Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1086556), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Новое значение, аргумента, следовательно, будет В соответствии с этим функция у получит приращение, которое мы обозначим буквой л. Если мы сумеем вычислить л, то будем знать и новое значение функции У1 =Уо+л Теперь известные нам величины х, и у, примем за исходные. Опять дадим аргументу приращение 7т. Новое его значение хэ — — х,+Ь. Соответствующее приращение функции обозначим через лы Дели мы сумеем вычислить лп то будем знать и новое значение фуйкции Уз=Ус+лг Примем величины лэ и уя эа исходные и повторим ту же операцию. После и-кратного ее повторения мы 'вычислим искомое У. Весь вопрос в том, как вычислать приращения функции л. Согласно способу Рунге-Кутта это следует производить так. Сначала находим число 8, по формуле 8! й|(ло' уо)1 потом находим последовательно числа: З~=ф'(х + —, У + — '), 8.=5У( о+-,", у.+ 2) и Ч (ло + " уо+ 8з) 138 Искомое приращение функции Ь1+Ьо Ьт+Ьо и = — + =-9 —.
Расположение действий примем такое, как указано на схеме 1. Схема 1. Ь=И У(х,у) у(х, у) Ьг Уо хо и хо+ 2 Уо+ 2 Ьг Ьо Уо+ 2 и хо+— 2 сумма 3 1 Уо+Ьо Пхо+И У +Ьз) Уо+ И хо+ и хо+ и вычислить значение схеме; ограничимся Ь = И. У (х, у) У1х у) 0,09161 + 0,18178 0,1 0,90909 0,90871 0,832с6 0,09091 0,05 1,05 О,Оа087 0,08321 0,27339 0,09113 0,05 0,1 1,04545 1,09087 0,08321 0,07698 + 0,15316 1,09113 0,1 0,07661 1,13274 1,12944 1,16768 0,15 0,23014 0,07338 0,07655 О,о7о75 0,15 0,2 139 У(хо Уо) '("+$ "+ ) у(хо+ 2 Уо+ 2) Обоснование итого способа читатель нзйдет ниже. П р и м е р.
Дано диференциальное уравнение у — х У = у+ х' Известно, что у = 1,,когда аргумент х = О. Требуется фунгции г', соответствующее згачению х=02. Вычисления располагаем согласно вышеприведенной точностью до пяти десятичных знаков. Примем И= 0,1, 0,83209 0,76613 0,76552 0,70753 Искомое значение 1'= 1,09113+ 0,07338 = 1,16451.
— (Ьг + Ьо) 1 2 + Ьз+ Ьз откуда истинное значение приращения з Лз Ьз ьз 4=7зУо+ ~~уз+ ~у Уо + 4~Уо +' " (166) Определим входящие сюда коэфициенты у, у, у,,.... Имеем Уо = =7(ху, у ) — на основании уравнения (164). Запишем это сокращенно тзк: У =Уо. Образуя производную от (164), находим дх+ дуу' дУ дУ (166) Следовательно, '=( ).+( — ").У' или, кРатко, У,=Уз+У'Уо, где гз=( — ) и Уз=( — ). ДифеРеицируя (166), будем иметь Значит Уо =Аз+ 2АаУо+Узз~о+Уз (Уз+А~Уз) где ( дхз )о' У'з ( дхду )о Узз ( дуз )о Диференцируя (167), мы найдем У"" и т.
д. Если введем обозначения Уз+у,у; = В„Уж+У,Уо = О, Узз+ Ч„~,+1ззу, = О„ узм + 81зззуо'+ Зтззв/о +гзззго Оз то значения первых четырех коэфициеитов будут такие: з У,=А, У,"=оп У',"=О,+Од, У, =77,+О,А+О,У',+8О,О. (168) Подставляя эти значения в (165), мы получим истинное значение при- ращении л= 4+ 61 Уо +- (169) !40 Для читателя, интересующегося вопросом о точности произведенного вычисления, приведем вкратце те соображения, с помощью которых может быть решен этот вопрос. Общая идея такова: напишем выражение приращения функции, обозначенного нами буквой л, согласно формуле Тэйлора, и сравним его с выражением приращения, найденным по способу Рунге-Кутта.
Разлагая функцию у, в ряд Тэйлора, будем иметь (170) определяемое по способу Рунге-Кутта, и сравним его с (169). Пользуясь формулой Тэйлора 1 ,1(хе+ а, уз+ ег) =Уо+ аЛ+ енуэ+ 2 (а~Л, + 2а~лэ+ ~~Уээ)+ 8 + — (аэуш+ЗаэРГ „+ЗаЯГэ, +Рэг' )+... 1 где" А представляет собой сумму первых четырех членов правой части равенства (165) после вышеупомянутой подстановки. Теперь преобразуем приближенное выражение приращения функции з)+э4 ~ Ъ+ за 6 + 3 для двух независимых переиеиных, найдем разложения для 3, 3 и 3.
