Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1086556), страница 22
Текст из файла (страница 22)
ее частные решения 1, и !з и эти решения приписать к правым частям равенств (149). Частные решения надлежит искать в форме ю', =А созвг+Вз!паг и 1з=А, созаг+В,з!паг. После подстановки втих выражений в (145) и после сравнения коэфициентов при созе! н з!пмг мы, для определения А, В, А, и В„ получим уравнения: А1Ммз+ВВ1м+ С = Вон А — ВУ;мз — ВдМаз — Айгм+ — О, с — А,1.заз — АМмз+ В,Яза + ~ = О А1 — В 1змз — ВМаз — А Д м+ — ' О.
з С, ГЛАВА Ч. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. В 31. О способах отыскания приближенных решений. С точки зрения практических приложений весьма важное значение имеет уменье вычислить интеграл днференциального уравнения, В тех случаях, когда интеграл выражается в конечном виде, вопрос трудностей не представляет. Вычислив постоянные и получив частный интеграл, мы можем 132 для каждого значения аргумента вычислить соответствующее знйчеиие функции. Но случаи интегрирования уравнений в замкнутой форме представляют собой явление, можно сказать, исключительное. Необходимо поэтому дать такой способ нахождения численного значения неизвестной функции, который был бы пригоден независимо от того, выражается ли эта функция через аргумент в конечном виде или не выражается.
В настоящее время имеется немало таких способов, обладающих различными, но достаточными для практики степенями точности. Среди других более известны методы: Пикара, Рунге-Кутта, А. Н. Крылова, Чаплыгина, Хеуна. Лордом Кельвином была даже построена особая машина для вычисления интегралов линейных лиференциальных уравнений второго порядка. Эта машина впоследствии была усовершенствована академиком А. Н. Крыловым и приспособлена лля уравнений третьего и четвертого порялка.
Изложение приемов численного интегрирования диференциальных уравнений мы начнем с доказательства „теоремы о существовании интеграла диференциального уравнения". Мы приведем доказательство этой теоремы, данное в 1890 г. Пикаром. Применяемый Пикаром прием доказательства, известный под названием способа последоват е л ь н ы х и р и бл н ис е н и й, наряду с теоретическим значением имеет и чисто практическое, позволяя о желаемой степенью точности вычислять интегралы диференциальных уравнений.
$ 32. Способ Пикара вычисления интегралов диференцнальных уравнений первого порядка. Изложим метал Пикара в применении к диференциальному уравнению первого порядка лУ =Дх, у), (150) относительно которого известно, что у = уо при х «о' Предположим, что /(х, у) непрерывна во всех точках прямоугольника Я, центром которого служит начальная точка (хо, у ), а стороны параллельны координат- Фиг. 44. ным осям(фиг, 44). Предположим также, что во всех точках этого прямоугольника функция дУ Д«, у) имеет ограниченную частную производную— Выражая эти обстоятельства неравенствами, можем сказать, что !дУ функция у'(х, у) непрерывна и ~ — ~(Ь при хо й ~-х (хо+~ " Уе 3(у(уо+л~ нли, что то же, при ) х — хо ! ( Ь и ( у — уо ! ( й.
Прием послелозательных приближений состоит в следующем. 133 Проинтегрируем обе части уравнения (150) по х. Приняв во внимание начальное условие, получим У вЂ” У.+ ~У(» У) ' ( ) ш Это — интегральное уравнение, равносильное совокупности диференциального уравнения (150) и начального условия. Уравнение (151) будем решать следующим образом. В качестве „нулевого", наиболее грубого, приближения к искомому решению возьмем У =Уе Подставим уе вместо у в правую часть уравнения (151), Если результат этой подстановки окажется равным уе, то наша задача решена. Вообще же говоря, этого не будет.
