Модельные представления процесса хрупкого разрушения полимеров в механических и температурных полях (1090785), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Первую задачу стационарной термоунругости для87пространства с дискообразной трещиной с заданием температуры в плоскости трещинырассматривал Шейл. В изотермической постановке эта задача бьша рассмотрепа Сакомпри постоянной нормальной нагрузке и Снеддоном при произвольной нормальнойнагрузке, приложенной к берегам трещины. Обобщение стационарной задачитермоупругости в пространстве с дискообразной трепщной для случая произвольныхосесимметричных нагрузок и температуры дано Бородачевым [141]. Используемыйавтором метод справедлив только для случая стационарного температурного поля безисточников тепла. В диссертации в параграфе 3.3 рассмотрен случай задания на берегахтрещины тенлового потока. Использован метод, отличный от подхода Бородачева.В работе Картащова [16] используется прием нахождения рещения уравненийтермоупругости для нространства с дискообразной трещиной с выражением решенияуравнения Пуассона через неизвестное осевое напряжение в плоскости с дискообразнойтрещиной и известную температуру в пределах дискообразной трещины.
Частныеслучаи полученных зависимостей рассматривали Гудьер, Флоренс, Снеддон иЛовенгруб. Итоговым исследованием механики разрушения материалов при наличиистационарных темнератур является [142].Жорник[143] изучал температурные поля и термоупругие напряжения внеограниченном цилиндре с источником тепла при наличии дискообразной трещины, атакжетермоупругостьнеограниченного цилиндра с дискообразной трещинойвьпванную теплообменом па цилиндрической поверхности со скользящей заделкой. Онпроанализировал развитие дискообразных трещин под действием механических итепловых нагрузок (включая случай температурного напряжения).При исследовании нестационарной термоупругостидля тел с трепщнамидостигнуты меньщие результаты, что связано с математическими трудностями прирещении такого рода задач. Партон изучал нестационарные темнературные напряженияв пространстве с дискообразной трещиной при неполной температурной загрузке88трещины и начальной температурой, равной нулю.
Им были найдены коэффициентыинтенсивности напряжений (КИН) в зависимости от времени. Подобная задача дляпластины с трещиной конечной длины рассматривалась Кудрявцевым и Партоном, а сучетом дополнительного симметричного теплообмена пластин со средой - Китом иПобережным.Гайвась и Кит рассматривали задачу о расчете нестационарных температурныхнапряжений с начальной температурой, равной нулю, с асимметричными относительносредней плоскости источниками тепла и теплоизолированным нолубесконечнымразрезом.
Между поверхностями пластины и средой с заданной температуройпроисходит теплообмен. Задача теплопроводности рассматривается как суперпозициядвух решений. Одно из решений рассматривается для задачи в указанной постановке,но без разреза. Другое - с начальной температурой, равной нулю, с теплообменом наповерхности пластины в среду с нулевой температурой и тепловым потоком патрещине, противоположным вычисленному в первой задаче, чтобы в итоге получитьрешение с теплоизолированным разрезом.Побережный и Гайвась изучали влияние нестационарного температурного поляпластины с нолубесконечным разрезом на КИП в условиях, когда начальнаятемпература равна нулю, на полубесконечной трещине задана постоянная температура,а на продолжении трещины из-за симметрии имеет место тепловая изоляция. Задачарещалась методом преобразований Лапласа по времени и преобразований Фурье покоордипате, неременной вдоль трещины.
Были рассчитаны КИП в зависимости отвремени и интенсивности тенлообмена.Козлов, Партон и Мазья нолучили КИП для пластины с полубесконечным разрезом,на берегах которого мгновенно достигается ненулеваятемпература. Пачальнаятемпература пластины не равна температуре берегов разреза, а на поверхностях89пластины осуществляется симметричный относительно средней плоскости теплообменв среду с нулевой температурой. Решение задачи нолучено в асимптотическом виде.3.2.
Основные уравнения механнки хрункого разрушення и их частные случаи.Для рещений вышеперечисленных проблем нужно воспользоваться основнымиуравнениями теории упругости, которые применимы также и для тел с дефектами, вчастности для расчета коэффициентов интенсивности нанряже1шя в соотнощениях(1.3).Теория температурных напряжений занимается вонросами равновесия тела кактермодинамическойсистемы, взаимодействиекоторой с окружающейсредойзаключается в механической работе внешних сил и теплообмене. Тело, как и вклассической теории упругости, рассматривается в виде материального континуума,обладающего свойствами идеальной упругости, однородности и изотропии.
В этойтеории используется положение механики и континуума также как и в линейной теорииунругости. Состояние термодинамической системы определяется конечным числомтермодинамических параметров. Одним из независимых макросконических параметровтермодинамической системы, отличающих ее от механической, является температуракак мера интенсивности тешювого движения. Изменение температуры тела можетпроисходить как в результате подвода тепла от внешних источников, так и за счетпроцесса деформирования.ПустьD-конечнаяили частичноограниченнаяобластьизмененияпространственных переменных (xj;,z), соответствующая геометрии и размерам тела; Sграница области (поверхность тела), считаем ее кусочно-гладкой; 7о -температура телав исходном недеформированном и ненанряженном состоянии; Г (х, у, z, i)= Т (Л/, /) распределение температуры в области D в момент времени />0.
Вследствие действиятепловых источников, внешнего нагрева (или охлаждения), а также внешних нагрузок90(массовых и поверхностных сил) область D будет деформироваться, а ее температураменяться. В теле возникают перемещениядеформации s.j^{M,t)и напряжепияизменение темнературы,<T^i^{M,t), {i,k = x,y,z).сонутствующеедеформированиюПринимается, чтоневелико,такчто« 1 , и не приводит к изменению упругих и тепловых констант и их можносчитать независящими от темнературы. Предполагается также, что деформации малы,так что произведения компонент тензора деформации пренебрежимо малы посравнению с самими комнонентами. Таким образом, рассматривается линейная модельтермоупругости.Функции u.{M,t),e.j^{M,t), cT.j^{M,i), Т(М, t) удовлетворяютследующимуравнениям:1.