Если ограничимся членами, содержащими четвертые степени прйращениа Ь, то получим: Зэ =" ~~о+ — ЬО~+ ЬЧ~э+ щ ЬЧ>э) э Чо+ г Ь~Пг+ З Ьэ (2Л0г+ Оэ)+ 43 Ь (бг1 И+ЗуэОв-~ 11 ), З,=Ь|,-~-йь,+ —', Ь у,Тг,+1~,)-~- + 24 Ь'(61езйг+ 12П,Оэ+ Зуев+ йэ) и, кроме того, 3, —— Ьге.
Теперь подставим значения 3„3, Зэ и 3, в(170). Мы увидим, что Ь=А, т. е. разница между истиннйм значением приращения Ь и его приближенным виачением, вычисленным по способу Рунге-Кутта, начинается только с члена, содержащего пятую степень приращения Ь. й 34. Способ Рунге-Куттн вычисления интегралов системы двух уравнений первого порядка илн одного уравнения второго порядка. Пусть дана система двух диференциальнык уравнений — =Ф(1, х, у) и — „~ =%'(1, х, у) Фс ау йг первого порядка и известно, что х= х, и у =ус, когда аргумент 1=1. Требуется вычислить значения Х и У функций, соответствующие заданному значению Т аргумента. Разделим, как и раньше, промежуток Т вЂ” 1е на некоторое число п равных частей (равенство частей, впрочем, необязательно) и частное (Т вЂ” ге); и= Ь примем за приращение аргумента 1.
Пусть соответствующие приращения функции будут Ь и 1. Согласно способу Рунге-Кутта Ь и 1 вычисляются нижеследующим образом. Прежде всего вычисляем 3г =Ьгй(гоъ «о Уо) " ег=йэг(го хо> Уо)' Затем вычисляем Зэ=ЬФ(ге+2 > хе+ 2 Уе+ 2)~ ээ=Ь~(1о+ 2 ~ о+ ~ ~ Уо+ 2)э 141 М (сс !! з л и (СО ° с !! + !сч с й о л сс .ъ. 5 + )сч З й ч )с'ч + 3 Л (сс !! + !сч 4 » 6 ь Ц + » Ф о ь 3 З с )сс !! с + )сч з З о !сч ~У~сч о сс !! .У . !СЧ ! + » ~~!сч + с !сч + о ~ (сч + !! + |Я !! о |с » (сч Г!Сч + + 4 4 -!'ч + 4 ~!Сч + Й')сч о !с с + + » + » о !Сч + » 8'!Сч + » »(сс .~)сч + + р о -!сч + ,у! сч + » ,» 'сч -!- о !! + ,фсч + » !сч + с ')Сч + 4" ,С'(с с + » » !сч -!- о !! ез=~~(е+ 2 э о+-2 Уо+ 2) ° л, ь аз=31 ~ус+ 2 хе т 2 уо+ 2( 84 ~~ (уз+ й хе+ бз Уо + ез) н е4 'г~ (уз+ ~ «е+ бь Уо + ез) Приращения функций определяются формулами: х= + — 7= — + —.
Вг+Вь аз+За ы+чь аз+аз 6 3 Повторив вычисление н раз, сможем найти Х и Г. Расположение действий примем такое, какое указано на схеме 2. П р н м е р. Дана система двух диференциальных уравнений х х 2у х'= — +у н у'= — — + — -, гз и известно, что значению с=О,6 аргумента ссответствуют значения х = 0 и у=1 функций. Требуется вычислить зчачения Х и 1' функций, соответствующие значению Т= 1 аргумента. Вычисления располагаем согласно принятой схеме. Приращение аргумента Л примем равным 0,2.
Заметим, что в данном случае х х 2у ф = — -~У ч' = — — 4- —- гт Результаты будем вычислять с четырьмя десятичными знаками. 0,2 0,7135 + ' 1,4383 2,1518' 0,7173 0,6667 0,3110 + ' 0 6095 0,9205 0,3068 0,6 0 0,7 0,1 0,7211 0,2952 1,3333 0,3143 0,4220 0,7172 0,7604 1 3605 1,7172 0,1476 0,3143 0,7 0,8 0,7991 0,5477 + ' 1,0861 1,6338 0,5446 0,7628 0,4202 1,7173 0,8 0,3068 1,6055 2,4046 0,8015 0,8051 2,0987 0,5169 0,9 0,9 1,0 0,8004 0,8354 0,5515 0,6752 2,1198 2,5177 0,5741 0,8583 то, полагая 143 Искомые значения функций: Х= 03068+05446 = 08514 и г'= 17173+ 0 8015 = 25188.
