Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1086556), страница 19
Текст из файла (страница 19)
а о о Но, как известно, Ю е-о= !пп (! — — ) ° оь-о»» Ь Заменяя под знаком интеграла функцию е-* ее значением (строгое доказательство возможности такой замены можно найти, например, в книге Р. О. Кузьмина „Бесселевы функции" ), будем иметь х~~ Г(п) =!!и! ) (! — — ) хьь-ь г(х. ьо-»»» о Интегрирование по частям дает ьо т ьо /'(! — — ) х.-ьк!х=[ — "(! — — ) ~+ — ~ (1 — — ) хо(хо о о ьо-1 = — ~ (! — — ) хо 2х. о Повторяя операцию интегрирования по частям ьп раз, приходим к равенствам: ььь оь оь — ! ) (! — — ) х -'Их= — ) (! — — ) хььь(х= о о = .ь'»ььг ! ('-И '™-"— о т(т — 1!...2 1 1 ~' ! т(т — 1)...2 ° 1 тоооо хоооь-1ь!х п(п+1)...(и+т — 1) тт 3 п(п+ 1)...(и+ т) тт о Следовательно, 1 2 ° З...т Г(п)=ню ( + "'+ т"'.
Полученное равенство представляет выражение функции Г(п) в виде бесконечного произвеления. - й 28. Уравнение Бесселя; функции Бесселя. Многие вопросы математической физики и механики приводят к уравнению х'уо+ху'+(ха — п') у = О, (115) известному под названием уравнения Бесселя. Аргумент х может принимать в нем не только вегдественные, но и мнимые значении. Параметром и может быть любое заданное число. $ лак. ооо. ю. О. ояоовооов Решение уравнения Бесселя будем искать в виде бесконечного ряда у=а ха+а хае1+а хаев+а слез+...
Составив проиаводные у' и у" и подставив их значения и значение у в (115), получим (ря — ия)азха+ [(р[- 1)я — ля] а хае'+ [[(р+ 2)я — ля[ аз+ аз[ х'+я+ + [[(Р+ 3)Я вЂ” ие] аз+а,[ хаен+[[(Р+ 4)Я вЂ” из[ а +аа[ хаее+... = О. Так как это равенство есть тождество, то должно быть: (ря — ия) ае = О, [(р+ 1)я — ле[ а, = О, [(р+ 2)я — пя] аз+ ае =- О, [(р+3)Я вЂ” из[ а +а, = О и т.
д. Из этих уравнений следует, что р=л или р= — и и что а, =О. Вследствие етого аз = ае —— а! = ... = О и, далее, — ае ае (р+ 2)' — ле ' ' [(р+ 2)' — ле] [(р+ 4)е — пе] ' ае е [(р -[- 2)я ля] (р+ 4)е — пя] [(р+ б)я — ля] Полагая в этих выражениях р = л, находим: — ае а= ае 2я ° (и + 1) ' е 1 ° 2 ° 2е ° (л + 1) (л + 2) ' — ае е 1.2 ° 3 ° 2е ° (и+1)(и+2)(п+3) и ™ Зная аначения этих козфициентов в выражении у, имеем г („[2)е (х/2) у а х"':1 — — + е ' 1 ° (и+1) 1 ° 2:(и+1)(л+ 2) (х[2)е 1 ° 2 3 (и+ 1)(л+ 2)(п+ 3) + ' ' 'Д ' Теперь положим р= — и; тогда получим (х/2)Я (х[2) ! ° ( — л+ 1) + 1 ° 2 ° ( — л+ 1)( — л+ 2) (~~2) + 1 (1 12) 1 ° 2 3 ( — и+1)( — л+2)( — и+3) ' ''']' Выражения у, и уя представляют собой час гные решения уравнения (115).
Коэфициент ае в том н другом является произвольной постоянной. Обыкновенно коэфнциенту ае придают определенное значение, свяаанное с эйлеровой функцией Г(л). А именно, полагают в выражении у, ! аз=2 Г(и [1 > Ч в выражении уе 1 е 2-е1 ( и+ 1) 114 В таком случае, заменяя обозначение у, на 1„, а уо — иа 1 „, получим: (х/2)л ( (х/2)а (х/2)в Х (л + 1) ~ 1 (л + 1) + 1 . 2 .(л + 1)(л + 2) 1 (х/2) " ( (х/2) (х/2) Г( — л+1) ( ) ° ( — л+1) + 1 ° 2 ° ( — л+1)( — л+ 2) или короче /2)л-~вь 1 =,7Г ( 1) Г( +а+1)Г(1+1) (118) жч ь (х/2) '-- — .?И( — ')' Г(-л+.+1) Г(.+ 1) ь=о (119) у=С,1„+С,1 „, (120) где С, и С вЂ” произвольные постоянные.
При целых значениях параметра л решения 1„и 1 „перестают быть независимыми. Действительно, в этом случае функция Г( — и+и+1) для всех значений л от 0 до со обращается в бесконечность (см. предыдущий параграф). Ввиду этого в выражении (119) для 1 „первые л членов обращаются в нули, и мы будем иметь 1 ~~' 1ь /2) — лева Х ( ) — +а+1 +1) Заменяя здесь й на л+й получим (х/2)" в~ 1 „= т ( — 1)"+з, „„„, т, ш 1 =( — 1)"й.
Следовательно, при л целом выражение (120) общим интегралом диференциального уравнения (115) служить не вйвжет. В случае, когда и=О, уравнение Бесселя принимает вид у" + — 'у'+у = о (121) и допускает частное решение 1о = 1 — (х/2) + (2!)' (х/2) — (8) ' (х/2) + ' ' Здесь мы имеем функцию Бесселя первого рода н нулевого порядка. 115 Полученные ряды сходятся при всех конечных значениях х.
