Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1086556), страница 16
Текст из файла (страница 16)
И так как 1 ез а=)зи, то имеем + 1+ сп(2и 1ГН~ (91) 1 — сп(2и 3~Й) Эта фор)аула служит для вычисления функции )аи в случае, когда о( 0 и когда известны 4з и из и задан аРгУмент и. Выявим периоды функции )зи. Если и ) О, то заменим в (30) аргу- 2К мент и на и+ =- —. г" е, — ез где йз= — *. Отсюда следует, что о= аж (и "и~е — ез) и з(по= ез — ез = зп(и Г' ез — ез). Следовательно, Здесь мы полагаем к= о У" 1 — Лз з1пз т или, как это следует из формул (88) и (89), К.= э' е,— е лз У 4зв — йзз — вз е, Тогда получим + 2К ) + ( Уе,— ез) впв(и Уе,— ее+К) вез(и Уез — ез) причем У 4ез — лзе — х Можно показать, что кроме вещественного периода 2мн при Ь ) О, функция 9зи имеет еще мнимый период в, 21К' ~' йв 2мз= =2 1 Уев — ез,1 У4зв езе ев ' причем т> (евз) = ев.
В случае 5<0, пользуясь формулой (91), можно показать, что функция Ри обладает периодами: 2а ==, 21К' Уй' 2в,== и 2К Уй где Н нмеет прежнее значение. Разложение функции 1зи в ряд по степеням и имеет вид з 91и = — + — из+ — и'+ ив+ — ив+ кз ез лз Зйздз из .
4 5 4 7 2е 3 5з 2в 5 7 11 График функции 1зи для вещественных значений аргумента и показан на фиг. 85. При Ь ) О корень е, ) О, н потому кривая не пересекает оси Ои. При Ь(0 ход ивменениа функции Ри будет тот же, но Полагая =езм получим Р(и+2ез,)=1зи. Мы видим, что 2ев К Уе, ев служит периодом функции ззи. Вели и = м„ то, как это видно из (89), амплитуда 1е = †, а из (88) следует, что е = е,. Следовательно, $з (ез,) = е„ (92) вещественный корень ея может быть как положительным,'так и отрипательным.
Следовательно, кривая может не пересекать оси Ои, но может быть и так, что каждая ветвь кривой пересекает ось Ои в двух точках. 5 24. Функции дзета и сигма. Кроме функции (Ри Вейерштрасс ввел еще функции ьи (авета от и) и аи (сигма от и), Они определяются равенствами: 1и = — ) (аийи и т. е. и!в еи (и =— ли Фиг.
35. Постоянные интегрирования выбраны так,. что обе функции — нечетные, Пусть 2а есть какой-нибудь иа периодов функции (еи. В таком случае 'аа(и+ 2а) =(зи. Умножая обе части этого равенства на аи и затем интегрируя, получим ь(и+2а) =ьи+ 2в, где 2в †постоянн интегрированна. Ее нетрудно определить. Полагая и = — а, будем иметь 1а = — 1а+ 2ть т. е. и =1а. Таким образом приходим к соотношению ь(и+ 2а) = ьи+~а, (93) которым в дальнейшем нам придется воспользоваться. Интегрируя (93), находим 1п е(и+2а) =!паи+2аи+Г, где à — постоянная интегрирования. Переписав полученное равенство в виде е(и+ 2а) =резче ° аи, положим и= — а. Это дает Г=е-ач".
Следовательно, е (и+ 2а) = е-вл Ше ) ° аи. (94) Формулы (93) и (94) выражают результат прибавления 2а к аргументу функций ьи и еи. Заметим, что функции ьи и еи не принадлежат к эллиптическим функциам. 96 Исходя иа формулы сложения функции )о, можно получить для функции Си соотношение Ци+ е) — Си — Се =— 1 (з'и — (з'е 2 (эи — Ре ' которое можно рассматривать как формулу сложения для функции Си.
