Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1086556), страница 20
Текст из файла (страница 20)
За ось ОУ примем гори- 7 зонтальную прямую. Обозначим буквой яг массу единицы длины нити. Выделив -р- )йютЯ«З элемент нити ЛЩ длиной Ье, обозначим буквами Т и Т, натяжения нити в точках М и М,; эти натяжения направлены по туаз Л касательным к изогнутой оси нити и образуют с осью ОХ углы а и а,. Кроме натяжений Т и Т„к элементу ЛЩ приложены еще: центробежная сила тазу бе и сила тяжести тйбе. Здесь м обозначает угловую скорость вращения, а л — ускорение силы тяжести. Заметим, что у=О при х=О. Проектирование на координатные оси дает: Т,сова, — Тсоза+тяЬз=О,, Т,з!и а,— Тз!и а+то22уЬе =О, Ы,Т сов «)+ гнре = О, (127) б ( Т з! и а) + тазу!1е = О.
! йх . йу Но соза= — „; з!па= — (х и у — координаты точки М). Заменим «е ' «е в уравнениях (127) сова и з!па их значениями,а затем разделим урав- нения на Ьз и перейдем к пределу в предположении, что Ье стремится к нолю. Мы получим " (ТЛ")+.т =О и — "('Т '«)-~-тазу=О. Если отклонение нити от оси вращения мало, то можно пог ж ~ть, что 2!а=ах; в таком случае будет: ит 222« йу лТ вЂ” = — тя и Т вЂ” + — ° — +тазу=О. их ихо Фх дх Первое из этих уравнений дает Т= — тех+ С. Но при х = ! (в точке А) Т= 0; следовательно, С =- тя7 и Т = тп(х — 7).
Второе уравнение дает иоу ! йу «2« ихо /.е-х нх ! й(г — х) 120 1 — х Полагая 2м у — =з, получим отсюда в агу 1 ду — „„+ — — „, +у=о. Общий интеграл этого уравмения у С,1,(в)+С,У,(в), или У=С,1е(2а)/:)+Саус(2вь)/ ). В точке А ° при х =1 ордината у должна быть конечной. Нь» 1'(0)=со. Поэтому надо положить С,=О. Кроме того, как выше.
замечено, в точке О: у=0 при х= О, т. е. С,1,(2 У вЂ” ')=0.. Можем принять, что С,=О. В таком случае получим прямолинейную форму равновесия. Возможно еще предположение, что 2ьь11 — = « Г7 й где а есть корень функции 1о(1). Эта функция обращается в нуль прис 1= 2,40; 1=5,52; 1= 8,65;... Принимая во внимание наименьший из этих корней, 0 мы получим 2м авс — = 2,4 . 1 г й Отсюда а=1,2 ~/ ~. Поскольку угловая скорость м меньше найденного значения, мить сохраняет вид прямой линии. Если а=1,2 г1 —, й нить может искривиться.
Таким образом полученное для м выражение является „критическим" значением угловой ско- Фиг. 41. рости. я2. Продольный изгиб цилиндрического стержня иод влиянисль собственного веса. Пусть имеется цилиндрический стержень, нижним концоиА заделанный неподвижно. Верхний конец — свободен.
Если длиььа с ~ержня велика по сравнению с размерамч поперечного сечения, то вследствие самой незначительной силы стержень может отклониться от вергикальноьо положения и затем, под влиянием силы сооственного веса, прогнуться. Вопрос состоит в том, как найти ту „критическую" длину 1, при которой может произойти прогиб.
Приняв точку О за начало, ось ОХ направляя вертикально вниз, а'01' †горизонталь (фиг. 41), выделим элемент сгержня К длиноя дв 121 а с координатами центра тяжести и и о. Момент силы тяжести элемента относительно точки 5(х, у) равен о(у — о)йи, где и — вес единицы длины стержня и где принято Иг=аги в предположении, что изгиб достаточно мал. Изгибающий момент в сечении 5 будет М= д ~ (у — о) Ыи =иху — и ~ ойи. 3раничные условия таковы: 1) у = О при х = О; 2) изгибающий момент при х=О также равен нулю, т. е. — „=О; 3) при х=7, вследствие ззделки конца А стержня„— = О. йу " йх Ф Если в уравнении Еу — = — М заменим изгибающий момент его лЯ у яхт :.значением, то правая часть уравнения будет содержать знак интеграла. 'Чтобы его уничтожить, продиференцируем уравнение по х. Мы получим азу йМ ЕУ вЂ” = — —.
