Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1086556), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Так как и = 0 при э = О, то зп0=0; сп0=1 и бп0=1. Диференцируя первый из основных трех интегралов, будем иметь л„= У(1 — Р) (1 — РР). Диференцируя равенства (73), можно получить еще две такие формулы: и я'пп и — = — ляапи ° спи ви исаи ли = — зп и бпи Если в интеграле г (Ф, 7г) амплитуду р возьмем равной †, то интеграл называется полным эллиптическим интегралом первого рода.
Обозначив этот интеграл через К, будем иметь (74) Функция 6=ави служит интегралом этого диференциального уравне-. ния, которое можно переписать еще и так: папи — = спл ° бп и. я'и Но так как Ивх Иву и' / их иу Ъ У вЂ” — х — = — (У вЂ” — х — 1 У игв игв иг (х иг иг) 9ьвху (у + х ] (1 /гвхвув) Их пут И и'г йг 7 йг то заменяя, найдем — ~1п /у — — х — ~1 = — 1!п (1 — веха )1. Отсюда, интегрируя, получим Фх иу у — — х— йг — — =с, где С вЂ” постояннав интегрирования.
Теперь ааменив — и — ик значениями будем иметь их ку Э кг лг э х Зг(1 — ув>(1 — авув)+у ЪГ(1 — хв)(1 — Ввхв) ( ) 1 — йвхвув Такова алгебраическая форма интеграла уравнении (75). Далее положим йх =и и лу — = о, (79) . у (1 хв) (1 Ввхв) З )г(1 ув) (1 Ввув) т. е. х=зпи и у=зпо; следовательно, ~/Т вЂ” хв = сп и, )Г1 лвхв = бп и; 'г'1 — уз =спо, )г1 — йвув= био. В таком случае (78) примет вид впи спо ипо+впо ° спи оп и 1 — Вв впви впво (80) Но, с другой стороны, ввиду равенств (79), можно уравнение (75) переписать так: и+ и=о, т.
е и+о=Г, (81) где à — постоянная интегрирования. Положим теперь в равенствах (80) и (81) о= О. В таком случае вп о = О, спо = 1 и бп и = 1. Следовательно, зпи=С и и=Г, т. е. С= зпГ. (82) Внося сюда значения С и Г из (80) и (81), находим формулу сложения функций зп: ° вп и ° сп о ° ип о + вп о ° сп и ° йп и 1 — Лв апви впво Формула сложения для функций сп может быть установлена так: спт(и+ о) = 1 — впв(и+о) = (1 — И ° апти ° впво)з — (зп и ° сч по йпо+ зло ° спи ее и)в (1 — И ° вп' и ° зпт о)з Заменяя в числителе (1 — йв ° зпз и ° зпв о)в через (спз и-Ф-зпв и ° Йпв о) Х Х(свао+впво бпви), преобразуем его к виду (сп и сп о — зп и ° зп о дп и .
дп о)в. Извлекая квадратный корень из обеих частей полученного равенства, получим сп и ° сп о — зп и ° зп о ° пп и ° еп о Положим о=О. Правая часть равенства сделается разной -+-спи. Это показывает, что необходимо взять знак плю;. Таким образом + ) спи спо — зпи ° зпо ° йпи ° ппо (83) 1 — И ° зпт и ° зпт о Для функции же бп бпв(и+ о) = 1 — йв ° зпв(и+ о) = (1 — И зпт и ° зИ о)т — И (зп и ° сп о ° йп о+ вп о ° сп и пп и)т (1 — И ° зпт и ° зпв о)з (спи ° оп о — И ° зпи зло ° спи ° спо)з (1 — И ° зпт и ° зпт о)т Извлекаем корень и опять, полагая о = О,, выбираем знак.
Мы находим + ) спи ° йпо — И зпи ° зпо йпи йпо (84) 1 — И ° зпзи ° вито Подагая в (82), (88) и (84) и=о=К, будем иметь: зп2К=О, сп2К= — 1 и бп2К=1, Подобно круговым эллиптические функции имеют формулы приведения. Отметим некоторые иэ них, Полагая в тех же формулах (82), (83) и (84) о=К и затем о=2К, получим: — Изпи И зп(и+ К) = —, сп(и+ К) =,, бп (и+ К) = — „ зп(и+ 2К) = — зп и, сп(и+ 2К) = — сп и, бп (и+ 2К) = бп и.