Обозначим череау, результат указанной подстановки: У1=уо+ ~ П» Уе) и» (152) Примем величину у, за первое приближение к неизвестной у. Подставим теперь у, вместо у в правую часть уравнения (151). Результат подстановки обозначим через у: Уз — Уо+ ~ У(» У1)п» За второе приближение к у примем уа и т.
д. Вообще, если нами построено (а — 1)-е приближение у„„то за п-е приближение примем Уя ~ .г(А Уе-1) пх+Уе' (153) Мы получим, таким образом, бесконечную последовательность приближений: Уо Уи Уа ° ~ Уя :Надо доказать, что эта посл едонательн ость функций сходится, т. е. существует Иш у„=г, н что функция Г удоя+со влет зоря ет уравнению (150). Вычисляя последовательные приближения по формулам (151), (152) и (153), надо иметь в виду, что значения у„уа, ..., У„, ...
не должны выходить из области прямоугольника 9, т. е. должно быть !У. — Уе! ( й. (154) Выберем в области Я две точки (х, у„) и (х, у,). По формуле Лагранжа можем написать, что .г(» У,) — У(», Уг)=(уа — У1)1д — ~ ~,дУ 1дУ )~ причем я лежит между У, и у,. В силу ~' — ~ (5 имеем аиду (У(х, уа) — у(х, у1)( С 5(уа — у, ~.
(156) 134 Условие (155) называется условием Коши-Липшитца. Обозначим через М наибольшее абсолютное значение непрерывной функции у (х, у) в области Я. В таком случае !у'(х, У)!< М. (156) Покажем, что условие (154) будет выполнено, если х находится в промежутке (157) !» «е!<7> где 1 есть меньшее из чисел л и —, т. е. Р<Ь и 1< —, в л Действительно, для случая л=1 будем иметь !У вЂ” Уе!= ~ !У(х, У,)! Ь< ~Ми, !у,— уе! . М(х — хе).
При соблюдении же (157) !У вЂ” Уе!<Л мы видим, что условие (154) удовлетворяется при л = 1. В случае и = 2 имеем (158) !у, — уе ! = ' ~ У'(», уе) Фх ~ < ~ ! ~(х, у ) ! аЪ' < М ~ Ых или !у,— у ! <М(х — х„). Далее, !У вЂ” У ! < ~ !У(» У) У(» Уе)!л» Приняв во внимание условие (155) — условие Коши-Липшитца, — найдем !Уа — У !<7 ~!У вЂ” У.!б 185 !Уа — Уе! <~ !У(» У)!б». Но так как !7'(х, у)!<М, то !Уа — Уе!<М!х — хе!, и вследствие ь (157): !Уа — уе!< А, т.
е. условие (154) удовлетворяется и при л=2. Точно так же можно доказать справедливость неравенства (154) при всяком л. Имея в виду показать, что у„при л-+ со стремится к пределу, представим у„ в виде У.=Уз+(Уг — Уе)+(Уя — У,)+-"+(у.— У.,). (158) Оценим абсолютное вначение входящих в состав ряда разностей. Пусть, например, х) хе. Имеем или, вследствие (158), )Уэ — У,!<~М ~(. — е) Ь, т. е )У,— У, ! < 5М 'х-„')*. (160) Дла следУющего члена Уз — У имеем ! Уа — Ув! ~( ~ ! У (х, Уэ) —.
— у(х,у,)! 2х, или, принимая во внимание (155), !Уэ — Уэ!<~ ~!У вЂ” У !4 Но вследствие (160) !Ув Уэ! < 1 М 8) (х — хе)з Вообще (х — хе)" Но бесконечный ряд у +М( е)+ЕМ (,х') +Е М( 3! ~+..., (161) сумма которого равна — [е ( "— 1]+у< Е сходится при всяком конечном х. Следовательно, бесконечный ряд Уе+(У вЂ” У )+(У вЂ” У,)+... +(ӄ— У„,)+..., (162)н каждый член которого по абсолютной величине меньше соответствую- щего члена ряда (161), будет равномерно сходиться в интервале (хе — Ь, хе+А). Сумма его Г будет непрерывной функцией х в том же интервале.