Заметим, что если дано диференцнальное уравнение второго по- . рядка мы приведем его к системе двух уравнений первого порядка: — =у(Ф, х,у); ех мж у лг с которо» воступаем согласно приведенной схеме, принимая Ь = 0,2. Отметям, что Ф (б х, у) у н Чг(6 х, у) * х — — , н х = 1 н у = 2 прн г= 1.
2у — 0,6 — 0,3782 — 0,4245 — 0,2527 0,3575 0,7022 1,0597 0,3532 1 1,2 1,17 1,3622 2 1,7. 1,8109 1,5755 0,4 0,35 0,3622 0,3151 — 0,4263 — 0,8027 — 1,2290 — 0,4097 1 1,1 1,1 1,2 1,5903 1,4606 1,5173 1,3349 0,3181 0,2921 0,3035 0,2670 — 0,1548 — 0,3285 — 0,4833 — 0,1611 0,2925 0,5956' 0,8881 0,2960 1,2 1,3 1,3 1,4 1,3532 1,5123 1,4993 1,6567 — 0,2595 — 0,1461 — 0,1824 — 0,0501 Искомое значение функция Х = 1,3532+ 0,2960 = 1,6492„ а ее производной г' 1,5903 — 0,1611 = 1,4292. Е 35. Способ Рунге-Кутта вычисления интегралов системы двух уравнений второго порядка. Пусть дана система двух уравнений.
— =Ф~г х у— «зу l ех Лу '! лгз = ~ ~ > г лг ~ лг второго порядка. Когда аргумент г =ге, то функция х н у имеют зна/ к чення хе и уе, а нл производные х, н у, . Требуется вычислнтьзначення Х и 'г функцнй, соответствующне значению Т аргумента, Отсюда следует, что изложенный сейчас прием вычнслення ннтегралов системы может служить н для вычисления ннтегралов одного диференциального уравнении второго порядка. П ри м ер. Дано дифереяцнальное уразненве лзх лх à — + 2 — — гх = 0 лгз лг и нззестзо, что значению Ф= 1 аргумента соответствуют значениях 1 функех ции н — = 2 ее производной.
Требуется вычислить значенне Х функции и У Ф ее производной, соответствующее- значению Г = 14. ех Положив — у, мы получим систему: лг ех Лу 2т — =у н — — х— лг Фе Полагая — =х и — =у мы можем нашу систему рассматриЛх, еу лт лг вать как систему четырех уравнений: у = Ч'!г, х, у, х',у') с четырьмя неизвестными функциями х, у, х' и у'. Обозначим выбираемое нами произвольно приращение аргумента через Ь, а соответствующие -ему приращения функций х и у и их производных х' и у' через л, 1, т и л.
Нахождение чисел л, 7, т и л, согласно способу Рунге-Кутта, требует предварительного вычисления количеств: 5,=)зх,, аз ='зуа о 3 =3(х + — ), =)з(у + — ), ь- (ха т 2)э а )з(уо+ 2)» а,=д7х',+р,); .,=Ь!У',+,)! с с р, =ЬФ(1ы хо, у„х„у,), й о| а, о !ч е ч, Х ра=)зф(1о+7з1 хо+За> уо+за хо+)ьз уо+ та) а! ="'л (1о хоо уо хо > уо)~ 'з="~(то+ 2 хо+ 2 уо+ 2 хо+» уо+ . ) ц л Н~ 'а = лт 1!о + л. хо+ 3з уо+ 'з «о + ра уо + "з) Искомые приращения функций и их производных: о!+!а ! аз+за 1 и+ за ! ел+ел н!+на ! на+на 3 ' 6 ' 3 ' 6 ' 3 и" са+ ча ~ ма+ ча л= — + 6 3 Расположение действий примем таким, как указано иа схеме 3.
П р н и е р. дах 0,00029591х с!зу 0,0002959!у лж рс!ха+уз)з лр )г(ха+уз)' л с Начзльные условия !при т = 0): хо —— 0,30750, уо — О, хо — — О, уо — 0,034061. Вычислить значения фуняпий х н у и их производных при ! = 1 !!. ! и б о ы )Чпшег!зс)зе !и!)и!тез!ша!гесйппп3).. Здесь 0,00029591х 0,00029591 х чт* ~~~ ч'(~ -~лт Примем Ь = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