Из последнего равенства следует, что периодом функции бп служит 2К. Замена в двух предшествующих равенствах и на и+2К приводит к результату: яп(и+4К)=зли и сп(и+4К)=спи, нз которого видно, что для функций вп и сп периодом служит 4К: Кроме этих вещественных периодов эллиптические функции имеют еще мнимые периоды и являются функциями двоякопериодическими. Эти вторые периоды долго ускользали от внимания математиков и их открытию мы обязаны Абелю и Якоби. Двоякая периодичность эллинги 89 ческих функний может быть выражена формулами (лг и и — целые числа): зп(и+ и ° 4К+ и 2(К') = зп и, сп (и+ги ° 4К+л(2К+ 2(К')] =спи бп(и+си ° 2К+и ° 41К ) = бои, которые мы приводим здесь без доказательства.
Обычно характерными для всякой функции являются те значения аргумента, при которых эта функция обращается в нуль иливбесконечность. (Нули и полюсы.) Нулями служат: лг ° 2К+ и ° 21К' для функции зп, К+т 2К+и 2(К' для функции сп и К+(К'+ги ° 2К+и ° 21К' для функции бп; полюсы для всех трех функций выражаются формулой 1К' + ги ° 2К+ и ° 2(К'. Отметим еще те случаи, когда эллиптические функции вырождаются в круговые или в гиперболические.
Это, имеет место, если модуль й= О, или й= 1. Действительно, при й=О, кзк это нетрудно видеть, зпи=з1пи и 3 тем самым сп и=соя и и бил=1. Если же ее= 1, то интеграл 1 и( и= г~(1 Р) (1 Ззсз) переходит в интеграл Е и$ и = ~ —. Отсюда — 31 — (з о Фиг. 34. Г1 1( 1 езя 1 еч — е-ч и=1пфг —,, т. е. с= „= =(зи, У 1::.
= ° +1= "+е —.= Отсюда зп и = (п и, 1 1 спи= ~/1 — зпзи= — „и дни= —.' си и' Мы видим, что круговые и гиперболические функции ггредставляют частные случаи эллиптических функций. Откладывая по оси Ои (фиг. 34) вещественные значения аргумента и, а по направлению оси 01 — соответствующие вначения функций зп и, сп и и бп и, мы получаем графики этих функций. Надо, конечно, иметь в виду, что график каждой из этих функций принимает вполне определенный нид только тогда, когда дан модуль А.
Для 90 другого модуля график, сохраняя то же общее очертание, изменит свою форму. 5 23. Эллиптические функции Вейерштрасса. В своих лекциях, читанных в Берлинском университете, Карл Вейерштрасс развил учение об эллиптических функциях в форме, отличной от той, в какой оно было развито Абелем и Якоби. За основной интеграл Вейерштрасс принимает и= (85) у' 4ее — я~а — к, , ° я Козфициенты пв и лв приведенного многочлена третьей степени будем считать вещественными. Рассматривая и как аргумент, а нижний предел интеграла †л †его функцию, обозначим эту функцию через(уи. Обращая интеграл, будем иметь Если желательно подчеркнуть, что л зависит не только от и, но и от коэфициеитов л и ла, то пишут: =Р(л' К дз); лв и йв называют инвариантами функции Ри. Из (85) следует, что й= О при я = оо, иначе говоря, РО = со.
Таким образом выходит, что Ри есть тот частный интеграл уравнения — = — 'г 4л — да — на, 3 У . 2 который при и=О обращается в бесконечность. В изложении Вейерштрасса функция Ри и ее производная Р'и играют ту же роль, что и функции апи, спи и дпи в изложении Якоби. Устанавливая формулу сложения дла функции Ри, будем исходить из уравнения + "У О, 1' 4:х — у Ф в котором положим 4лз — рте — лз=Х и 4Ув — 8 У вЂ” па= У. Уравнение перепишется так: =4-==0. лх лу "У'Х У'Г Полагая ~И=— лу У"Г находим ( †„г) =Х и ( †,") = У, Диференцируя эти равенства по переменной Г и сокращая результаты на — н †, получим лх иу лг лг ' 2 — =12х — а и 2 —,=12уа— пах ..
