Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1086556), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Определив отсюда С н С п внеся их значения в (105), имеем г 16 ЗТГ 1 — у = —, ~гг'и (ьи — Ймз) + 2 (Гио — ьмз)+ — Рзи~. з о з Кроме того, л = 2-(1+ 2Р' ). Последние два равенства представляют параметрическое уравнение изогнутой оси бруса. Прогиб Г" получим, полагая в выражении ординаты и = и . Приняв во внимание, что уг'ыз = О и )рюа †††1, будем иметь 2 У (4+ о ~)' ЗТ! г Г 1 В формуле ь(и+ и) = ьи+ Го+ — —— 1 Р'и — Р'о 2 )ги — 'го положим и= но и и= — мз; получим ьпо (мз= 1+" ("о мя)> откуда Зуу~гг Г ~5 Лли числового примера примем Г = 200 см, Е= 2000000 кг/смз, д =20 лг/смг, )7= 1000 кг/смз.
1+1)ГЗ 1 1 Вычисляем ог. Так как ег —, то лг = — и и = — )г 3. Следователь- 2 ' 2 но, Н= 1Г9глг+ из = )" 3. Модулярный угол определяем из уравнения з1п 0= — — —, т. е. а1пзб= — + — У 3:6=75е 1 3 ее . 1 1 2 4Н' Но, соглзсно таблицам, при а = 75е полный эллиптический интеграл К = 2,76306; К значит вг = = = 2,1033. Вычисляем ио. Пользуясь формулой (91), при риз =0 ~'Й с — ез+Н 1 — Г' 3 имеем сп(2ио УгН) = = — = — 1315'. Отсюда сп(2К вЂ” 2ио Г'Й)= г — Н 1+ г'З =1615'.
Пользуясь таблнцамн и интерполируя, находим, что 2К вЂ” 2ио Г'Й= =1,34557; из-1,4021 и озг — по = 0,7012. При помощи (97) находим 1(ог — ие) =- = 1,4361. Поэтому У= — 0,56 см. В 26. Интегрирование уравнений посредством степенных рядов. Интегрирование диференциальных уравнений посредством степенных рядов может быть выполнено либо путем разложения неизвестной функции в ряд Тэйлора-Маклорена, либо путем разложении ее в обобщенный степенной ряд с неопределенными показгтелями и коэфициентами. Благодаря чрезвычайной общности прием этот весьма ценен как в теоретическом, так и в практическом отношении. Если им пользоваться с надлежащей осмотрительностью, следя за сходимостью получаемых рядов, то он может дать хорошие результаты. Заметим только, что, интегрируя уравнение посредством ряда, мы тем самым предполагаем, что искомая функция си о с об на разлагаться в степенной ряд.
108 'Пусть дано диференциальное уравнение Ф(х, у, у', у",..., У<">) = 0 (106) и известно, что когда аргумент х=а, то Г и <а — >) У,=В„У,=В„..., у, — =В„„ Уо В~ т. е. известны значения как самой функции, так и ее производных, начиная с первой и кончая производной порядка (и†1). Решая уравнение (106) относительно у<"), будем иметь у<а) = Р(х, у, у',..., У< -<)). (107) Диференцирование (107) по х дает у<"+'> = — + — У+ — у" + " + — (= — у<">.
дг дг, дР „дР дх ду ду' ' ' ' ду а-о) Если заменим здесь у< > ее значением из (107), то увидим, что производная у<"+О зависит только от х, у, у', у", ..., У<' -'), т. е. у<"+ ) — Г,(х, у, у, у, . „У<" '>). (108) Диференцирование (108) дает У<.") = — + — У+ — У +". + — Г=-у<.>. дг, др,, дГ, . дГ, дх ду ду' ' ' ' ду "-о) Если и здесь заменим У<а) ее значением (107), то увидим, что н производная у<а+э) зависит только от х, у, у', у", ..., У<"-'), т.
е. у<"+>=г ( у у у у<" '>) (109) (110) и т. д. Теперь применим к искомой функции формулу Тэйлора'. о а (х — а)о <и-1) (х — а)а 1 у уо+уо(» а) +у 2< + ' ' ' +Уо (л — 1)Г+ <о) (х — а)" > Уо л> Повторяя ту же операцию, мы увидим, что и все дальнейшие производные являются функциями только от х, у, у', у", ..., У< ->), т. е. у<"'э)=)'( у у' у'." у<" ") у< оо> = Р, (х, у, у', у',..., У<а-')) и т. д. Если в равенствах (107), (108), (109) и т. д.
заменим х, у, у', у, ..., У< -') их частными значениями а, В, В„Вэ, ..., В„„то получим: и за~енин у„ у,', у,", ..., У(" ! их значениями В, В„ В В, ..., В 01) (ооь) (ооо! а У,, Уо, Уоо, ... их значениами из (110). Мы найдем выРа- жение искомой функцио у = В+ В, (х — а)+ В, —," +... + + „(„,, +(о(а, В,„„..., В„,):,+ и! +Р((а, В, В„..., В„,) + .. (111) в виде степенного ряда со вполне определенными козфвциентами.