В свою очередь из (95) можно для функции ои получить формулу э(и+о) а(и — е) (96) ели ° ете Рзрложения функций Си и ои в ряд по степеням и имеют вид: иэ Х иь йэ ит Си — — —. и йт 5 3 Р 7 5 21 3 бэ 7 8,«з Хзи' баэиз 3 ° 5 2э ° 3 ° 5 ° 7 2э ° бз 5 ° 7 (97) В 25. Вычисление эллиптических функций. Покажем иа нескольких примерах, каким образом вычисляются эллиптические функции. Пример 1.
Вычислить функции зци, спи и бпи, если и=0,9683, а модулярный угол 7=15'. В таблицах эллиптических интегралов ') находим, что если и = 0,9683 и 7= И', то амплитуда 7=55'. Следовательно, на основании формул зпи=з1пр и спи=совр имеем: зп 0,9683 = з1п 55'= 0,81915; си 0,9683 соз 55'= 0,5738. Далее имеем: бпи= )г 1 — з1пвТ ° зпэи, 1опбпи=1,99001 и бп и = 0,9773. т) Таблиц эллиптических ивтегралов на русском взыке существует мвого, отметим трн из них: а) Янке п Эмде, Таблицы спецваазных функций, ГОНТИ, 1933. Ь) Глазенап С. П., Математические н астрономические таблицы, изл.
Академии наук, 1932. с) с н коре к на ю. С., Элементы теории эллиптических функций с их приложениями к механике, ОНТИ, 1935. т) Изб 22 имеем зп (4 К + е) = зп е п ~ап ( — и) = — зп и. Обозначая е = — и, будем иметь эп(4К вЂ” и~ зп(4К+е) = эпе ап( — и) = — зп и, 7 з еэо. ю. а с оюив Пример 2. Вычислить зп8,7614, если модуляриый угол 7=75'. Наибольший же соответствующий углу 7=75' табличный аргумент есть К = 2,7681. Можем поэтому писать з) зп 8,7614 = зп (4 К вЂ” 2,3110) = — зп 2,3110. Обращаясь к таблицам, находим, что при и=2,3110 и при 7= 75' амплитуда 7 = 83'. Теперь находим зп 8,7614 = — зп 2,3110 = — з1п 83' = — '0,9926, П р и м е р 8.
Вычислить эп 0,7, если модуляриый угол 7 = 60'. В таблице находим, что если 7 = 60', то амплитуде 35' соответствует аргумент 0,6409, а амплитуде 40' соответствует аргумент 0,7436. Ингерполируя, находим и =37'52'34". Следовательно, эп 0,7 = э(п 37'52'34и 0,6136. Пример 4. Вычислить )э0,4536, если инварианты 39 35 4 еэ 8' Так как дискриминаит й=8' — 27л ) О, то применяем формулу (90): $>и = ее+ ' .
В данном случае корни: е, = —, еп'(и г'е,— еа) 4 1 5 е = — — и ее — — — —. Модуль определяется по формуле 2 4 гэ ге 1 ° . и ага= — = — =э)паТ т =30 . ег — ее 4 Разность корней е, — еэ = 3. Вследствие этого р 0,4536 = — — + 5 4 3 + - =.
Заметив, что 0,4536 Э' 3 = 0,7856, обращаемся к табепе(04588 Эг 3) лицам. Пользуясь ими, находим, что амплитуде 43' соответствует аргу- мент 0,7671, а амплитуде 44' соответствует аргумент 0,7857. Соста- вляем пропорцию: т — 43а 0,7856 — 0,7б71, 4 о г и 44и — 48о 0 7857 — 0 7871 Следовательно, 5 3 0,4536 = — 4 + е~пэ 4зо59,45и.
Произведя вычисления, получим ~э 0,4536 = 4,9679. Пр и и е р 5. Вычислить $> 0,1345, если лэ — — — 24, аэ = — 28. Здесь Ь < О. Корни: е, = —, еэ — — — 1 и еэ= —. Поль1+за рз 1 — згуз 2 вуемся формулой (91) ыи ) Н1+ сп(2и Г Н) 1 — сп(2и Г Н) В данном случае: т = —, п = —, Н= 9т + и = 3. Квадрат 1 3 3 2 модуля иэ — — — н 4 ' э!пят 4 ' 7 60 . Вычисляем сп(2и г Н). Имеем сп(2иф'Й) =сп 0,4659. Ио, согласно таблице, аргумент 0,4659 соответствует, при 7 = 60', амплитуде 26'. Следовательно, сп(2и )гН) = соа 26'.