йха Лх ' 'Но так как — „„=И+Рх — „„— О И.=.=Чх — „,, кМ -то Еу — = — ох — или — + и ха= О, кйу ', йу Лах Лха "йх я'хе где аа — и а= —. Полагая х=( — ) ° г~', получим а лу Еу ' лх' ~2! г — + — — — + х~ = О. лах 1 Йх йГа 3 Лу Заменим теперь функцию а через о с помощью соотношения х= оа '. ч Получаем уравнение Бесселя 1 ж котором параметр л= —. Его общий интеграл 3 ' о = С,У, (т) + С У, (~) или а У 3 х ~с~1~(3 х )+Са1 ч(3 х )~. (128) Написав выражения бесселевых функций У, ( — х ') и 1, ( — х ') и :внося ик в (128), придем к равенству вида Ф вЂ” „" =С,(Ах+Вх'+Схч+...)+С (К+1.ха+Мха+...). Составив производную — и применяя второе граничное условие азу Лхе Ф еайдем, что С, = О. Вследствие этого Лх а — ч ( 3 )' 122 Третье условие дает с,у ч (23 1') = О.
Пусть г — радиус верхнего основания, а гт — нижнего основания конуса. Радиус р некоторого сечения Я определится из пропорции (фиг. 42) р — г х гг — г — — т. е. р=с+ — х. гр — г Моиент инерции этого сечения относительно его нейтральной оси —,- ~1+ Фиг. 42 й — г яг4 Полагая — =р и ааметив, что — =уе, где уе есть момент инерг 4 0' ции верхнего сечения, имеем 1= ге( 1+ — ) . Граничные условия таковы: рх~~ г).
1) у=О прн х=О; 2) — „= 0 при х=й Уравнение упругой линии .иу И, Я+ ~1+ Р.".) ' Ру - О. Положим в нем 1+ — = — —. Из (129) получим йх 1 г гг Вг +2 +иггУ 0 (130) Ргг — Ча где а~= —. Далее, в (130) положим у=гг ~'. Получим уравнено г"- ' ние Бесселя (129) га — + г — + ~аггг — — ) а = О. Вгг ег г 1т сю и ~ 4) Если примем Сг= О, то получим прямолинейную форму равновесия у= О. Прочие формы равновесия получим, если положим — чв(3 ) 2е,ВН т.
е. что — г ' служит корнем функции ! Корни этой функции: 1,87; 4,49; 8,13;.... Наименьшему соответствует критическая длина 1= 1,99 1гг — . Первое же граничное услоь Г Е/ в вне будет удовлетворено, если, проинтегрировав (128), выберем вновь полученную произвольную постоянную так, чтобы изогнутая ось проходила через начало координат. 48. Уравнение продольного изгиба конического стержня. Задача о прбдольном изгибе стержня, имеющего форму усеченного конуса, заделанного одним концом и сжимаемого силой Р, приводит к такому уравнению Бесселя, которое интегрируется в тригонометрических функциях. Диференцнальное уравнение упругой линии ЕУ вЂ” = — Ру.
лгу йхг Переписав его в виде Гта)"- — +(~а) — — +ЕЮ вЂ” — 1х= О и!«Г)о М!«Г) 1, 4/ 1 и заметив, что л = —, имеем общий интеграл Гф 28) а=С,/„Га!)+Со/ а Га!), или / 2 з = 1/ — ГС, и!и аС+ Св соз а!). Возвращаясь к переменным х и у, получим у=(1+ — )(А,з!и — +Аз сов ), где А, = — С, 1/ — и Аз=Се аг/ †. Напомним, что при х=О аа аа ордината у = О.