Если ряд этот сходится, то он может служить для вычисления значений у. Надо, однако, заметить, что выполнение вычислений на практике обыкновенно весьма утомительно, в особенности при слоя(ном виде функции Р(х, у, у', у",..., У("-'!). В этих случаях приходится поль- зоваться другими методами.
Некоторые из них рассмотрены ниже (см. главу о приближенном интегрировании), Мы считали величины В, В„... заданными. В этом случае (111) представляет частный интеграл уравнения (106). Но эти величины можно рассматривать и как произвольные постоянные. В таком случае (111) представит общий интеграл уравнения. В частном случае, когда а=0, получим неизвестную функцию разложенной в ряд Маклорена. В виде примера проинтегрируем уже рассмотренное в И уравнение гармо- нического колебательного движения Н~х —, + Лох = 0 (112) посредством разложения неизвестной функции х в ряа Маклорена. Положим, что в момент (= 0 функция хо= а и производная ее — =а.
ах а( Дяфереинируя последовательно уравнение (112), будем иметь: оох лх а«ох ачх дох ох аз = — во л, о,ч = — ло — „о =Аох, —.= А4Ж, !лох аох (!12а) Заменим в уравнениях (112) и (112а) х н — нх начальными значениями ах Ш /ах~ хо=а и ~ — ) =о. Это дает: л( о записывая разложение неизвестной функции х в виде ряда Маклорена, находил а после замены хо, ( — ), ( — ), (( — ), ... их значениями: ( а(~о а(о ~о "( о 2! Ч! '''( В ) З! 110 х и соз йе+ — зсп лй (113) Действительно, интегрируя по частям, будем СО СО Г(л+1)= ) е-*хМх= ~ — е- хо~ + о о Но для л) О функция е- х" равна нулю как х = оо.
Следовательно, иметь СО л ~ е- 'х"-'Фх. о при х=О, так и при Г(л+ 1) = лГ(л). Запевая в (113) параметр л последовательно на и†1, л — 2, л — 3, ..., л — л, где л есть число целое, мы получим ряд равенств: Г (л) = (л — 1) Г (л — 1), Г (л — 1) = (л — 2) Г (л — 2), Г(л — и+ 1) =(л — л)Г(л — л). Отсюда 1" (л) = (л — 1) (л — 2)... (л — л) Г (л — л). Заменяя же л на л+л, находим Г(л+ л) =(и-4-л — 1)(л+ й — 2)...лГ(л).
(114) Отсюда видно, что, составив таблицу значений функций Г(л) для вначений параметра л, заключенных между О и 1, мы, пользуясь формулой (114), сможем вычислить значения втой функции для любого, большего единицы, значения параметра. Например, Г®= — ', — , '—,' Г( —,'). При л целом Г(л) =(л — 1)(л — 2)...3 2 ° 1 Г(1). 111 1ны иным путем пришли к полученному раньше результату. 7зк как первый из обнаруженных при решении радов выражает соо И, з второй о1п ЛД то интеграл удалось написать в замкнутой форме и необходи- иость в исследозаиии сходииости рялов отпало. Это случай весьма редкий. йообще же получаемые ряды приходится исследовать при помощи известных из анализа признаков сходимости.
ф 27. Гамма-функции. Рассмотрим интегрзл е- хО-ГЫХ, о в котором показатель л) О. Этот интеграл обозначим через Г(л) и назовем г а м м а-ф у н к ц и е й от л. Открытая Эйлером гамма-функция имеет широкие применения в самых раанообразных частях математического анализа; мы здесь вкратце изложим ее наиболее важные свойства. Основное свойство гамма-функции состоит в том, что Г(л+ 1) = лГ(л).
О Но Г(1)=~ е-ла~х= 1. Следовательно, Г(л) = 1 2 3... (л — 1) = (л — 1)1 ОО 1 /1~ Г Прн и= — будем иметь Г( — )= Г е-"л-'/чгл. Положим л = за; 2 (,2) ./ е тогда ГЯ= 2~ е-"Мж о Но, как известно, 2) 1 о следовательно, г®=)'. Значит, при целом л Мы определили функцию Г(л) для л ~ О. Но понятие о функции Г(л) распроатраняется н на отрицательные значения параметра л. Если — 1 < л (О, то функцией Г(л) называют выражение Г(л+1) л Точно так же, если — и ( л ( — 4+ 1, то полагаем Г(л)— Г(л+ З) (л+ Ф вЂ” 1) (в+а — 2)...(л+ 1) л ' что согласно с формулой (114). Например, ( 9 ( ) ( а)= Ф (4)' Весьма важно заметить, что при и = О; — 1; — 2;...
функция Г(л) обращается в бесконечность. Известно из алгебры, сколь ванное значение имеет разложение целого миогочлена на множители. Мысль о разложении на множители ;естественно распространить и на другие рассматриваемые в анализе функции. Разница будет состоять в том, что в то время когда при разложении на множители целого многачлена чясло множителей получается конечным, при разложении других функций оно получается бесконечным. Принимая во внимание, что разложение на множители является для функции весьма характерным, мы представим функцию Г(п) в виде бесконечного произведения. Прежде всего заметим, что Г(п)= ! е- х"-'»1х=1ип ) е-пх" — 'ьух.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
