, z) задачаимеет вид:98*AT {r,z) = O, z>0, r>0,дТ \ir,z)dz= 0,(40.3)Q<r<R,z=0T*{r,z)z=0dz(39.3)= 0,(41.3)r>R,= -—9r.'•>0.(42.3)Z=+O0Здесь A = ——+-—-+—-—дг^ г or dz^оператор Лапласа в цилиндрической системе координат.Тепловой поток поступает в образец через его торец (42.3), берега трещинытеплоизолированы (40.3), и переносом тепла через трещину излучением можнопренебречь, что справедливо для не слишком высоких темнератур.Тепловая задача (35.3)-(38.3) для удобства решения записана относительноприведенной функции Т{г, z)~ Т*{г, z)+ {qj^ Xj) z, что не сказывается на конечномрезультате.Подобная задача при наличии только мехапических пагрузок изучалась Снеддоном,а нри наличии только температуры (на новерхности трещины) - Шейлом.
Бородачеврассмотрел в исходной постановке оба случая, обобщив нри этом частные зависимостиГудьера и Флоренса, а также Снеддона и Ловенгруба (ссылки в [83]). Заметим, что вработахБородочеваT{r,z)\ _Q =Т^{г),нановерхноститрещинызадаваласьтемпература0 < г < Л . В нащих исследованиях, посвященных теории тепловогоразрущения, на берегах трещины задается величина теплового потока. Это связано свыбором другого нодхода к решению задачи о напряженно-деформированномсостоянии пространства с внутренней дискообразной осесимметричной трещиной.Будем искать решение задачи (35.3)-(38.3),преобразований.В пространстве изображений Ханкелянрименяя методинтегральных99(42.3)уравнение (35.3) примет вид:i L 2(43.3)azПолучаем общее рещение (43.3)П^,г) = Щ)е-^'(44.3).В пространстве оригиналов температурную функцию Т(г, z) с помощью формулыобращения получим в виде:]^(45.3)Для определения С(^) используем граничные условия (36.3)-(37.3).
Приходим кдуальному интегральному уравнениюo(^)(^)#(,9,),0<r<Rr>RЕсли положить ^С(^) = / ( ^ ) , то (46.3) сводится к видуI,0<r<R0(47.3)00r>RИспользуя таблицы Карташова [85] паходим:или(48.3)Тогда искомый оригинал имеет вид:-r\0<r<R.(49.3)1003.4.
Коэффициенты иитеисивиости наиряженийв телах с круговымитрещинами.При возмущении равномерного (установившегося) теплового потока с векторомградиентом, направленным вдоль оси образца цилиндрического типа,из-заприсутствия геометрических неоднородностей типа трещин появляются локальныевозрастания температурного градиента. С этим связано значительное увеличениетемпературных напряжений. Вследствие этого большое практическое значениеприобретают исследования поведения теплового потока и температуры в окрестностикруговой трещины, учитывая, что соответствующие им термоупругие поля расширения(как и их механические аналоги) увеличивают интенсивность напряжений в вершинетрещины, заставляя ее расти.
Последнее приводит к разрушению образца. Такимобразом, случаи установившегося теплового состояния Т(х, у, z) в твердых телах стрешинами представляют особый интерес для теории неизотермического разрушения.При этом могут бьпъ рассмотрены случаи механического (растяжение образца нрипостоянном напряжении о) и теплового (вектор gradr направлен вдоль оси симметрииобразца ортогонально круговой трещине) нагружения, а также каждый из них вотдельности.Задача заключается в нахождении коэффициентов интенсивности напряженияА"/^'механической и /С/^^ тепловой нагрузок в асимнтотическом представлениикомпоненты(^zz^ffi) (r>R)тензорананряженияввидеITа (г,0) = — = = L = ,/2(/г)ir>R)из основных уравнений теории термоунругости. Вцилиндрической системе координат в условиях осевой симметрии относительно оси zуравнения типа (20.3) принимают вид:1011-21' дг\-2vТермоупругий1-21-дг(50.3)dzпотенциалперемешенийФ(г, z)вводитсясоотношениями(51.3)дгПри этом e(r,2) = A0(r,z) , где15А=—г-++ — - - оператор Лапласа вдгг дг dzцилиндрической системе координат.Подставив соотношения (51.3) в (50.3) и проинтегрировав первое из них по г, авторое - по Z, паходим:АФ(Г,7) =(52.3)1-VЕсли найдено какое-либо частное решение уравнения (52.3), то деформации инапряжения могут быть вычислены на основе этого решения следуюшим образом:5'Фдг''г дг^ - Л Ф" dz'-drdz(53.3).,=20.^-ЛФ(54.3)drdzdz'Используя метод интегральных преобразований, в нространстве изображенийХанкеля имеем:z^dr.Обшее решение уравнения (52.3) принимает вид:(55.3)102(56.3)Входящие в (56.3) неизвестные функции от t, находятся из граничных условий(31.3) и (33.3) и из соотношения (51.3) для W(^,z) =h{r),.
Это дает:Q<r<R,(57.3)О,r>Rгде введены обозначения(58.3)0<r<R,Решение дуального интегрального уравнения (57.3) имеет вид [85]:I= -Jsi(59.3)яооткуда и из (56.3) находим в пространстве оригиналов:;= /„ m2GЧTjdri"t yKy)dyПг,О).(60.3)По Ирвину (ссылки в [83]) асимптотика напряжения а^ в окрестности круговойтрещины имеет вид(61.3)==L, r>R,гдеK{a,R)—коэффициент интенсивности напряжений, нараметр,отражающийперераспределение нанряжений в теле, вследствие наличия трещнны(62.3)K{u,R)= ИшВслучаетолькомеханическогонагруженияиспытания: Го(г) = О) имеем К''^'' ={^l7t)a4R(нри ностошнюйтемпературе, а из соотношения (61.3) максимальное103растягивающее напряжение в окрестности круговой трещины, достигаемое в плоскоститрещиныПрямые опыты (методом ИК-спектрометрии) по измерению напряжений наотдельных химических связях для твердьк полимеров показали [2], что по мереприближения к кончику трещины на максимально напряженных связях нагрузкаувеличивается вплоть до некоторого значения, после чегоостается практическипостоянной и превосходит среднее напряжение на связях в объеме образца нанесколько порядков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
