Модельные представления процесса хрупкого разрушения полимеров в механических и температурных полях (1090785), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Такие связи сильно деформируются и разрьшаются в первуюочередь; их разрыв обусловлен напряжением, приходящимся на связь, отстоящую отверпшны трещины на расстоянии ее флуктуационного продвижения Я. Таким образом,искомое локальное напряжение в окрестности круговой трещины можно описатьвыражением сг*А/) ={421п)(Гл[Ш~Л, а в окончательной форме(63.3)a\^=(jli{R,)4RJT, ,где R = R(t)- переменный радиусрастущей трещины; 2Ro- диаметр начальной(исходной в образце) круговой микротрещины.В таблице1.3представленосравнение величины локального напряжения,полученного по формуле (63.3) с экспериментальными значениями.Таблица 1.3. Локальные напряжения в вершине тренщны для ориентированныхполимеров.ПолимерВнешнеео-,МПас * , МПа"а-нанряжениеэксперим10-29м^расчетентПолипропиленПоликапроамидПолиакрилонитрил800282,4121200011500840382,4161900016000120602,42560004000104(64.3)- коэффициент концентрации напряжения для внутренней круговой трещины.
Вэксперимептах по ползучести ((7 = const) показано [83], что коэффициент р за времяжизни образца практически не изменяется и определяется лишь начальными размерамидефекта в образце. Из (64.3) находим оценку диаметра начальных микротрещин вполимерных волокнах:Ro=4Aj3^ .(65.3)Согласно [83] для ориентированных волокон (полиэтилен; полипропилен;ополикапроамид) величина Л = 4А, уЗ»(4-7), откуда и из (65.3) радиус пачальноймикротрещины Ro =(10"* -10"')м, что подтверждено экспериментально.Найдем далее локальное напряжение при чисто тепловом нагружении в условияхзадачи (35.3)-(38.3) при отсутствии механических нагрузок.Из (60.3) находим:2Ir'-Rп2(/•>/?).(66.3)(67.3); A=Из (66.3)-(67.3) с учетом (62.3) находим К^'^'> =(A/2)R^'^ и вместе с этим искомоелокальное напряжепие в окрестности круговой трещины при чисто тепловомнагружении образца:(68.3)'',где С7г = ^^]^rqrER..P(^R^) = Q,S4RM.(69.3)Полученное соотношение для ат в (69.3) нредставляет собой принциниальныйрезультатдля теории теплового разрушения полимерных волокон: стт есть105механическийаналогтепловогонагруженияисвязываетмеждусобойтеплофизические, упругие и структурные характеристики полимеров, что позволяетпроследить влияние каждого фактора на тепловую реакцию полимерного материала сначальной (исходной) краевой микротрещиной.3.5.
Энергетический критерий Гриффита для твердых тел с виутреинейдискообразиой трещииой.Целью настоящего исследования является дальнейшее развитие кинетическойтермофлуктуациопной теории разрушения применительно к полимерным волокнам,что в частности подразумевает построение теории полной кривой долговечности дляполимерных волокон (нолимерных образцов волокноподобного типа). А это в своюочередь предполагает нахождение интервала напряжений, определяюших пределыпримепимости линейной зависимости для логарифмической долговечности lg(r ,0).В главе 1 диссертации были подробно проанализированы современные взгляды сточки зрения кинетической термофлуктуационнои теории разрушения на связь междуклассическим гриффитовым порогом разрушения сгд и квазибезонасным напряжением(То. В ней были приведены сооттюшения (9.1) для плосконапряжепного иплоскодеформированного состояния, которые касались твердых тел с поверхностной ивнутренней прямолинейной трещинами.
Снеддон в [145] рассмотрел случай упругогопространства с внутренней дискообразной (осесимметричной) трещиной радиуса R вплоскости z=0 для шюскодеформировагшого состояния при растяжении од1юродпым(постоянным) напряжением ст. Для решения соответствуюшей задачи о нахожденииэнергии деформации РГ . , фигурировавшей в (7.1), Снеддон предварительно нашелосевую компоненту вектора перемешения W{r,O), решая задачу в напряжениях:VлЕ(70.3)106Энергия деформации (по Снеддону):(71.3)критерий Гриффита на основании (7.1) имеет вид:Т- •(72.3)Следует заметить, что решение этой задачи в [145] отличается значительнымитехническими трудностями. Сак также получил это выражение [146], но весьмасложным путем, используя сплюснутые сфероидальные координаты. В диссертациипри рассмотрении этого вопроса используется иной подход.
Так как при решении задачматематической теории трещин в диссертации в качестве основной постановкивыбрана постановка в перемещениях, то и в данном случае для вывода критерияГриффита для круговой дискообразной трещины рассмотрим самостоятельный подходоснованный на постановке соответствующей задачи в перемещениях.Перейдем к рассмотрению этого вопроса.Наша задача заключается в нахождении энергии деформации тела, содержащеговнутреннюю дискообразную трещину 0<г<Л {i^=d?+^), z=O, растягиваемого набесконечности однородным напряжением а.Цилиндрический образец с внутренней дискообразной трещиной моделируется какупругое пространство (г, ^ , z) с приложенным к нему на бесконеч1юсти напряжениема. При этом предполагается, что в процессе нагружения тело остается упругим, икинетическая энергия не образуется.Критерий Гриффита в нащем случае имеет вид:dRdRгде П„„ =2лй^« „„.73 3)(74.3)107- поверхпостная энергия трещины,(75.3)-упругаяэнергия трещины,W(r,z)-составляющаявектора перемещения внаправлении оси z.В [141] было показано, что растяжение образца на бесконечности сводится кприложению нагрузки а к берегам трещины.
