Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1086556), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Формулированное правило можно распространить на систему и уравнений с и неизвестнымн функцияии. Пример 1. Рь=х' — (Ьх — еу) =О, Рз =у' — (сх — ах) = О, Рз = х' — (ау — Ьх) = О. Здесь а, Ь и с — постоянные. Составляя суммы, яаадем: лз+Рз= 2 н аз+Рз= о; следовательно, первое УРавнение надо дифеРеициРовать два Раза. Так вак и, +Рз = 1 и лз+Р, = О, то второе уравнение будем дифереицировать один рзз, а так как лг+ра = О и 126 Ф и +ус=1, то третье уравнение продиференцируем'также один раз.
Получиш следующую систему нз 7 уравнений; х' = Ьл — су, у' = сх — ах, з' = ау — Ьх, х" = Ьл' — су', у» = сх' — ах'1 з" = ау' — Ьх', х"' = Ь໠— су"; или х"' = — (аз+ Ьз + са) х'. Таким образом вопрос приведен к интегрированию одного уравнения с одною неизвестной функцией. Полагая х' и, будем иметь и»+Ати=О, где Ва аз+Ьа+ст; отсюда и = С~ созйт+ Саз1пйт и, следовательно, С . С х = С, + — а'п йг- — соз йд й Ф Функции у и л мы найдем, если образуем х' и х» и значение х' подставим в первое уравнение заданной системы, а значения х» и х подставим в уравнение (136). Получим два уравнения с двумя неизвестными у и х. В некоторых случаях можно найти непзвестные функции, удовлетворяющие. системе, и не прибегая к повышению порядка производных.
Суть дела поясним на примере. Пример 2. Зтх» — (Г+ 1) х+у — гх О, Зту' — (à — 2) х — 2у — Гл = 0 Зтл' — (2à — 1) х — у — 2гх = О. ! (137)г Вычитая нз первого второе уравнение, имеем а' (х — у) и(х — у) иг — (х — у) = 0 нли Ю» йг х — у интегрн ованне дает Р х — У вЂ” Сгг=О. а (х + л) Сложим первое уравнение с третьим. Получим =х+л, отсюда йг х+з — Сасг = О. (139« Сложим, наконец, первое уравнение со вторым и из результата вычтем третье Это даст Зга(х+у — л) =0 аг отнуда х+у — х — Сз = О, (140) Уравнения (136), (139) и (140) определят три неизвестные функции х, у н л Мы видим, что систему удалось проинтегрировать, не прибегая к повышению порядка производиыж нз которых надо исключить 6 величин: у у» «» з а» з» Проще всего исключение произвести так: внесем значения у' и л' во второе- уравнение,"а у" и л" в третье.
Это даст: х» = а(Ьу +сх) — (Ьа+ сз) х, (136в хш = а (Ьу' + сз') — (Ьз+ са) х'. Теперь в последнем заменим у' и л' их значениями. Получим х"' = ат (су — Ьх) — (Ьа + са) х', ае. Равновесие газов е сообщающихся сосудах. Предположим, что имеются два сосуда емкостей о, и о, наполненные газом, упругость которого равна Р, в первом сосуде и Ра во втором. Сосуды соединены волосной трубкой, по которой перетекает газ из одного сосуда в другой. Количество газа, перетекающего в одну секунду, будет пропорционально разности квадратов язвлений.
Задача состоит в том, чтобы опРеделить давлениЯ Р, и Ра в сосУдах в некотоРый момент 1. Если обозначим через а количество газа, перетекающего в единицу времени при разности давлений, равной единице, то в течение времени бг из сосуда в сосуд протечет количество газа а(Р, — р,)аг; с другой стороны, заметим, что это количество равно убыли газа за время Ж в одном босуде и прибыли за то же время в другом. Эти обстоятельства дают возможносгь написать уравнения: — бэ, „- =а(Р,— р) дРг (141) арл 2 — (Р, — Р,), в которых левые и правые части сокращены на б1, а д обозначает постоянный коэфициент.