Функцию 1 называют бесселевой функцией первого рода и л-го порядка. При нецелых значениях л функции 1„и 1 „представляют два не-зависимых частных решения уравнения (115), общий интеграл которого Второе частное решение уравнения (121) будем искать в виде у=а1о(х)!и х+ао+агх+аохао+... (122) Образуя производные у' и у", вносим их значения в уравнение 1121), принимая во внимание, что l,+ — г',+г' =О и что 2х 4х'" бха о 2о + 2П.2' З!о 2Г+ ''' Если затем коэфициенты полученного тождества приравняем нулю, то для определения величин а, аа, а„ а„, ... получим уравнения: — а+2оао+аз= О, 2а ° 4 + 4'ао+ аа = О, 2а ° б ЗЕ.2о +6 а +а,=О, а для величин а„ а„ аа, ...
будем иметь уравнения: а, = О, Зоао+ а, = О, боао+ аз = О, Отсюда, полагая ао = О и а = 1, получим: а,=а =аз= ...=О и ао — — —, а = — — (1г- — ) 2о' о 2о 4о1, + 2г" 1 / 1 1; ' ао= 2о 4о бе~ + 2+ З/' Подставим найденные значения коэфициенгов в (122) и заменим обозначение у на Уо.
Мы находии Уе 1е!пх+ (1 + )+ (1 + ! + 1) Функцию Уо называют функцией Бесселя втор,ого рода и нулевого порядка. Общий интеграл уравнения (121) У = Сг'о+ Св)о где С, и Со — произвольные постоянные. Не приводя доказательства, заметим, что при и целом и не равном нулю, кроме частного !!ешенияУ„, существует еще независящее от него решение, которое можно представить в виде о=о а=о оо =-1 оо=о Его называют функцией Бесселя второго рода и л-го порядка. Функции Бесселя могут быть вычислены для различных значений параметра и и аргумента х. Числовые величины функций могут быть 116 Умножив первое из зтих равенств на 1„(я х), а второе на 1„(в,х) и результаты вычтем.
Это дает: + (л, — й,') х1„(д,х) 1„(л,х) = О, или Д Г И„(аах) ' л1» (аех) + Ф, — ф х1„[л,х) 1„(л, ) = О. причем Пусть н ) О, тогда, как это следует из определения, (2/ и'и( ) р(и+а+1)Г(а+1) ' ь=о и выражение внутри прямых скобок при х=О обращается в'нуль. Следовательно, ЬА Ы1»(йа) — М»(М1»ФМ+ 1 +(й — и ) ~ х1 (л х)1 (ах) их= О.
(123) о Пусть теперь числа Ф, и лв †д различных корня уравнения 1„(х) = О. (124) В таком случае приходим к равенству 1 ) х1»(Мах)1»(Ф х)Их=О, о (125) выражающему свойство ортогональности функций ~/х1„(л,х) и ~Гх 1„(А х). Второе равенство, относящееся к тому же свойству, имеет вид 1 ~ х1 (Ах)= » 1 ~(Ф~), (126) о где й, есть корень уравнения (124). Докажем это. 118 Будем интегрировать это равенство в интервале (О, 1). Результат бчдет такой: (Ах1„(йх) 1„(й, ) — Кх1„ЯЯ1„(й,хЪ".=,'+ 1 +(л, — ~в) / х1„(й,х)1„(л,х) Их= О, о Пусть в равенстве (123) «, означает один из корней уравнения (124), а «э — какое угодно число.
Равенство (123) принимает следующий вид: 1 «, т'„(«,) г„(«,) хГ„(«,х) 1„(«эх) Ых =— е Пусть «з-ь«,. Правая часть при этом делаетсв неопределенной. Применяя правило Лопиталя, найдем 1 ) ху„(«,х) 1„(«ах) Ых = — 1„' («,). о и Но раньше мы видели, что — „(х-~1„(х)) = — х-в1„+,(х). лх Полагая здесь х= «н получим 7„(«,) = — у +,(«,). Следовательно, 1 ~ ху («х) Их — — у («). о Пользуясь равенствами (125) и (126), можно заданную функцию ° разлагать в ряд по функциям Бесселя подобно тому, как это делается при разложении функции в ряд по синусам и косинусам кратных дуг (ряд Фурье). Отметим еще случаи вырождения бесселевых функций.
Если в (111) 1 и (112) положим л= —, то получим Г 2 У, = у — з1пх ех l 2 1, = у — сов х. ех Производя выкладки, нужно пом- .В нить, что Г (3/2) = — Г (1/2) = 1/2 фгя . Можно показать, что вообще в том 1 случае, когда н=гл+ —, где глв число целое, бесселевы функции выражаются через элементарные. Например, Г 2 Гз!ах ,В 1 =у — ~ — — соз х/ зж — У их~ х и / 2 (з1пх+ свах) Бесселевы, или цилиндрические, функции, к изучению которых пришел Бессель в одном мемуаре о планетных возмущениях, имеют широкое применение в приложениях математими (Фурье, в,Тпеог1е апа1у- 119 Вйпе де !а сйа!епг", рассматривал эти функции ранее Бесселя, но для значений и = 0). Необходимость применения бесселевых функций встречается, главным образом, в тех задачах, в которых исследуемое тело имеет форму кругового цилиндра. Поэтому бесселевы функции назыаывают иногда цилиндрическими функциями.
Ниже на некоторых примерах мы дадим понятие о применении бесселевых функций. На фиг. 39 представлены графики функций Бесселя первого рода нулевого у и первого порядка. 41, Уравнение вращения еибной нити. Пусть тяжелая гибкая нить (фиг. 40) вращается около вертикальной оси ОХ, к точке О которой она своим концом ! прикреплена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
