Ю.С. Сикорский - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1086556), страница 14
Текст из файла (страница 14)
30. тора и соображения, которымн следует руководствоваться при его проектировании, рассмотрен в работе академика А. Н. Кпынова „О крешерах и индикаторах', напечатанной в,Известиях Академии наук", 1909 г., 34 9. ф 21. Уравнение Эйлера. Рассмотрим здесь .один частный случай уравнений с переменными коэфициентами, так называемое уравнение Эйлера: (ах+Ь)"у(">+А!(ах+Ь)я-'уш-г!+... + ' + Ая-г (ах+ Ь)У'+ А„У = ьг, (66) прочих членах.
после приведения подобных придем к диференциальному линейному неоднородному уравнению — +В,— „, +...-+В„,— „,+В„У=ПД с постояннымн.-коэфициентами В„, В, ..., Вв. П р и м е р. Проинтегрируем уравнение ( +1)У ( +2)У+У (+2)' Положим 2х+.1 = ее. Будем иметь. в( — =2е-О у'=2е-о— ах ' о(г и у" 4е-э(( —— ( вгэ а'г)' Подставим полученные выражения в данное уравнение.
После сокращений ово примет вид 4 — — 5 — + у =( — 1п2. оГоу ву втэ вг Характеристическое уравнение 4гэ — 5г+ 1 = О. 1 имеет корни г(=1 и го = —. Вследствие этого общий интеграл будет 4' Ф ( Сео,эое ( у где уо — частное решение уравнения. Это решение мы ищемов форме *и А(+В.
й ум ®Последовательно находим: — = А' и — =О. Луо, ЛэУо аг в(э откуда А = 1 и Следовательно, — 5А + АГ+ В = à — 1и 2, В=5 — !п2. у = С,ее+ Саеоао ( + Г+ 5 — 1п 2 или Ищем частное решение в виде у=( +Ь)" где г — постоянная. Подставив его в уравнение и сократив на (ах+ Ь), получим уравнение степени н для определения г; авг (г — 1) (г — 2)... (г — и+ 1) + + А, ав-'г (г — 1)... (г — и+ 2) +... + А„,аг+ А„= О. Если среди корней г„гв-, ..., гв этого уравнения нет равных, мы имеем и линейно-независймых решений уравнения (67): у,=(ах+Ь)", у ( х+-Ь)"*, ..., Ув=( х+Ь)", У = Сг (2х + 1) + Сэ (2х+ 1) д+ 1п (2х + 1) + 5 = 1п 2.
Уравнения Эйлера можно также просто решить, не прибегая к подстановке ах+ Ь= е'. Пусть дано однородное уравнение Эйлера (ах+О)ву(в)+ 4 (ах+О)в-(у(в-г)+ + '+ Ав, (ах+ Ь)у'+ Аву = О. (67) и общий интеграл этого уравнения будет у = С, (ах+ Ь)" + С, (ах+ Ь)" +... + С„(ах + Ь)»". Если среди корней есть равные, например, если г,=г =...=г», то соответствующие частные решения будут: у, = (ах + Ь)"', ув = (ах + Ь)"' 1п (ах + Ь), ул = (ах+ Ь)"' [1п (ах+ Ь)] Рассмотрим еще случай мнимых корней.
Если г, =а+1Р, то существует сопряженный ему корень ге=а — 1р (мы предполагаем, что коэфициенты а, Ь„А„..., А„— вещественные). Соответственные частные решения будут: у — (лх+ Ь)а ьи (ах+ Ь) сии (ох<.ь) =(их+ Ь)" [сов [Д1п(йх+Ь)]+1в!и [и 1п(лх+Ь)]]; Уя=(ах+ Ь)" [ сов [3 1п(ах+ Ь)] — (в1п [3 1п(ах+ Ь)и. Полагая теперь в общем интеграле Сг + Се = Го 1 (С~ — Се) = Ге мы придадим ему вид У = (ах + Ь)" [ Г, сов [Р 1п (ах+ Ь)] + Гв в1 и [Р 1п (ах —,'- Ь)] ] -]- + Са(ах+ Ь)п+... + С„(ах+ Ь)"и. Зб. Задача Лале. Среди задач технического характера, приводящихся к уравнению вида, рассмотренного в предыдущем параграфе, отметим ! 1 Фиг.