Поэтому (э0,1345=а +Не(аэ 2 = — 1+3 с1йэ13'. Произведя вычисления, найдем (о 0,1345 = 55,258. 87. Лч4еренциальное уравнение колебаний маяганика. Представим себе,, что физический маятник совершает колебания около горизоитальиой оси, которая проходит через точку О (фиг. 36). Примем эту точку за начало координат, ось ОХ направим горизонтально, а ОУ— вертикально вниз. Обозначим: иачальиый угол уОРе отклонения в~аятиика буквой и; угол ГОР†букв 0; массу маятника †букв т; расстояние от центра тяжести С маятника до точки привеса, т.
е. ОС, †букв Ь. Фиг. 36. Так как момент силы тяжести относительно оси вращения равен — Майа1п0, то дифереициальиое уравнение вращеиия тела около оси 21 напишется так: М1га+Ьв) — „,, = — Майвшб, ФО ага или — +Ь ~ — = — ля!п 0. ( гь т лье л 1агь = При выводе этого уравиеиия мы пренебрегли сопротивлеиием среды, в кот~ рой совершаются колебания маятника. гь Положив — + Ь = 1, получим аье 1 — д'а!и 6. им (98) Тогда момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку С и параллельной оси вращения, равен Мга, где г— радиус ииерции относительно первой оси, а момент инерции относительно оси вращеиии 1 = —, + СР = Ь+ — „, т.
е. Таким образом выходит, что если маятник подвесить за центр качания, то прежняя точка привеса сделается новым центром качания. >гз Умножим левую часть уравнения (98) на — „° Ш, а правую — на о>0. Заметив что — Ж = а> — мы сможем уравнение (98) переписать Л>0 >10 лг> >гг ' в виде 1 — а> ( — ) = — 8 Мп 0 п>0. Ла /Ф'> лг ~т)= Интегрируя, найдем 1( — „) =2дсоз0+Г> где à †произвольн постоянная.
Заметив, — = О, когда угол 0 = "+-и, будем иметь ФВ Ж 0 = 2а соз а + Г> что угловая скорость откуда 1( — ) = 2й (соз 0 — соз а) т лз'>т (, лг1 ( — ) =4ла(з(п — — з1п — ), где положено я:1=из. Извлекая квадратный корень, получим — = 2а ~l з!па — — з1пз —. зз / а .
6 Ф т" 2 2' (99) Здесь мы выбрали знак плюс перед корнем из следующих соображений: считаем, что 0 ( О, если ОР лежит в угле Р„ОР„и 0 ) О, если ОР лежит в угле Р ОРз. Отсюда следует, что при переходе маятника нз положения ОРе в положение ОРз 0 возрастает и, следовательно, Ф1Ж) О. За начальный момент выберем момент перехода маятника через положение равновесия. Тогда, отделяя в (99) перемен- н ые и интегрируя, найдем в 6 2 иг = у з!и> — — в~п>— а О 2 2 !00 >е Продолжив прямую ОС, отложим на ней отрезок СР= — „.
Найденная таким образом точка Р называется центром качания маятника, а длина 1 — приведенной длиной его. Точка Р обладает весьма замечательным свойством. Представим себе, что маятник снят и подвешен к оси в точке Р. Вычислим приведенную длину вновь полученного маятника. Эта длина Преобразуем под знаком интеграла переменную, полагая В .
а а1п — = в1п — ° в1п р 2 2 тогда В 2 вгп — ° сов Ч ев гг — = 2 /" е т, 1 — в1пв — в1пв В 2 Когда 6 меняется от нуля до 8, то Вг меняется в пределах от нуля до р. Следовательно, е где й=в!п —. Отметим что модулярный угол етого интеграла 7 2' 2' Обращая же последний интеграл, найдем р = аю(лс) = ащ (в ф/ й~ ). Как зто видно из равенства (99), угловая скорость — станет равной ЛВ ггг нулю, когда маятник займет положение ОРв, симметричное с положением ОРо относительно оси Оу. Время колебания маятника при переходе от положения ОРо в положение ОРв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