Это дает А, з!па+Аз сова = 0; Аз= — А, 1а а. Следовательно, г+ ах . «вх у= — — А Ми —. !сова ' г+вх Образуем производную «у АД Г 1 . «зх а аах 1 — = — — ~ — з!и — + — соз— ах соз а ~ ! I+ бх г+ зх г+ «»х ~ Она равна нулю, если х =А Это дает уравнение аг а 21+а 1+а' из которого при данном р находим а. Критическая сила аоб«Е»о о о го Если, например, Р=2», то ~ = 1. Уравнение !К вЂ” = — — дает тогда 2 2 а = 4,06. Критическая сила Р = — ' 4 Об«Е»о Р ГЛАВА ПЬ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФЕРЕНЦИАДЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2 29. Общий ход решения задачи. Общий вид системы двух обыкновенных диференциальнык уравнений с двумя неизвестными функциями таков: Ее!А х, х', х", ..., х<о"1, у, у', у, ..., у! *>) =О.
)' Здесь à — аргумент, х и у — неизвестные функции. Порядок наивысшей производной для х равен: т, — в -первом уравнении и та в во втором; Ф для.у равен: и, — в первом уравнении и из †втором. Мы сейчас покажем, что вопрос об интегрировании системы (131) может быть сведен к вопросу об интегрировании одного диференциальиого уравнения с одной неизвестной функцией. Это станет ясным, если мы покажем, каким образом можно исключить функцию у и ее производные из обоих уравнений.
Продиференцируем первое уравнение л раз, а второе л, раз. Мы получим систему, содержащую и, + лэ+ 2 уравнения. Кроме аргуг ента 1, функции х и ее производных, в состав системы войдут у у~ у~' у(ж+в,) ($32) Так как число этих величин равно л, + лэ+ 1, а уравнений имеется и, + лэ+ 2, то, вообще говоря, можно из полученных уравнений исключить все величины (132). Для этого придется, следуя общему способу, решить ц + лз+ 1 уравнений относительно 'л', + лз+ 1 неизвес7ных, которыми будут служить величины (132). Мы найдем у =Ф(1, х, х', х", ...), (133) у' = ), (г, х, х', х", ...
), у"=фя(1, х, х', х", ...), ..., у<" е" >=фи „,(1, х, х', ...). Затем эти значения подставим в оставшееся неиспользованным (и,+ + и + 2)-е уравнение. Тогда величины (132) исключатся и вместо системы двух уравнений с двумя неизвестными функциями мы получим одно уравнение Ф(1, х, х', х", ..., хээ) — и, П 34) содержащее аргумент г, функцию х и ее производные. Порядок р наи- высшей производной равен большему из чисел: лг~+ яэ и глу+ пп Проинтегрировав уравнение (134), будем иметь х=г(1, С„Сз...., С,), (135) где С„Ся, ..., Ср — произвольные постоянные.
Остается еще найти функцую у. Этого можно достигнуть, образуя производные от (135) и подставляя их значения и значение х в уравнение (133). Результат будет: у = у, (с, фф... С ). Таков общий ход решения системы двух уравнений с двумя неизвестными функциями. Если дана система трех уравнений с тремя неизвестными функциями Ъ Р. (1, х, х', х", ..., хэ"Э, у, у', ..., у< д, з, з', ...зпа) = О, и' 125 то, следуя этому же методу, нужно прежле всего определить, сколько Раэ надо диференцировать кажлое уравнение, чтобы иметь возможность исключить функции у и л и их производные из полученной системы и, таким образом, получить одно диференциальное уравнение с одной неизвестной -функцией х. Схему решения этого вопроса мы приведем в виде таблицы.
л! Рз Рз Отметив в табличке наивысшие порядки производных от у и з, вачеркнем первую строку и составим суммы из оставшихся чисел, не лежащих в олпом столбце и в одной строке. Эти суммы будут: ля+ рз и л +ря. Большая из них покажет, сколько рзз надо диференцировать первое уравнение системы. Зачеркнем затем вторую строку и составим опять суммы из оставшихся чисел, не лежащих в одном столбце и в одной строке. Эти суммы булут: и+Р и и +Р,. Большая нз них покажет, сколько раз надо диференцировать второе уравнение системы. Зачеркивая, наконец, третью строку, составим суммы: л,+Ря и и +Р„ большая из которых покажет, сколько раз следует диференцировать третье уравнение. Получив путем диференцирования достаточное, для исключения функций у и л и их производных, число уравнений, в дальнейшем поступаем так же, как было указано выше для слУчая двух неизвестных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