С учетом симметрии относительноплоскости z=0, постановка задачи нринимает вид:(76.3)0<r<R,(77.3)r>0,(78.3)r>R,<00, r > 0 , z > 0 .(79.3)Уравнения равновесия:dz8cradzг^ ^>o^ 2>0r(80.3)? z r LdrДеформации связаны с перемещениями:drиrdW\(dU dWи с напряжениями:(82.3)\-lve(r,z) = — + — +dr r dz.Подставляя (82.3) в (80.3) и используя (81.3), получаем:108.,,,, f/1 de(r,z)\-2vdzВведем потенциал перемещений Ф(г, z) соотношениями:j7^ ;Ж ^аг«r,z)(85.3)dzПодставляя(85.3) в (84.3), получим:(86.3)AO(r,z) = 0.Если найдено какое-либо частное решение уравнения (86.3), то деформации инапряжения могут бьггь вычислены на основе этого решения следующим образом:дг2в пространстве изображений Ханкеля\rJQф')Ф(r,z)drорешение (86.3)принимает вид:(89-3)Тогда(90.3)По формулам обращения получаем:,Z) =(91.3)Граничные условия (76.3) и (78.3) дают дуальное интегральное уравнение:1090<r<R(92.3)r>R= f(R^), тогдаПоложим/0<r<R(93.3)r>RРешениедуальногоинтегральногоуравнения(93.3)имеетвидилиЯ''(94.3)ооткуда паходим в нространстве оригиналов:о,1/r,O) = ~^jR^-r\G2 _0<r<r]<R0<r<R(95.3)Подставив найденное решение (95.3) в (75.3), получим для энергии деформации:W.=G3G(96.3)Из выражений (73.3) и (74.3) получаем значение для напряжения Гриффита:Rили (7с, =(97.3)noДля завершения решения задачи (76.3)-(79.3) вернемся к граничному условию(77.3).
Вычислим cr^(r,z)|, г > 0 с помощью потенциала Ф{r,z). Из (88.3) имеемdrdz'В пространстве изображений имеем:rz'drdrdz, гдеТогда получим в пространстве оригиналов:о- «.2cr °° 1^^J—J, (г^)й^^ J xsin xdx.7tй ^ООткуда имеем:00(98.3)пr>R-, 0<r<RТаким образом, для сг^(г,О) получаем:111о.r>R(99.3)Из (99.3) видно, что напряжения ff^(r,O), определенные в (88.3) с помощьюпотенциала ^r,z),могут не удовлетворять условию (77.3). На полученное решениеследует наложить еще такое решение уравнений (84.3), при котором условие (77.3)удовлетворяется. Для этого используем функцию перемещений Лява L{r,z)jW=-(\-2v)drdz'2G=;[147]:d'L1dz'(100.3)d2G a\dL(101.3)dz"2G{\-2v)dr\При этом функция L{r,z)А 2 Д Г , 2 ) = 0,Г>0,удовлетворяетбигармоническому уравнению(102.3)Z>0.Если функция L{r,z) определепа, то полные напряжения равны:(Ту (г, z) = Uy (г, z)+а у (г, z)(/, j = r,(p;z)Перемещения при этом всегдаоднозначны.
Вычислима„(г,О),иснользуяприведенные выше соотношения:Если потребовать(103.3)112r>0.(104.3)TO все граничные условия (76.3) -(79.3) будут удовлетворяться.в пространстве изображений Ханкеля ограниченное решение уравнения (104.3)имеет вид:L (^, z) = [У4+5z]exp(-^).(105.3)Определим коэффициенты А 1\Въ (105.3). Используя граничные условия(103.3),(104.3), нолучим:г; ,.2Gdz'dz(106.3)LОткуда:..G(107.3)dz'IG{\-2v)2G(108.3)Из соотношения (98.3), используя граничные условия (103.3), получаем(109.3)из (107.3)(110.3)Таким образом, константы найдены, и решение задачи завершено. Нами полученкритерий Гриффита в форме (97.3), который несколько отличается от (72.3).
Заметим,что в такой форме результат (97.3) в литературе неизвестен.1133.6. Критерий разрушения Гриффита и безопасное иаиряжеиие.К вопросу о физическом смысле критерия Гриффита можно подойти на основе такназываемой диаграммы прочностных состояний(P;RQ)ДЛЯполимерных образцов свнутренней круговой трещиной радиуса Rg.Гриффит считал пороговое напряжение CTQ критерием разрушения: при crxTgтрещина растет со скоростью (3.1), при a<c7Q-не растет.
В [23] па основетермодинамического подхода к процессу разрушения при исследовании полимерныхобразцов, содержащих краевые и внутренние прямолинейные трещины, впервые былосделано предположепие, что а^вообще не является критерием разрущения вобщепринятом смысле и соответствует безопасному напряжению а^.Расчеты, проведенные в данном исследовании для образцов с внутреннимидискообразными трещинами подтверждают данное положение.В термофлуктуационной теории прочности [23] безопасное напряжение сго - этопредельное состояние, характеризующее асимптотическое приближение изотермыдолговечности к большим временам: lgr(cr,r)->oo при а-хт^.По представлениям[83] безопасное напряжение для образцов с внутренней круговой трещиной начальногорадиуса /?о имеет вид:^Скоростьростатрещины(111-3)авторами[83]былаполученаврамкахтермофлуктуационной теории на основе модели слабо связанных гармоническихосцилляторов, в которой элементарный акт разрыва (и восстановления) химическихсвязей в вершине трещины интерпретировался как классический переход черезпотенциальный барьер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