Почленное вычитание уравнений дает и — +о — =0 аРг дРа аг ' дг откуда ор+ р =С. (142) Произвольная постоянная С определится, если заметим, что в на. чальный момент Р, = Р, и Ря = Р;1 отсюга С= о,Р, + ояР . УРавненне (142) связывает неизвестные р, и Ра, Чтобы йайти второе уравнение с теми же неизвестными, умножим первое из уравнений (141) на Рео и сложим со втоРым, Умноженным на Рго,. Это дает до о,(р, Рв — Р,, +~ = а (р," — р ) (рр + рао ) = аС(Р— Р ). 2 Разделив на р„, этому уравнению придадим вид аа —" У Ра ха ащев — =1 — ( — ~, где и 1Р)' еС Рг лег Пзлагая — '-' =е, получим — =Ф, и затеи, интегрируя Рг ] г2 ! 1и — = — + 1п С .
1+в 2г 1 — г Л г Переходя от логарифмов к числам, после замены е через Рт имеем зс ~~ = Стев. (143) Произвольная постсянная С, здесь, как это нетрудяо видеть, равна Ф Рч+ Рч — —. Уравнения (142) и (143) определят искомые давления р, и р . Ю Р1 — Рч й 30. Способ Эйлера интегрирования системы линейяых одно- родных диференциальных уравнений с постояняыми коафицнентамн. Рассмотрим этот способ в применении к системе трех линейных диференциальных уравнений: а —— ах + Ьу+ сл, ах — = а~х+Ь,у+с,е, лу аг — — аех+ Ьэу+ сэе ае где Л, р, ч и г — постоянные числа. Подстановка этих значений х, у и л в заданные уравнения и сокращение на е'ч привелут нас к уравне- ниям: (а — г) Л+ Ьи+ сч = О, а, Л+ (Ь, — г) р, + с,ч = О а Л+Ь р+(с — г)ч=О, (144) которые для Л, р и ч могут дать отличные от нуля значении только в том случае, когда а — г Ь с а= а, Ь,— г с, =О.
а Ь с — г Этот определитель представляет собой кубическое относительно уравнение, называемое характера стич еским. Бели его корниг, гз и им то, подставляя их в уравнения (144), мы получим для чисел Л, р н ч значения: Лп $~н ч11 Лэ Раз чм " Лзэ рэ| че~ и соответственно с этим три системы частных решений лч = ч ег1ь е =че"и У1 = 'г1е"ч~1 Уэ 'гас"' ч х,=Л е 1ч, ха — — Лязга, из чзе™ Уз = Рзе" хе=Л е"вч, Искомые интегралы булут: х=С1х,+Сзх +Секи у=с,у,+С,у,+С,у, л = С,з + Саез+ Сваи 9 в ыь чо.
а о ююа 129 однородных с постоянными коэфнциеитами. Будем искать решения этой системы в виде: х=Ле"ч, у=рече н г=чеы Если среди корней характеристического равные между собой нли комплексные, то частными интегралами Надо поступать так, интегрировании линейных днференцнальных рядков ($ 18). П ример. уравнения встречаются с ч)пответствующнми им как было указано при уравнений высших по- ⻠— =Зх у+в,' вг — = -»+5у — з ау «г вз — =»-у+3». вг Поступая, кзк указано выше, мы получим характернстнческое уравнение ! 3 — г — 1 1 †1 5 в — 1 =О, 1 — 1 3 — г нлн гз — 1!гэ+Збг — 33=*0. Соответственно корням его г! 2, гз=З н г, = б получаем иэ уравнений, для определения Л, э н э: (3 — г) Л вЂ” и+ э = О, — Л + (5 — г) и — э = О Л вЂ” н+(3 — г)э = О, значения дэя чнсез Л, и и э: л =1, и1=О, Л,=1, Нз=), ч = — 1; ч=1 Л,=1, ~,= — 2, (здесь во всех трех случаях положено Л = 1).