31. весьма иввестную вадачу Ламе. Состоит она в том, чтобы, зная равно. меРно Распределенные давления, действующие на внутреннюю и наруж. ную поверхности цилиндрической трубки (фиг. 31), определить напря. жения в точках самой трубки. Вследствие одинаковых условий, как деформации, так н напряжения в йоперечных сечениях, расположенных вдоль трубки, должны быть одними и теми же.
Можно поэтому ограничиться трубкой, длина котоРой Равна единице. Обовначим чеРез А~ — РадиУс внУтРенней, а тгв— 6 вальс. ык ю. о. Оикоюеасиа 81 — р* ' ир ' иьр> если принять з1п>ар=>ьр. Фиг. 32. На грани аи> и Ьс действуют силы ра р ° 1 Ыр и (ри + — „~ Ир) ° (р + Ыр) ° 1 ° аьр. Проектируя эти две силы на направление ОЬ и полагая> что соя( — ) =1, получим величину проекции равнодействующей />гт~ рииьри>р+ — „, р Фиьр идя если откинем член — ° 1>»р)а>1>р. ир Приравнивав нулю сумму проекций всех сил на направление Ой, приложенных к элементу айса, после сокращения на >1р>йр получим уравнение- >гр, р„+ — р — р„= О. >>>р >',69) Далее заметим, что вследствие симметрии как формы трубки, так и распределения давлений все точки трубки при деформации перемещаются в радиальном направлении.
Если перемещение точки а обозначим через и, то перемещение точки й будет »и и + — Ыр. ир йи В общем элемент Ир радиуса получает удлинение — >1р. Вследствие ир >ги этого относительное удлинение в радиальном направлении: е = — . ю ир радиус внешней цилиндрических поверхностей трубки. Выделим элемент адсЫ, ограниченный цилиндрическими поверхностями радиусов р и р+и>р и двумя меридиональными сечениями, Ой и Ос, образующими угол >рр. Этот элемент находится в равновесии под действием всех приложенным к нему сил.
Расположение напряжений на поверхностях элемента изображено на фиг. 32. Напряжения на гранях ад и сЫ обо- >гря значим череа р„, а на гранях аИ и Ос в через ря и рв + ~ и>р. Если Р и р обозначают давления на внешнюю и внутреннюю поверхности трубки, то граничные условия таковы: рв — — — р при р=Я,~ К и (68) р„= — Р при р =Аэ.1 Установим связь между р и р. е-ли арч 11а грани ай и с>1 дей>ф ~» ствуют силы р ° Ир ° 1. Сум- ма их проекций на напра- 0 вление Ой равна — р„° и>р ° з1п 1>МВ), или После деформации дуга агГ займет положенйе а гр, (фиг. 33), причем аглг Оаг — . Следовательно, о~носительное удлинение еа = аг аг — аа аа Оа' аа Оа,— Оа р4-и — р и .
Выходит; что э.чемент абеб растягивается ыа р р по двум перпендикулярным направлениям. Но для случая такого растяжения, как иавестно, имеют место формулы: р =, (е +ее„) и ря= — (а„+оа ), и Теперь образуем производную Ф . Зз. лрв Подставим значения р , рв и †„ в уравнение (69). После упрощений приходим к диференциальному уравнению аои Ии ра — +р — — и=0, про лр (70) представляющему частный случай уравнения (66). ' Пол, гая и = р', получаем для величины г уравнение: га†1 = О.
Отсюда г,= 1жи гя= — 1, и общий интеграл 1 и = С Р -а- Ся —, г 1 р где С, и С вЂ” произвольные постоянные. Для их определения составим Ли Со — =С вЂ”вЂ” ггр Р аи и выражения и и -„— подставим в формулы, выражающие р и р„. лр Результат будет таков: р = — ~С (1+о) + — (1 — о)~, Е Г Са р„= — ~С,(1+ о) — —,(1 — о)1. е г С 83 где Е есть модуль Юнга материала трубки, а о — пуассоново отноше- ние.