Трем уравнениям движения (при наличии массовых сил F.{M,i) ), полученным изусловия равновесия произвольного тела, ограниченного некоторой поверхностью сучетом инерционных сил Даламбера.кдкI-^' -5/-, Л/еД/>0, {i,k = x,y,z)(2.3)2. Шести геометрическим соотношениям между деформациями и перемещениями:1 \dui{M,i) dui^(M,t)di(3.3)3. Шести физическим уравнениям (уравнения закона Гука), связывающим нацряженияи деформации:,t>0,ii,k = x,y,z)MeD,(4.3)4. Уравнению теплопроводности от1юсительно температурной функции без учетавзаимосвязи нолей температур и деформаций:91,t), t>Q,cpЗдесь p-MeD(5.3)масса единицы объема, с - удельная теплоемкость материала припостоянном объеме, «т— коэффициент линейного теплового расширения, Хт теплопроводность материала, W{M,i) - функция плотности тепловых источников (илистоков) в объеме D (количество тепла, вьщеляемого (поглощаемого) в единице объемав единицу времени), е = s+ ^ , " объемное расширение.
Величина е связана с+sсуммой нормальных напряжений о' = а-^+с7+(Т^^ соотношением:(6.3)где Е, V, G - упругие постоянные материала: Е - модуль Юнга, v - коэффициентПуассона, G - модуль сдвига; (многочисленные опытные данные показывают, чтопараметры упругой деформации Е, v при изменении температуры в образцеизменяются незначительно, поэтому при решении конкретных задач их можно считатьпостоянными); Д и // -изотермические коэффициенты Ламе.,vEЯ =—2G=п;,_-,Е./i = (j =(7.3)К соотношениям (2.3)-(5.3) требуется нрисоединить следующие краевые условия:- начальные условия во всей области D= /.(М), MeD,р.(М), MeD,(8.3){i = x,y,z)ii = x,y,z)(9.3)(10.3), MsD;механические граничные условия на поверхности S области D при />0:^q^{M), />0, M&S,{i = x,y,z)в перемещениях(11.3)92или'Z^a.j^{M,t)ni^=P.{M,t),t>0, MeS,(/,A: = x,j',2) в напряжениях.(12.3)кЗдесь Р = (Р^,Р.,,Р.) - вектор заданной поверх1юстной нагрузки, п = {п^,п.п) -нормаль к поверхности 5*.Если область D ограничена только изнутри поверхностью S (частичтю ограничена),то следует добавить условия на бесконечности:lim м.(Л/,/) = О, />0, (i=x,y,z)или(13.3)условия ограниченностиu.(M,t)\<+oo, MeD,t>0;(i = x,y,z)(14.3)- граничные условия для темнературной функции T(M,t) на поверхности тела S:температурный нагрев (или охлаждение)(15.3)Т{М,О = Ч>{М,(), M&S, t>0,тепловой нагрев (или охлаждение)аГ(М,/)^_^^^^^^^ Л / е 5 , />0,(16.3)дпнагрев (или охлаждение) средойдп,t)l MeS,(17.3)t>0,где h - относительный коэффициент теплообмена.Система (2.3)-{5.3) при указанных краевых условиях описывает динамическуюзадачу термоупругости в общей постановке.
Задача заключается в нахождении шестикомпонент тензора напряжений aj^{M,i),шести компонент тензора деформаций€.j^(M,t), трех KOMnoHeirr вектора перемещений u.(M,t) и температурной функции93На нрактике от общей постановки задачи нереходят к ностановке в напряженияхили в неремещениях.ПристационарномтемнературномполеT(M) = T(x,y,z)иотсутствииинерционного члена в уравнениях движения (2.3), задача термоупругости называетсястатической.При отсутствии массовых сил уравнения (2.3) нреобразуются к виду(18.3)дкгеометрические и физические уравнения (3.3), (4.3) сохраняют свой вид. Однакодеформацииs^i^{M) пе могут задаваться произвольпо, так как они являютсяфункциями перемещений и.{М).Междупими существуют дифференциальныесоотнощения совместности:'УУ _ 'XXдхдуdx- = 2dydzdzdxdydxdzdxdydzдуУУdz'XXdydz(19.3)XXдх'Последовательно сокращая число уравнений и число неизвестных в системе, мыполучим систему из трех уравнений в частных производных для перемещений:1деАм,+(l-2v) 52(l+v)дТ f,5^—-ат,-—г = О.,..{i = x,y,z)(20.3)(1-2»/) ^ diК этим условиям добавим условия на границе тела, где нанряжения и перемещениянринимают заданные значения.
Для описания решений уравнений (20.3) иснользуемметодпотенциалов.неремещений:ВводимфункциюФ=Ф{М)-термоупругийпотенциал94Замечая с учетом (3.3), что е = ^ — — = АФ, получим из (20.3)При интегрировании но / нолучим:АФ = — « ^ . Г .(23.3)\-vТогда с учетом геометрических соотношений тина (3.3) деформации могут бытьпредставлены в виде:| £ii,k = x,y,z)(24.3)а напряжения с учетом (4.3)(25.3)didkДля удовлетворения граничных условий, неучтенных нри решении уравнения (24.3),налагаем на него решения уравнений теории упругости при 7=0.В главе 4 диссертации развивается теория теплового разрушения, то естьразрушения нолимерного материала нри чисто тепловом нагружении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