Величина у„ есть сумма п первых членов ряда (162). А это значит, что сумма ряда (162) есть предел величины у . Таким образом суще- ствование предела у„ доказано. Надо еще доказать, что У удовлетворяет уравнению (150). Для этого ааметим, что разность г — Уе-и при н-ьсо, стремится равномерно к нулю. Но из (155) следует, что разность )'(х, у) — г(х, у„,) тоже стремится равномерно к нулю. Следовательно, ! ~ у'(х, у) — у' (х, у„,) 4х ! -+ О, е х ~ у(х, у„,)бх-ь ~ У(х, У)4х при и-+ее 136 Переходя к пределу в равенстве (153), получим У=ус+ ~У(х, )~х. (163) Построенная нами функция У удовлетворяет, следовательно, как диференциальному уравнению (150), так и начальному условию.
Тем самым наша задача решена. Построенное нами решение У вЂ” единственное. На доказательстве этого останавливаться здесь не будем. Способ последовательных приближений может быть распространен и на случай системы диференциальныя уравнений. П р н и е р. Приложим способ Пикара к вычислению того частного интеграла уравнения у' = х'+у, который дает у =1 прн х = 0; следовательно, хе = 0 и уз = 1 ° Ймеем '+ з+уу~ хз е Отсюда хз г хз + — +~"уе =1+х+ — ° 3 3 3 ' е хз г «з ха ха + — + 1 утех 1+ х + — + — + —.
3,). 2 3 12' ха г хз хз ха ха + — + ~ узпх 1+х+ — + — +-г-+ —, 3 3 2 2 2 60' е ха г хз хз д4 хз ха + — + ~ узлх 1+х+ — + — + — + — + —, 3 2 2 2 6 60 360* е хз Г хз хз хе хз ха хт + — + ) уаех= 1+х+ — + — + — + — + — + —, 3 .) 2 2 6 40 360 2ЫО' о Ут = 1 Уз =1 Узмв 1 Уз=1 Обозначим между третьим ха хз Р„= — +— 12 2 т. е. разности между вторым и первым приближениями через Р,; и вторым — через Яз и т. д.
Будем иметь: ха хз ха ха, хт ха оо ' Зоо+ ' а '' + оо 6 Зоо 24 ' 2о20 120' ' " ха хе хз хз хз ха хт хз '= + 12'+ 2 60 5 +360+ 24.+Й~Б+120+" 137 Таким образом У удовлетвориет уравнению (152). Полагая в (163) х=хе, находим У=ус. Диференцируя же, получаем у'=.у(х, у). Пусть требуется вычислить искомый интеграл прн х = 0,6. Последовательные разности н последоза1ельные приближения будут: 771 = 0,1908; 77я = 0,037296; 77я = 0,0055296,' 77„= 0,00065911, ... н Уу = 1,672; Уя = 1,8628; Уя = 1,900096; 1~а = 1,9056256; та — — 1,90628171, ... 9 ЗЗ.
Способ Рунге-Кутта вычисления интегралов диференцнального уравнения первого порядка. Пусть дана диференциальное уравнение первого порядка У =7(» У) (164) и известно, что когда аргумент к =ко, то функция у =уо Требуется вычислить значение функции г', соответствующее ззданному значению аргумента Х. В общих чертах вопрос этот был рассмотрен в 9 26 при интегри-~ роваиии уравнений и-го порядка посредством рядов. Там же было упомянуто и о трудностях, встречаемых при вычислениях. Прежде всего проследим аа общим ходом задачи о вычислении приближенного значения неизвестной функции, Разделим промежуток Х вЂ” к на подходящее число и равных частей; частное (Х вЂ” хо): и обозначим буквой Ь и примем его за приращение аргумента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