Заменяя еа и ея их значениями, получим Подчиняя р„граничным условиям (88), получим: — Р = —, ~ С„(1 + а) — — (1 — с) ~ Е Г с 1 — зв~ 1 )7~ з — р = — в ~С1 (1+ а) — — (1 — е)~. Е Г с. )11 Отсюда (1+ а) (р — Р) р~егвз Е ()езв — 17,') Значит )Рз )7зр (, Р) Лв)рв Ре в в + Р ()'вз % (71) йз~р — 7(зв Р (р — Р) Р, Гев )рвз — АЗ~ Р ()7з вАз) Напряжение р„возрастает при уменьшении р и имеет максимум при р =)с„а минимум — при р=ес . Подставляя выражения С, и Сз в формулу и=С,р+ —, Св Р находим, что перемещение 1 — 'Л~~р — Е-Р 1+ (р — Р))гзе(в Е ер~ — Ал Е (17~ — )7~~)р Формулы (71) и (71') характеризуют явление в отношении как напряжений, так и деформацин.
(71') ГЛАВА П! ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ЗАДАЧИ. а 7(х, )с) есть рациональная функция как относительно х, так и относительно )с, называют эллиптическими. Лежандр 84 % 22. Эллиптические интегралы и эллиптические функции Якоби. Интегралы вида ) 7'(х, )с)Ех, где 77= р'ах'+(зхз+схв+езх+е или )с=)/ахв+дхз+сх+с(, показал, что все эллиптические интегралы приводятся к трем основным: ! 1. и= Дз Р'(! —.Р) (! — ЫР) о ! 2. и= Ра% У"(! — ЕЧ (1 — ЛгЕе) о ! 3, ге (1 -(- лР) Р'(1 — Р) (! — лвр) о где )А~'(1. Число и' называется модулем, а и — параметром интеграла.
Полагая 1 = в1пр, мы первый интеграл приведем к виду Е(Р й)= ~ (72) к Для второго имеем ! Ф Ф вЂ” „1' РЖ ! ~' Фт 1 (' е . в 1 — — ( ~/ 1 — Й з! и е Ыр = УЗ:И — й~ е, 1 1 — а'~,'~ Р, 1 = — „(Г(~ й) — Е(ср, й)), где Е(7, л) = ) 'у 1 — лэ з1пе е ау . (72а) о Третий †преобразует в интеграл П(р, й)= о (1+лз!нет) ГУ1 — Лев!пер Полученные интегралы Е(<р, л), Е(е, л) и П(о, л) называются эллиптическими интегралами, приведенными к н о р м а л ь н ы м ф о Р и а м Л е ж а н д р а. Число р иазыва ется их а и и л и т у д о й.
Вычисление дуги эллипса приводится к нахождению интеграла Е(у, А), что и дало повод к'названию всего рассматриваемого класса интегралов эллиптическими. Если )г = О, то первый из рассмотреияых интегралов дает ! и= ~ ' =А!се!п$. у Г е Ио известно, что в применениях важна ие многозначная функция и= =Асса!п(, а однозначная с=, з1пи, т. е. та функция, для которой аргументом служит сам интеграл и. Иначе говоря, практичееки важно рассматривать верхний предеЛ 1 как функцию самого интеграла, или, как говорят, обратить интеграл и, Это обстоятельство и привело Абеля и Якоби к мысли обратить интеграл Е(Ч~, л), рассматрив я его амплитуду р как функцию самого инте- трала. На втой базе и была создана теория эллиптических функций, шмеющая огромное значение для ряда отраслей математики и ееприложений.
То обстоятельство, что э является амплитудой интеграла г"(р, А), который мы кратко обозначим буквой и, выражают так: е = аш и. В таком случае(=з!п э=з1п агпи, ф'1 — Р=созэ=соя аш и. Введем еще обозначение: )г1 — лтР= у'1 — йав1пау=баши. три функции короче обозначают так: Эти а1пагп и=зли, соя вши=спи и Ьаши=йпи. Функции зпи, спи и бпи известны под именем эллиптических функций Якоби. Отметим некоторые их свойства. Имея в виду практические применения, ограничимся вещественными значениями аргумента. Если же придется упомянуть о мнимых его значениях, то это будет оговорено особо. Легко видеть, что ап ( — и) =- — ап и, сп ( — и) = сп и и дп ( — и) = бп и, т. е. что функция зп нечетка, а функции сп и бп — четны. Функции япи, спи и бпи связаны соотношениями: апти+си'и=1 и дпаи+йтзпаи=1, (7В) которые дают возможность вычислить две из иих, когда значение третьей известно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