Лаа аГа Далее положим: «+у=а и х — у=т. Будем иметь —, = —. + — = 6(х'+у') — уа или — = 3 (аа+ та) — иа. Вместе с тем или — ° — = т (8а + т, — уа) . аа Ла Заметив, что Лаа Фа ла 2ча ш лг лг и ла умножив обе части этого равенства на — — мы получим аа ат' Отсюда ла — ( — „г) =4а+ 4а и —,, = 2тфга+ а, где а в произвольная постоянная. Но ла лх лу + а Х аГУ лг лг ат Следовательно, УХ вЂ” 'Р У= 2(х — у) фгх+у+а, или 4( . ) «+У+ (86) Теперь положим ах иу =и и Г =и.
У4ха — Д,х — Да I У4Уа — КаУ вЂ” Ка Будем иметь: йи+ Ив=О н и+о=У, (87) где р †нов постоянная. Устанавливая зависимость между а и р, положим в равенстве (87) о = О. В таком случае р = и, Но при о = О Функция Рп = со, т.
е. у = со, и равенство (86), п реписанное в виде + 4 ~ 92 становится неопределенным. Вследствие этого положим, что у=сз, г' 1' — г'А' и разложим выражение в ряд по сгепеэим 1. у — х Снач1ла заметим, что 1' У=21 Ф/ 1 — 4и 4Ф 21 (1+ ге +;..). Следовательно, —,'(Уу — УХ)=1(1 — ~ 1,+ 4+ .
) Вместе с тем =-'(1+- я-+ — "+ ...). се(1+ х + В + )в аз+2 + С+ Тецерь мы видим, что при о=О, т. е. при у=аз=со, будем иметь а+х = 2х, откуда а = 1аи. Следовательно, а = 1ЯР. Заметим еще, что ~/Х=1а'и и у'1'=1а'о. Тогда случай (86) дает: ((+ )+~ +(у =К";,"„:" )'. Равенство это выражает формулу сложения для функции 1а. КоРни многочлена 4ез — ляе — дз обозначим бУкзами е„ея и е, так что 4лз — 8'з — 8 =4(я — е,)(я — е,)(е — ез). в 3 Если дискриминант Ь = и — 278 положителен, то все три корня вешественны.
Если же Ь отрицателен, то иэ трех корней два комплексны. Пусть Ь ) О. Будем считать, что е, ) е, ) ез. В интеграле йе и= г' 4 (е — е,) (е — еВ (е — ез) пдложим е1 — ез я=е + —. з1пэ т (88) Тогда е,— ез и= ) 1 а )г1 — ая з1пз т (89) 98 Перемножим два последних равенства и, после возвышения результата в квадрат, получим )зи = ез+ зпз (и "г' ез — ез) (90) Это весьма важное соотношение между функциями 1з и зп может служить для вычисления значения функции )аи, если дано и и инварианты из и из и если Ь ) О. Пусть теперь Ь(0.
Положим е,=т+л) и ез-— -т — л1. Так как е,+ез+е =О, то ее= — 2ш. Вместе с тем 2 Кв ез е. и' = — — —. 4ез 4 ' лез+ из = е е = —, т Кз 4ез ' Применим.к интегралу СО У4(з — е,) [(е — т)з + лз1 подстановку з=е +Нс12зф, где И= у'9тз+лз. Мы получим и= ич 2 з1пз — '3 Н (1+ с194 — ~1+ Зез с19з —,Ч 2 ~/Й У т Ч Зе з з' 2 2 Н 2 2 Ъ/ з(пз — + созе — + — з(пз — соз'— или 2ФН~ 1Т вЂ” ~ 3 где й = — — 3 —. Отсюда следует, что о=аш(2и у'Н).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