Сообразно с этим имеем частные решения: »з=езз, у1=0, »з— - вм, уз=вы, вм зз = взг, »з = вез, уз — — — 2гэз, Полная система искомых интегралов: » = С!вяз+ Сзсм+ Сзээг, Р! (У2 у = Сзвзг — 2Сзеэз и з = — С!вез+ Сзвзз + Савей ясь Система дифервнииальних уравнений для Е,з двух связанных конту3 ров. Предположим, что имеются два контура И (фнг. 43), причем в одном из ннхдействуетэлектроФнг. 43.
двнжущая сила Еэв!пав, а в другом источник тока отсутствует. Ток первого контура вследствие индукции возбуждает электродвнжущую силу в другом контуре. 130 а Будем считать дачными: сопротивления цепей гс, и йа; коэфициенты саиоиидукции контуров Л, и Ав емкости контуров С, и Са и коэфициент взаимной индукции М. Йскомыми являются силы тока Г, и ув. Если учтем взаимодействие контуров, то для определения сил тока получим систему двух уравнений; ~, +М и +7~ 7 +-~-~ УАГ=Е ЛГ Лт 1 г ,тга +м де +7~г л + с ее~соя~~ ФУ~ гд1~ Л7~ 7г (145) Гв ет +М ег +Ра ег + С 0 Ле7е ЛЧ~ Л7а 1а второго порядка с двумя иеизвестиыми функциями.
Рассмотрим сначала систему двух однородных уравнений: е''-Л ЛИе Лт~ 7~ (146) 7. — +М вЂ”,~=.Лв — -~ — =0. (Р!а ФУ, Иге 7, е л лг лг с, Применяя к ее интегрированию метод Эйлера, положим У, = Хеы и ув —— ре"г. Подстановка в (146) и сокрашение иа е"' дает: Ф,р-~-и;~- ')~-~лэ'=О ~ и 1М в+ р (7., + 77 + С-) = О. Отсюда для 1 и р мы сможем получить значения, ие равные одновременно нулю лишь в том случае, когда определитель системы (147) равен нулю, т. е. когда (1.,ге -~- й,г+ С ) (С.агв + йвг+ -С-) — Мвк' = О. (148) (147) Это уравнение четвертой степени относительно г и коэфициент при г' в ием равен 7 7в — Мв.
Если величина Л4в сравнительно с Е,7в мала (как вто обыкновенно бывгег на практике), то корни уравнения (148) мало отличаются от корней уравнения (.Р+К г+ ь 1(ЕФ+РУ+ 1 т=о, вь т81 получить которую можно на основании соображений, аналогичных тем, которые нами были приведены иа стр. 25. Для устранения знаков интргралов будем диференцировать оба уравнения по времени Г. Получим систему двух линейных уравнений: которое приводится к двум квадратным: У.,Я+К;+ — '=О и 1;+Кг+ — '-О.
с,= з Остановимся на случае, когда корни этих квадратных уравнений комплексны. Эти корни будут иметь вещественные части отрицательными, в чем нетрудно убедиться непосредственно. Но это значит, что корни уравнения (148) также будут комплексны с отрицательными вещественными частями, т. е. они будут иметь вид: г, = — а+рй гз — — — а — ~ю', гз — — — т+8А г = — Т вЂ” йй Сообразно с втим для сил тока мы получим выражения: 1,=О,е-'соя!)г+О е-"' з!яре+О е-!е соя йз+11,е-р з!пйг \ и ~ (149), Уз = Г,е-"' соз рг+ Гзе-'з з!и рС+ Гзе-М соз 8!+ Г,е-тз з!и 81, в которых величины .О, и Г,— произвольные постоянные, причем коэфициенты Г, линейно зависят от коэфициентов 1)е Мы проинтегрировали систему (146). Для отыскания же интегралов системы (145) нам придется отыскать еще.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
